相似三角形模型分析大全(精)

1、第一部分相似三角形知识要点大全知识点1.相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，印不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.例1.放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变.解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同.例2.下列各组图形：两个平行四边形：两个圆：两个矩形：有一个内角80°的两个等腰三角 形：两个正五边

2、形：有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是(填 序号).解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三 角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似.答 案：.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即色=£ (或 b da:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.解读：(1)四条线段a,b,c,d成比例，记作色=£ (或a:b=c:d),不能写成其他形式，即比

3、例线段 b d有顺序性.(2)在比例式， = £ (或a:b二c:d)中，比例的项为a, b, c, d,其中a, d为比例外项，b,c为比例内项，d b d是第四比例项.(3)如果比例内项是相同的线段，即或a:b=b:c,那么线段b叫做线段和的比例中项。 h c(4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另 一个单位也可以，因为整体表示两个比相等.例3.已知线段a=2cm, b二6mm,求.b分析：求人即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比. b3例4.已知a, b, c, d成比例，且a=6cm, b=3dm, d

4、= dm,求c的长度.2分析：由a, b,c, d成比例，写出比例式a:b=c:d,再把所给各线段a, b, d统一单位后代入求c. 知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.例5.若四边形ABCD的四边长分别是4, 6, 8, 10,与四边形ABCD相似的四边形ABC仙的最大边长为 30,则四边形ABCD的最小边长是多少分析：四边形ABCD与四边形ABCD相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为!，再根据相似 3多边形对应

5、边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种；(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同：(4)相似用“s”表示，读作“相似于”；(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.注意：相似比是有顺序的,比如ABCs/ABG,相似比为k,若ABCsAABC,则相似比为若两个三角形的相似比为1,则这两个三角形全等，全等三 k角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等.例6.如

6、图，已知ADEs/iABC, DE=2, BC=4,则和的相似比是多少点D, E分 别是AB, AC的中点吗注意：解决此类问题应注意两方面：(1)相似比的顺序性，(2)图形的识别., 一DE AD AE -DE 2 T解：因为ADEsaABC,所以=,因为=一=一， BC AB AC BC 4 2 An at i所以=_,所以D, E分另“是AB. AC的中点.AB AC 2知识点5.相似三角的判定方法(1) 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似：(2) 平行于三角形一边的直线极其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3) 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角

7、形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4) 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形 相似.(5) 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.例7.如图，点D在AABC的边AB上，满足怎样的条件时，4ACD与AABC相似试分别加以列举.分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，4ACD与aABC已有公共角NA,要使此 两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时，ACDs/jBCAn

8、 ac条件一： =一- Z1 = ZB;条件二：Z2=ZACB;条件三：，即ACJADAB.AC AB知识点&相似三角形的性质(1) 对应角相等，对应边的比相等：(2) 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比:(3) 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方.例 8.如图，已知ADEs/XABC, AD=8, BD=4, BC=15, EC=7(1) 求DE、AE的长；(2) 你还能发现哪些线段成比例.分析：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即. = BC AB AC例9.已知ABCsaABC-二二， ZXABC的周长为20cm,面积为40c

9、m 344求（1） ABG的周长；（2） ZkABCi的面积.分析：根据相似三角形周长之比等于相似比：面积之比等于相似比的平方求解.易求出ABG的周长为30cm; ABG的面积90cm之第二部分一、相似三角形判定的基本模型认识（-）A字型、反A字型（斜A字型）e （平行）（二）8字型、反8字型:*（平行）相似三角形模型分析大全/AM c（不平行）A上（蝴蝶型）（不平行）（三）母子型（四）一线三等角型:（六）双垂型:A二、相似三角形判定的变化模型bI + = a b c 8字型拓展共享性.了一线三等角的变形一线三直角的变形第三部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1:如困，梯形48CD中，

10、AD/BC,对角线47、劭交于点0,然勿交以延长线于£求证：oc2=oaoe.例2：已知：如图，中，点£在中线4?上，ZDEB=ZABC.求证：(1) DB? =DEDA； (2) ZDCE = ZDAC.例 3:已知：如图，等腰48。中，AB=AC. AD1BC 于CG/AB, 8G 分别交 4?、AC 于 E、F.求证：BE? =EFEG.相关练习：1、如图，已知力。为的角平分线，用为力。的垂直平分线.求证：fd2=fbfc.2、已知：AD是RtZABC中NA的平分线，ZC=90° , EF是AD的垂直平分线交AD于M, EF、BC的延长线 交于一点No求证：

11、（1）ZiAMEsNMD; ND?=NC NB3、已知：如图，在aABC 中，ZACB=90° , CD_LAB 于 D, E 是 AC 上一点，CF_LBE 于 F。 求证：EB DF=AE DB5. 已知：如图，在RtZV18C中，NU90° , 832, AC=49 P是斜边彳8上的一个动点，PD1AB,交边47于点。(点。与点4 C都不重合)，£是射线外上一点，且N分次N4设4P两点的距离为x, 4BEP的面枳为y.(1)求证：A42PE;(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当8£P与48C相似时，求ABEP的面枳.双垂型(第2

12、5题图)1、如图，在AABC中，ZA=60° , BD、CE分别是AC、AB上的高 求证：(1) AABDAACE： (2) AADEAABC： (3)BC=2EDD2、如图，已知锐角ABC, AD、CE分另“是BC、AB边上的高，ZkABC和4BDE的面积分别是27和3, DE=6'E, 求：点B到直线AC的距离。A共享型相似三角形1、ZkABC是等边三角形，D、B、C、E在一条直线上，NDAE=120°,已知BD=1, CE=3,求等边三角形的边 长.A2、已知：如图，在RtZ?18C中，AAC, N以后45° .求证：(1) AABEsACD;(2)

13、 BC? = 2BE CD .一线三等角型相似三角形例1:如图，等边中，边长为6,。是8c上动点，Z£P/60°(1)求证：ABDEsXCFD(2)当B归,FU3时，求BE例2： （1）在A48C中，AB = AC = 59 BC = 8,点、P、。分别在射线C8、AC上（点尸不与点C、 点8重合），且保持NAPQ=NABC.若点尸在线段C8上（如图），且8尸=6,求线段C0的长；若BP = x, CQ = y9求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形A8C。的边长为5 （如下图），点尸、。分别在直线C8、0c上（点尸不与点C、点8重 例3：已知在梯形力及

14、力中，AD"BC, AD<BC,且47=5, AB=DC=2.（1）如图8, P为4?上的一点，满足N8怨=/4求证：求力P的长.(2)如果点。在47边上移动(点P与点4。不重合)，且满足n8/E=n4 PE交鱼线BC于悬E, 同时交直线，C于点。,那么当点0在线段0C的延长线上时，设4P=x, CO=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定 义战：当CE=1时，写出/4P的长.例4：如图，在梯形A8C。中，AD BC , AB = CD = BC = 6, AD = 3 .点M为边BC的中点,以 M为顶点作NEM/= N8,射线ME交腰A8于点E,射线板交腰CO于点尸，联结

15、EF .(1)求证：AMEFsABEM :(2)若BEM是以8M为腰的等腰三角形，求族的长；(3)若EF LCD,求8E的长.相关练习：1、如图，在48C中，AB=AC = 89 8c=10,。是8c边上的一个动点，点E在AC边上，且 ZADE=ZC.(1)求证：RABMXDCE：A(2)如果8O = x, AE=y9求y与x的函数解析式，并写出自变量工的定义域； / (3)当点。是的中点时，试说明然是什么三角形，并说明理由.2、如图，已知在48C中，AFAO6, 8c5,。是48上一点，B2, E是宓上一动点，联结。E,并作ZDEF = ZB,射线炉交线段4C于£(1)求证：ADB

16、Es AECF;(2)当尸是线段47中点时，求线段州的长；(3)联结昕 如果田7与。纪相似，求&?的长.B E C3、已知在梯形48CD中，ADBC, ADVBC,且8C =6, AADX,点E是的中点.(1)如图，P为8c上的一点，且止2.求证：XBE/XCPD;(2)如果点P在8c边上移动(点P与点8、C不重合)，且满足N£PeNC,所交直线切于点£同 时交直线4?于点例那么当点打在线段 缈的延长线上时，设gx,y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义 域：9当Smh = wS ,口时，求仍的长A DA D4、如图，已知边长为3的等边AA8C,点尸在边8c上

17、，W = 1,点石是射线8A上一动点，以线段石尸为边向右侧作等边AEFG,直线石G,bG交直线AC于点M，N,(1)写出图中与凶石厂相似的三角形：(2)证明其中一对三角形相似：(3)设8E = x，MN = y,求卜与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(4)若AE = 1,试求GMV的面积.一线三直角型相似三角形备用图例1、已知矩形ABCD中，CD=2, AD=3,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作尸石，CP, 交边AB于点E,设尸O = x,AE=y ,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。An 2例2、在AA8C中，NC = 90°,AC=4,8C =