排列组合问题基本类型及解题方法

1、排列组合问题的基本模型及解题方法导语：解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列（有序）还是组合（无序），还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合 理地利 用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：类与类必须互斥（不相容），总类必须完备（不遗漏）；乘法原 理的特征是分步解 决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与 “类”交叉，有机结合，可以是类中 有步，也可以是步中有类，以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分

2、清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行； 一题多解，检验真伪。注意 以下几点： 1、解排列组合应用题的一般步骤为：什么事：明确要完成的是一件什么事（审题）； 怎么做：分步还是分类，有序还是无序。2、解排列组合问题的思路（1）两种思路：直接法，间接法。（2）两种途径：元素分析法，位置分析法3、基本模型及解题方法：（一）、元素相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例1、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。A、720 B、360 C、240 D、120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就 是在解决对于某几个元素要求相邻

3、 问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。（2）、全不相邻问题插空法例2、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不 得 相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有 6!,这6个节目的空隙及两端共有 七个位置中再排4个舞蹈节目有A；种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为代A种例3、高三（一）班学要安排毕业晚会的 4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目 的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是A 1800 B、3600 C、4320 D、5040解：不同排法的种数为 AA= 3600,故选B说明：从解

4、题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将 它隔 开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。(3)、不全相邻排除法，排除处理例4、五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法解：A5AIA3 或 3A； A1 2 3A； 72例5、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间 的3 个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是解法一： 前后各一个，有8X 12X 2= 192种方法前排左、右各一人：共有4X 4X 2 = 32种方法1<LUI乙可坐 2个位置乙可坐1个位置1 + 1= 2 两人

5、都在前排：两人都在前排左边的四个位置：10 1210 553种方法？同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有 55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55X2= 110此种情卅仔F。+、为三徘翳法因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有 6 + 6= 12种方 法 两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 192 + 32+ 12+ 110= 346种解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种。），7号座位与8号座位不算相邻（坐在后 排 相邻的情况有22种。），

6、共有Ao 2 （11 6） 346种x 甲乙育皆牛也霓町生乙有个相霓町星（二）、定序问题缩倍法例6、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（解：5面旗全排列有Af种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有10 乞A说明：在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便？例7、某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么 安排这6项工程的不同排法种数是 。解一：依题意，只需将剩余两个工

7、程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插 一个或二个），可得有A2 5 A = 30种不同排法。解二：6!=304!例8、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十 位的数 字的共有（）A、210 个 B、300 个 C、464 个D、600 个解：1A1A5 300故选 B2（三）、多元问题分类法例9.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和 乙 不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲 和 乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分

8、情况讨论，甲、丙同去，则乙不去，有C； A: =240种选法；甲、丙同不去，乙去，有 C A八二240种选法；甲、乙、丙都 不去，有A 120种选法，共有600种不同的选派方案.例10、设集合I 1,2,3,4,5。选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（B）A、 50 种 B、 49 种C、 48 种D、 47 种解析：若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有 C52=10种；若集合A中有一个元 素， 集合B中有两个元素，则选法种数有 C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个 元素，则选法种数有C4=5种；若集合A中有一个元素，集合B

9、中有四个元素，则选法种数有 C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有 C53=10种；若集合 A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C; =5种；若集合A中有两个元素， 集合B中有三个元素，则选法种数有 C; =1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元 素，则选法种数有Cs=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C;=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C; =1种；总计有49 种，选B.解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C; =10种选法，小的给A集合，大的给

10、B集合；从5个元素中选出3个元素，有C3=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一 组给A 集合，较大元素的一组的给 B集合，共有2X10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有Cs=5种选法，再分成1、3; 2、2; 3、1两组，较 小 元素的一组给A集合，较大元素的一组的给 B集合，共有3X 5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有 C55=1种选法，再分成1、4; 2、3; 3、2; 4、1两组，较小元素的一组给 A集合，较大元素的一组的给 B集合，共有4X1=4种方法；总计为 10+20+15+4=49 种方法。选 B.例11、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒

11、子里，使得放入每个 盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A、10 种B、20 种C、36 种D、52 种解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒 子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C： 4种方法；1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C4 6种方法；则不同的放球方法有10种，选A.说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最 后总 计。（四）元素交叉问题集合法（二元否定问题，依次分类）例12、从6名运动员中选出4名参加4X100米接力赛，如果甲不

12、跑第一棒，乙不跑 第四 棒，共有多少种不同的参赛方法解：设全集U= 6人中任选4人参赛的排列, A= 甲跑第一棒的排列, B= 乙跑第四 棒的排列,根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有：card （U） -card （A） -card （B） +card （A A B） =252例13、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上 午安排 四节课，下午安排两节课。（1） 若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法（2）要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），有多少种不同的排课方法例14、同室4人各写一张贺年卡，先集中

13、起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A、6 种 B、9 种 C、 11 种 D、23 种解：此题可以看成是将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格 填一1填入2至4的3个3个方格，又有3种填法;3X 3X 1=9种填法。数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将方格里有3种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它 第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有 故选B说明：求解二元否定问题先把某个元素按规定排入，再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。例15、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个

14、出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 ”用数字作答）。（答：78种）说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解例16、两排座位，第一排有（五）多排问题单排法一座位），则不同的座法为（3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人）CsC B、a2c； c；、AfA5解：此题分两排座可以看成是一排座，故有A种座法。.?？选D说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（六八 至多、至少问题分类法 或 间接法（去杂处理）含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适 用于 反面情况明确且易于计算的情况。例17、从

15、4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这 3人中至少 有1名女生，则选派方案共有（）A 108 种B、186 种C、216 种D、270 种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有A a3=186种，选B.例18、5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队 员 的排法有 种.（以数作答）【解析】两老一新时,有c3 C2A2 12种排法；两新一老时，有C； C： A 36种排法,例19、将5名实习教师分配到高一年级的 即共有48种排法.不同的分配方

16、案有A、30 种B、90 种 C解析：将5名实习教师分配到高一年级的5名教师分成三组，一组1人，另两组都是3个班实习，每班至少1名，最多2名，则、180 种D 270 种3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将C1 C22人，有管15种方法，再将3组分到3个班，共有15 A3 90种不同的分配方案，选 B.（七八部分符合条件淘汰法例20、四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共 有（） A、 150 种 B、 147 种 C、 144 种D、 141 种解：10个点取4个点共有G4。种取法，其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6

17、个点，有四点共面的平面有3个，故符合条件不共 面的平面有C0 4c64 6 3 141选D说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。（八）、分组问题与分配问题 分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例21、有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个 数2,3, 4。上述问题各有多少种不同的分法分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，有G种分法，再取3个不第二333组，有c；种分法，剩下3个为第三组，有C33种分法，由于三组之间没有顺序，故有 8QA种分法。（2）同（1）,共有c; c； c：种分法，因三组个数各

18、不相同，故不必再除以 A 分配问题：定额分配，组合处理；随机分配，先组后排例22、有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分 别得2本，3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有 C;种；再让乙选，有C；种；剩下的给丙,有C：种，共有c2c3c：种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将 9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有 C; C; C: .A；种不同的分法。例23、对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次 品为止， 若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多

19、少种可能解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件 次品有 C4种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有C6C3种，前4次测试中的顺序 有A4种，由分 步计数原理即得：C4 （ c6C3） a4 = 576。本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合） 后排列.练习：2、将10本不同的专著分成1、3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教 2个班，有多少种分配方 法cfc:3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法。1 30c3c34!3!90c；,且在同一个城市投资的项目不超过例24、某外

20、商计划在四个候选城市投资3个不同的项目2个，则该外商不同的投资方案有（）解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有C31 A42 36 , 二是在在两个城市分别投资1,1,1个项目，此时有A 24 ,共有C3 A： a3=60，故 选（D）（九）、相同元素入盒问题隔板法 在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中， 每盒至少一个,求方法数的问题，常用隔板法。例25、求方程x+y+z=10的正整数解的个数。（即：10个相同的小球分给三人，每人至 少1个，有多少方法）分析：将10个球排成一排，球与球之间形成 9个空隙，将两个隔板插入这些空隙 中（每 空至多插一块

21、隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为之值（如图）OOO OOO OOOO则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C9236个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：（1）、添加球数用隔板法例26、求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。分析：注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢只要添加三个球，给 x、y、z各一个球。这样原问题就转化为求 x+y+z=13的正整 数解的个数了，故解的个数为 C122 =66个。（2）、减少球数用隔板法例27、将20个相同的小球放入编号分别为

22、 1, 2, 3, 4的四个盒子中，要求每个盒 子 中的球数不少于它的编号数，求放法总数。分析1:先在编号1, 2, 3, 4的四个盒子内分别放0, 1, 2, 3个球，有1种方法； 再把剩下的14个球，分成4组，每组至少1个，由例25知有C133 =286种方法。分析2:第一步先在编号1, 2, 3, 4的四个盒子内分别放1, 2, 3, 4个球，有1种 方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为 1, 2, 3, 4的盒子里，由例26知有C133 =286种方法。（3）、先后插入用隔板法例28、为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些

23、节目的相对顺序不变，拟再添 2个小品节目，则不同的排 列方法 有多少种分析：记两个小品节目分别为 A、Bo先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有C5种方法。这一步完成后就有 5个节目了。再考虑需加入的 B节目前后的节目数，同上理知有 C6种方法。故由乘法原 理知，共有C5c630种方法。（十）、数字问题（组成无重复数字的整数） 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇 数。能被3整除的数的特征：各位数字之和是 3的倍数；能被9整除的数的特征：各位 数字 之和是9的倍数。 能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 能

24、被5整除的数的特征：末位数是 0或5。 能被25整除的数的特征：末两位数是 25, 50, 75。能被6整除的数的特征：各位数字之和是 3的倍数的偶数。例29、在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有A 36 个 B、24 个 C、18 个D 6 个解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1） 3个数字都是奇数，有A3种方法（2） 3个数字中有一个是奇数，有C； A；,故共有A3 + C； a3 = 24种方法，故选B例30、用数字0, 1, 2, 3, 4组成没有重复数字的五位数，则其中数字 1, 2相邻的偶 数有24个.（十一）、分球入盒问题例3

25、0、将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法小球不同，盒子不同，盒子不空解：将小球分成3份，每份1,1, 3或1, 2, 2。再放在3个不同的盒子中，即先分3122堆，后分配。有（66 +C5C3） ?a；a2 A2 八小球不同，盒子不同，盒子可空解：35种小球不同，盒子相同，盒子不空解：只要、31.2 2将5个不同小球分成3份，分法为：1, 1, 3; 1 , 2, 2。共有C5C2+CC将25 A：''''A：小球不同，盒子相同，盒子可空本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。共有C55 （C; C53）（ClCi+CIC!）41

26、 种A 2 A 2小球相同，盒子不同，盒子不空2解：（隔板法）。0 00 00,有C4种方法小球相同，盒子不同，盒子可空解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔 板（可 以相邻）。那么2块隔板分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。故有C; =21,解：分 步插板法。 小球相同，盒子相同，盒子不空解：5个相同的小球分成3份即可，有3, 1, 1; 2, 2, 1。共2种 小球相同，盒子相同，盒子可空解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5, 0, 0; 4, 1, 0; 3, 2, 0; 3 , 1, 1; 2, 2, 1。例31、

27、有4个不同的小球，放入4个不同的盒子内，球全部放入盒子内（1） 共有几种放法（答：44）（2）恰有1个空盒，有几种放法（答：CA： 144）（3）恰有1个盒子内有2个球，有几种放法（答：同上C： a3 144）（4）恰有2个盒子不放球，有几种放法（答：C： a2 c2c2 84）（十二）、涂色问题（2） 用计数原理处理的问题，需要关注图形的特征：多少块多少色（3） 以涂色先后分步，以色的种类分类。例32、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花，则不同的栽种方法有多少种法1 :按对称区域颜色是否相同分类分析

28、：四种不同的颜色涂在如图所示的 6个区域，且相邻两个区域不能同色，只能选用4种颜色，要分四类：与同色、与同色，则有a4 ；（2）与同色、与同色，则有a4 ；（3）与同色、与同色，则有 a4 ；（4）与同色、与同色，则有 A：;（5）与同色、与同色，则有a4 ；所以根据加法原理得涂色方法总数为5a4=120法2:转化法将其转化为空间图形如右图，转化为对点涂色。 1号和其他5个区域都相邻，其 他5 个区域按逆时针顺序3个3个相邻，因此对这个5棱锥的涂色问题，可转化为 用3种颜色 对底面5边形进行涂色。第1步：对顶点1进行涂色，有C4种涂法；第2步：用剩余的3种颜色对平面5边形的顶点涂色，则必然有二

29、组相对顶点同色，有如下五种分组方式：第一种：（2,4）,（3,5）,6;第二种：（2,4）,（3,6）,5;第三种：（2,5）,（3,6）,4;第四种：（2, 5） , （4, 6） , 3;第五种：（3, 5）,（4, 6） , 2.每种分组方式的涂色方法有 A种，根据分类、分步计数原理有 C4 5A；120种涂色方法。例33、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若 只有五种 颜色可供使用，则不同的染色种数为420应该指出的是，上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于同一问 题有时 会有多种方法，这时要认真思考和分析，灵活选取最佳方法。（十三）、不同元素

30、进盒，先分堆再分配对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再分配。例34、5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法解：先把5位老师分3堆，有两类：3,1,1分布有C53种和1,2,2分布有等种，再排 列到3个班里有A种，故共有（C3C5c2c2)a3 种。A注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位（否则有重复计数）。即“同一盒内的元素必须一次进入”。（十四）、两类元素问题组合选位法例35、法由鹳费口，有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可 解：故有C；种跨法。注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应

31、予重视。例36、 沿图中的网格线从顶点A到顶点B,最短的路线有几条解：每一种最短走法，都要走三段“线和四段“一”线，这是两类元素不分顺序的排列问题。故有 C3或C;种走法。例37、从5个班中选10人组成校篮球队（无任何要求），有几种选法解：这个问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格（构成5个盒子），是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故4块“档板"与10个球一样也要参与排成一列而占位置，故有 G:种选法。（十五）、特殊元素（位置）优先法对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排 在操作时，针对实际问题，有时“元

32、素优先”，有时“位置优先”。例38、023,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个解法一：（元素优先）分两类：第一类：含0, 0在个位有A种，0在十位有A； A；种；第二类：不含0,有A； A：种。故共有（A4 A2A； ） +A2A2 30种。注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。解法二：（位置优先）分两类：第一类：0在个位有A2种；第二类：0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十 位，有A； a3a *种。故共有 a2+a； a a3=30例39、电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告， 要求首 尾必须播放公益广

33、告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）？解：分二步：首尾必须播放公益广告的有 A2种；中间4个为不同的商业广告有 A，种，从而 应当填A22? a = 48.从而应填48.（十六）、“小团体”排列，先“团体”后整体对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组 团”并视 为一个元素再与其它元素排列。例40、四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有 a2a2种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有a3种，由乘法原理，共有223A 4 A 2 A 3 种.（十七）、逐步试验法如果题中附加条件增多，直接解决困难，用试验法寻找规律也是行之有效的方法.例41、将数字1,2,3,4填入标号为123,4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有 种。解：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为复杂，可用试验法逐步解决第一方格内可填2或3或4 ?如填2,则第二方格内可填1或3或4 ?若第二方格内填