第二类换元法

1、二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四四章 一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称配元法配元法即xxxfd)()(, 凑微分法凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用的几种配元形式常用的几种配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)

2、4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法二、第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法 .难求，uufd)(CxF)()()()(ttft定理定理2 . 设)(tx是单调可导函数 , 且,0

3、)( t)()(ttf具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()(ttf, )(t令 )()(1xxF则)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式例例16. 求. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122at

4、ttcossin22sin2axaxa22机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例17. 求. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 xa1C例例18. 求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令, ),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1t

5、anseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 22ax axa,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）被积函数含有22ax 时, 可以采用22ax 或机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换,消去根式22xa 、 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据

6、被积函数的情况来定情况来定.说明：说明：例例1919 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）（2 2）设分子、分母关于设分子、分母关于x的最高次数的最高次数, 当分母当分母的阶较高时，可采用的阶较高时，可采用倒代换：倒代换：.1tx 例例2020 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解例例2121 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111dttt 231222121dtt

7、t 2tu duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx ,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat（3）被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍数为nmp例例11. 求.21d3xx解解: 令,23xu则,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC机动

8、 目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 求.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,6tx 则有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求.d11xxxx解解: 令,1xxt则,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1414 求求.11dxex （4）如果被积函数是由指数构成的

9、代数式，可考）如果被积函数是由指数构成的代数式，可考虑选用指数代换虑选用指数代换小结小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcsc

10、ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用基本积分公式的补充(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换倒代换 ,d)()6(xafx令xat xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分

11、分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 将下列真分式分解为部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x机动 目录 上页

12、 下页 返回 结束 (3) 混合法)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入等式两端分别令1 ,0 xC541215461CB52B51C原式 =x214512112xx四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp变分子为 )2(2pxM2pMN 再分项积分 例例2. 求.)1)(21 (d2xxx解解: 已知)1)(21

13、(12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考: 如何求机动 目录 上页 下页 返回 结束 ?d)32(222xxxx提示提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9 . xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d455522

14、2423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 常规 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求求解解:

15、 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(见P348公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常规方法较繁按常规方法较繁按常规方法解:1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比较系数定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化为部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx1212

16、22xxDxCxxBxA比较系数定 A , B , C , D .第三步 分项积分 .此解法较繁 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设)cos,(sinxxR表示三角函数有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则例例7. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx21

17、2tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明说明: 通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便 .的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求. )0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 xbxacossin例例9. 求求)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos