初中梯形知识+习题+难题

1、特殊平行四边形正方形四边瑕般梯形梯形1特殊梯形等腰梯形直角梯形、四边形的分类:我们已经研究了四边形及特殊的四边形的有关问题，我们还应了解它们之间的互相联系， 因此我们要了解四边形的分类。般平行四边形平行四边形其他四边形二、梯形是一种特殊的四边形，我们重点研究特殊的梯形：等腰梯形和直角梯形；重点研 究等腰梯形的性质和判定。i.梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形2 .直角梯形定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。3 .等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。4 .等腰梯形的性质：(1)由定义知两腰相等，两底平行；(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等；(3)等腰梯形的两条对角

2、线相等；(4)等腰梯形是轴对称图形。5.等腰梯形的判定：(1)用定义判定；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;F面我们研究几种常见的辅助线:(3)两条对角线相等的梯形是等腰梯形。三、解决有关梯形问题经常需要添加辅助线,1 .延长两腰交于一点作用：使梯形问题转化为三角形问题。 若是等腰梯形则得到等腰三角形。2 .平移一腰作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。3 .作高作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。4 .平移一条对角线 作用：（1）得到平行四边形 ACED ,使CE=AD ,BE等于上、下底的和(2) S梯形 ABCD =S ADBE5 .当有一腰中点时，连结一个顶点

3、与一腰中点并延长交一个底的延长线。作用：可得 ADEAFCE,所以使 S梯形abcd=Sabf6 .添加梯形中位线作用：能应用梯形中位线的有关性质。四、例题：研究梯形问题常常要用到平行四边形及三角形的有关知识，我们要善于把学过的知识融汇贯通。例 1.如图在 RtAABC 中，/ BAC=90 °, BD=BA , M 为 BC 中点，MN/AD 交 AB 于 N。求 2证：DN= B BCo分析：此题是证线段的 恬半”问题，我们知道 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，J已知/ CAB=90 °,若连结 AM ,则 AM= ? BC,只要证明 AM=DN 即可。于是考虑

4、证明四边形ANMD是等腰梯形即可。证明：连结AM ,/ CAB=90。, M 为 BC 中点，工AM= 2 BC,MN/AD 且DM 与AN不平行，四边形ANMD是梯形，又 BD=BA ,/BAD= / BDA ,梯形ANMD是等腰梯形。DN=AM （等腰梯形对角线相等）DN= 2 BCo说明： 等腰梯形对角线相等 ”这一性质，又给出一个证明线段等的方法。梯形ABCD o例 2.已知如图，梯形 ABCD 中，AD/BC , AC ± BD , BD=5cm ,高 DE=4cm。求：SDF/AC分析：已知梯形的高，要求梯形面积，只需求出上、下底的和。平移一条对角线，即作 交BC延长线于

5、F,这样AD=CF ,只要求出 BF的长即可。解：过 D作DF/AC交BC延长线于 F,AD/BC , AD=CF , BF=BC+CF=BC+AD , AC ± BD , BD ± DF,ADBF 是 RtA, 在 RtABDE 中，BE2+DE2=BD2,(勾股定理)BE2=BD2-DE2,又 BD=5 , DE=4 ,. Bt' -3 BE=3,在 RtADEF 中，DE2+EF2=DF2在 RtADBF 中，BD2+DF2=BF2BF2-BD2=DF2 (2)由,(2)两式可得DE2+EF2=BF2-BD 2,设 EF=x ,贝I BF=3+x ,1- 42

6、+x2=(3+x) 2-52化简得3x=161616x= W ,即 EF= 3 ,16 25BF=BE+EF=3+ -=-;, S 梯形 ABCD = 2 (BC+AD)X DE= 2 BF DEJ. 2550= 2x3 x4=二(cm2)50所求梯形面积是3 cm2。说明：在解题过程中我们为求EF的长，使用了一个重要的数学思想方法一一方程思想。即利用方程求线段的长。用方程思想解决几何中的计算问题，是用代数的方法解决几何问题的重要思路，也是数形结合数学思想应用的一个方面。使用方程思想的关键是适当设元，然后利用等量关系列出方程。实际问题中存在着大量的等量关系，如在此题中，RtADEF和RtADB

7、F ,共用一条边 DF ,因此借助勾股定理分别把DF2用其他线段的平方表示出来，这样就找到了等量关系即 BF2-BD 2=DE，EF2,再合理设出未知量，就得到了方程。请同学们在今后的学习中注意使用方程 思想。例 3.已知：梯形 ABCD 中，DC/AB , AC=CB , / ACB=90 0, BD=AB , AC、BD 相交于 E 求证： ADE是等腰三角形。2分析：由已知得到 ACB是等腰直角三角形，若作 CHXAB于H,可得CH=之AB ,即CH=之2BD,作DFLAB于F,可得DF=CH= B BD ,可得出/ 1=300,从而通过计算角度的方法可使问 题得到解决。证明：过 D作D

8、FLAB于F,过C作CH± AB于H,AC=BC , / ACB=90 0, / CAB=45 0, AH=HB ,CH= 2 AB ,又 DC/AB , DF=CH= A AB ,BD=AB , DF=2BD,又: /DFB=90 0, / 1=300, BDA 中，BD=AB ,. / BDA= 2(1800-/ 1)=750, / AED是 ABE的外角， /AED= / 1 + / 2=300+450=750, / BDA= / AED , AD=AE , A ADE是等腰三角形。说明：此题通过计算角度的方法得到角等，从而得到等腰三角形。通过计算的方法证明几何题也是数形结合思

9、想的应用。此题的证明过程中还充分体现了由已知条件出发，顺藤摸瓜，步步深入，寻求答案的发散思维过程。希望每位同学都能在学习过程中独立思考，不断总结经验， 把所学知识融汇贯通，不断提高分析问题，解决问题的能力。五、练习：1 .等腰梯形两底长为 4cm和10cm, 一底角为450,求：它的面积。2 .梯形 ABCD 中，AB/CD , CD=4 , BC=4 , AD=8 , / C=1350,求梯形面积。3.已知：如图，梯形 ABCD中，AD/BC , / B+/C=900, M、N 分别是 AD , BC 的中点。J求证：MN=2(BC-AD)4 .如图，已知梯形 ABCD , AD/BC ,

10、AB LAC, AB=AC , BD=BC ,求/ DBC 的度数。梯形辅助线专题训练题1、如图，已知在梯形 ABCD 中，AB /DC, / D=60 ° , / C=45 ° , AB=2 , AD=4 ,求梯 形ABCD的面积.2、在梯形 ABCD 中，AD/BC , AB=DC=AD=2 , BC=4 ,求/ B 的度数及 AC 的长。3、如图所示，已知等腰梯形 ABCD中，AD/BC, /B=60° , AD = 2, BC = 8,求等腰 梯形的周长。4、 如图所示，AB/CD, AE ±DC , AE = 12, BD = 20, AC =

11、 15,求梯形 ABCD 的面积。5、如图所示，在等腰梯形 ABCD中，已知AD / BC ,对角线AC与BD互相垂直，且 AD = 30, BC= 70,求 BD 的长.15cm和49cm ,求它的腰6、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60。，它的两底分别为长.7、 如图所示，已知等腰梯形 ABCD中，AD/BC, AC ± BD , E,求DE的长.AD + BC = 10, DEBC 于8、已知：如图，梯形 ABCD 中，AD / BC, AB=DC , / BAD 分别交直线BC于点E、F.求证：CE=BF ./ CDA的平分线AE、DF9、如图，在梯形 ABCD 中，AD

12、/ BC , BD CD, BDC90°, AD 3, BC 8.求AB的长.10、如图 6,在梯形 ABCD 中，ADBC, A 90求BE的长.C 45,DE=EC , AB=4,AD=2 ,11、已知：如图，梯形ABCD中，DC/ AB,AD=BC，对角线 AC、BD交于点 O, / COD=60 若CD=3 , AB=8 ,求梯形 ABCD的高.12、已知如图，直角梯形 ABCD 中，AD / BC, AB ± BC , AD=2 , BC=DC=5，点 P 在 BC上移动，则当 PA+PD取最小值时， APD中边AP上的高为12题图13、如图，在四边形 ABCD

13、中，AC 平分/BAD, BC CD 10, AB 21 , AD 9.求AC的长.1. （2011?台湾）如图为菱形 ABCD与正方形 EFGH的重迭情形，其中 E在CD上，AD与GH 相交于 I 点，且 AD / HE.若/ A=60 ° ,且 AB=7 , DE=4 , HE=5 ,则梯形 HEDI 的面 积为多少？C2. （2010?内江）如图，梯形 ABCD中，AD / BC,点E在BC上，AE=BE，点F是CD的 中点，且 AFXAB,若 AD=2.7 , AF=4 , AB=6 ,则CE的长为多少？3. （2003?泰安）如图，在梯形 ABCD 中，AD /BC, AD

14、=2 , BC=8, AC=6 , BD=8 ,则此 梯形的面积是多少？4. （2010?河南）在梯形 ABCD 中，AD/BC, E 是 BC 的中点，AD = 5, BC=12, CD = 4 2, / C= 45° ,点P是BC边上一动点，设 PB长为x, （1）当x的值为多少时，以点 P、A、D、 E为顶点的四边形为直角梯形？ （ 2）当x的值为多少时，以点 P、A、D、E为顶点的四边 形为平行四边形？ （3）点P在BC边上运动的过程中，以 P、A、D、E为顶点的四边形能 否构成菱形？请说明理由。B PE5. 已知，如图，在直角梯形 COAB中，CB/OA,以。为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分