2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第77讲轨迹方程的求法

1、第 77 讲 轨迹方程的求法【知识要点】一、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义关系：（1 1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2 2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）. .那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线二、求简单的曲线方程的一般步骤：建设限代化4 *（1 1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系；（2 2） 设点：用有序实数对-?1表示曲线上任意一点的坐标（不要把其它的点的坐标设成（xjxj）；乙（3 3 ）列出动点满足的限制条件：用坐标表示条件列出方程 /M=o/M=o；（4 4）代点JU坐标到方程 二： ；（5 5）化简：化方

2、程fM=O为最简形式；r 7（6 6 ）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来（可以省略）三、求轨迹方程的四种主要方法：轨迹四法 待代直参T亠（1 1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的-I-I）% % f f 厂定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程. .（2 2）代入法：如果点 T T 的运动是由于点 厂的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点 满足的方程，即得动点T T 的轨迹方程（3 3） 直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程（4 4） 参数法：动点1 ；:

3、, 1的运动主要是由于某个参数 了的变化引起的，可以选参、设/（物参，然后用这个参数表示动点的坐标，即.-，再消参. .四、轨迹和轨迹方程轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下2只求那个方程即可，不需描述曲线的特征【方法讲评】方法一直接法使用情景已知中或图形中有动点满足的方程解题步骤直接把动点的坐标代入已知的方程化简即可 II II ,求动点-的轨迹方程.【例 1 1】线段丄，与一役互相垂直平分于点【解析】满足3如團1,臥应中点。为原点直线肋対X轴建立直角坐标系.设怒小 易知念-2！B(40)

4、C(Q1J D/ J( 2尸 +y-念_?)： _ y： z Jir： _QT f_(y+ 1)：整理得2r-2r =3,故动点 P的轨迹方程为“：-2/= 3 .【点评】(1 1)这种题目由于已知中没有直角坐标系，所以首先要根据垂直性和对称性建立直角坐标系，由于建立坐标系的方法有多种，所以求出的轨迹方程有多种，但是都是对的;(2 2)这道题是直接用坐标化简已知中的心卜 已|一卜-|得到的轨迹方程，运用的是直接法2 2【例 2 2】已知圆C：+1)+1)+ 3-1)3-1)=4 4 ，由动点-向圆一引两条切线 -1-1、二,切点分别为、J J ,并且丄一 ，求点厂的轨迹【解析】设尸()，由題得

5、罡直角三甬形且ZPJC = 90.在直角三角形円C中，PC = 30JC = 2 .|PC|=4/.厶+1)】+($莎=4 A (x+l):+(y-l):= 16所臥动点P的轨迹方程(x + D + fy-l)2=16它罡以点(7 D为魁山4为半径的圆.【点评】(1 1 )这道题运用的是直接法，但是它是把已知条件转化得到的一个等式亠丨，不是现存的等式(2 2)轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹包含轨迹方程 和对轨迹方程表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征. .所以本题要描述轨迹的基本特征 【反馈检测 1 1】在平面直角坐标系刊一心中，芒两点的坐标分别为

6、 (0J)(0J) 、二动 点满足：直线EG与直线FG的斜率之积为4(1 1 )求动点的轨迹方程；4(2 2)设；为动点厂的轨迹的左右顶点，.-为直线. ；-上的一动点(点 厂不在 x x 轴上),连交的轨迹于点，连丄丄;并延长交的轨迹于二点，试问直线是否过 定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由.丄八1 1【反馈检测 2 2】一条双曲线一的左、右顶点分别为饷厂必) 是双曲线上不同的两个动点(1(1)求直线一广与亠交点的轨迹二的方程式；(2(2)若过点-(；一)的两条直线、和二与轨迹二都只有一个交点， 且 1 1 丄-求:的值. .方法二待定系数法使用情景通过已知条件的分析可以得

7、到动点满足某种曲线（圆、圆锥曲线）的定义解题步骤（1 1）分析出动点满足的方程；（2 2）证明动点满足某曲线（圆、圆锥曲线）的定义;出该曲线的待定系数方程；（4 4）求出待定系数，即得所求的轨迹方程(3 3)设【例 3 3】 已知动圆 P P 与两定圆厂+于 7 7 和都外切，求动圆圆心的轨迹方程.【解析】设半径対F的动圆圆心为 PgT）因为圆P与圆0,圆C都外切，则|P（9|=r + l,PCr-2rPC-POi .因此点 P的轨迹罡焦点为加胁CQO）中心在以）的双曲线的左支.故所求轨迹方程为4（X-2）:-AJ-= l（x 12/、【点评】（1 1）此道题通过对已知的分析得到，即动点到两个

8、定点的距离的差是一个常数，与双曲线的定义相符，所以其轨迹是双曲线的一支，利用的是待定系数法；（2 2 ）利用待定系数法求轨迹方程时，一定要比较全面地分析条件和曲线的定义，看是曲线 的全部，还是曲线的部分，此题也5不是双曲线的全部，是双曲线的一支【例 4 4】已知点到点-：- -1的距离比到点 T T 到直线：；一I I 的距离小 4 4；（I I）求点:l:l的轨迹-1的方程；（n n）若曲线 上存在两点卩关于直线 I I： 对称，求直线丄匚的方程. .【解析】（1 1）结合图形知，点丿 不可能在.轴的左侧，即丿 到点 代 2 2） 的距离等于一 T T 到直线 I I 的距离 一 T T 的

9、轨迹是抛物线，FM为焦点， 匚为准线 2 2- -的轨迹 方程是：“6(2(2)设则(力+山)31-31-为)=8 8佃-吗)丄中点的坐标为 f f 亠一即-r-/ -经检验，此时，虫与抛物线有两个不同的交点，满足题意.【点评】(1 1)本题的第一问利用的就是待定系数法，通过对动点的分析，发现它满足抛物线的定义，所以动点的轨迹是抛物线.(2).(2)第二小问利用了点差法，可以提高解题效率【反馈检测 3 3】已知7 7i-i-：- - - - 丁 F.u-F.u-垂直平分线与二交于/点(1)求二点的轨迹方程；(2)已知点,过点二且斜率为：(忙二)的直线.与/点的轨迹相交于1两点，直线匸，一分别交

10、直线丄匚于点, T,线段二 I I 的中点为，记直线的斜率为 VIVI 求证：为定值. .方法三代入法使用情景某被动点 M M 之所以在运动，是因为主动点P P 在某曲线了(xj) -0 0 上运动引起的.解题步骤(1 1)先利用被动点 M M 的坐标表示主动点P的坐标；(2)把动点 P P 的坐标代入它满足的 方程魚xj)二化简. .【例 5 5】已知抛物线丨 ：+ -和点加：1，丄，为抛物线上一点，点2-2-在线段上且又的斜率为一 4 4 则 01+01+力)*8)*87匸 J J1 1 当点丄,在该抛物线上移动时，求点一的轨迹方程.8F3x-3丁，r3v-lF2又B点在抛物线上，则牛2=

11、畔-1 I J J/4（1Yr.整理得门弓；,为所抑遗方程.V V 3/3/3 3（3 3；【点评】点之所以在动，就是因为点 J J 在动，所以点是被动点，点 J J 是主动点，这种情景，应该利用代入法求轨迹方程Cj j【反馈检测 4 4】已知的顶点亠二 的重心_的轨迹方程.方法四消参法使用情景如果动点M（x,y）的运动主要是由于某个参数卩的变化引起的. .解题步骤（物（i i）选参设参；（2 2）用这个参数表示动点的坐标，即1 1y-；（3 3）消去参数 0 0, ,化/仝 G简. .【例 6 6】已知曲线- - 4 4 冰+2+2 鸭+20+20 陕-20-20 = = 0 0（1 1）

12、证明：当: 0二当in往2时，匣方程表示圆*设圆心坐标为 04 则:圆心的轨迹方程为工+2y = （X re韭4fiy工-2）【点评】（1 1）此题求圆心在一定直线上，就是求动点的轨迹是一条直线；（2 2 ）圆心的运动主要是因为参数 匸引起的，所以选用消参法解答 【反馈检测 5 5】 已知线段-；，直线.垂直平分于，在.上取两点 -，使有向线段丄满足 卩，亍 -,求直线 丄】与的交点 T T 的轨迹方程.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第7777 讲: :轨迹方程的求法参考答案+ + / /2 2= = 1 1（兀工0 0）【反馈检测 1 1 答案】（1 1）二;（10【反馈检测1详细解析】

13、(D已tt(On；F(O-l),设动点.G的坐标(兀刈，所以直线EG的斜率&直线FG的斜率祗=(托工0),又対x屯=-：,所汉上二圧二一丄，即xx4x x 4+ V1=（茸工0）设尸(4去心HO),又&一20),则/(工故直线皆的方程为：v = (x+2),代6|-2 x-(l+a)|x3+2x-lo由韦达定理：xeOr+x)gP7 0 ,急同理可解得=生- L-+讦3孔 F3-九故直线CD的方程为=咕(兀一耳)+ $_即(3-:)1 + 2(-% + 1) = 0,故直线CD恒过罡点(1 .+ = 1【反馈检测 2 2 答案】(1 1) 一 ; (2 2)_ I【反馈检测 2

14、 2 详细解析】由双曲线 1 1 - - 的左、右顶点分别为二口得4(屁禺(返0).所以-1厂-TTTX八两式相乘得1而点2 ;-在双曲线上，所以 二严斗（“-2一乃=1（2 2）设;_|-，则由;丄知， - 1将-1-代入 1 1得入桝圆方稈并整理得：4 x-a1112-+-+（ta+=lta+=l, ,即（i+2pi+2p）44如+2+2沪-2 2 = = 0 0 ,由与 E E 只有一个交点知，二工I I _ _ H H，即：.-；. .:，即 0A0 恒成立,D鸥（七+弋）所以点厂的坐 j !-匚【反馈检测 3 3 答案】（1 1） -； （2 2）-.且 ;=.4以+3 .直线匸的方程为（T尸丄y y（x-2x-2），直线的方程为 一 胚G丄-令：一匚，得点_-：?同理，由与 E E 只有一个交点知,131为琢+切迂2（片+舟）1 2紅花弘（无+心）+4上-二 -4斗內一2（咼+冷）+4A 兀內一2（咼+花）+ 4t4皿my = -+ y = 町由点斜式得直线 .-的方程分别为两式相乘，消