分类加法计数原理与分步乘法计数原理.

1、用AZ或09给教室的座位编号分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法两类中的方法不相同例在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体如下:A大学生物学化学医学物理学工程学B大学数学会计学信息技术学法学分析:两大学 只 能 选一 所 一 专业,且没有共 同 的 强项专业54+=9 做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法用

2、前6个大写英文字母和19个阿拉伯数字,以A1,A2,B1,B2的方式给教室的座位编号.A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A99种B1234567899种6 9 =54如图如图,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3条，由条，由B村去村去C村的村的道路有道路有2条。从条。从A村经村经B村去村去C村，共有多少种村，共有多少种不同的走法不同的走法?A村村B村C村村北北南南中中北北南南分析分析: 从从A村经村经 B村去村去C村有村有 2 步步, 第一步第一步, 由由A村去村去B村有村有 3 种方法种方法, 第二步第二步, 由由B村去村去C村有村有 2 种方法种方法,所以从所以从A村经

3、村经 B村去村去C村共有村共有 3 2 = 6 种不同种不同的方法的方法分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn种不同的方法.例设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出男、女各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法?分两步进行选取男女3024=720再根据分步乘法原理若再要从语,数,英三科科任老师中选出一名代表参加比赛,那又共 有 多 少 种 选 法 ?老师3=2160 如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第3步有m3种不同的方法,那么完成这件事共有_种不同的

4、方法.N=m1m2m3做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有_种不同的方法.N=m1m2mn 例 书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法?有3类方法,根据分类加法计数原理N=4+3+2=9(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?分3步完成,根据分步乘法计数原理N=432=24练习 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?分两步完成左边右

5、边甲乙丙乙丙甲丙甲乙32第一步第二步 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？练习 一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成十个数字组成,可以设置多少种三位数的可以设置多少种三位数的密码密码(各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复)?首位数字不为首位数字不为0的的密码数是多少密码数是多少?首位数字是首位数字是0的密码数又是多少的密码数又是多少? 分析分析: 按密码位数按密码位数,从左到右从左到右依次设置第一位、第二位、第三依次设置第一位、第二位、第三位位, 需分为三步完成需分为三步完成; 第一步第一步, m1

6、= 10; 第二步第二步, m2 = 10; 第三步第三步, m3 = 10. 根据乘法原理根据乘法原理, 共可以设置共可以设置 N = 101010 = 103 种三位数的密码。种三位数的密码。练习 答答:首位数字不为首位数字不为0的密码数是的密码数是 N =91010 = 9102 种种, 首位数字是首位数字是0的密码数是的密码数是 N = 11010 = 102 种。种。 由此可以看出由此可以看出, 首位数字不为首位数字不为0的密码数与首的密码数与首位数字是位数字是0的密码数之和等于密码总数。的密码数之和等于密码总数。问问: 若设置四位、五位、六位、若设置四位、五位、六位、十位等、十位等

7、密码密码,密码数分别有多少种？密码数分别有多少种？答答:它们的密码种数依次是它们的密码种数依次是 104 , 105, 106, 种。种。 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?练习解解: 按地图按地图A、B、C、D四个区域依次分四四个区域依次分四步完成步完成, 第一步第一步, m1 = 3 种种, 第二步第二步, m2 = 2 种种, 第三步第三步, m3 = 1 种种, 第四步第四步, m4 = 1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种得到不同的涂色方案种数共

8、有数共有 N = 3 2 11 = 6 种。种。 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?练习问问: 若用若用2色、色、4色、色、5色等色等,结果又怎样呢结果又怎样呢? 答答:它们的涂色方案种它们的涂色方案种数分别是数分别是 0, 4322 = 48, 5433 = 180 种。种。 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?练习如图如图, ,该电路该电路从从A A到到B B共有多共有多少条

9、不同的线少条不同的线路可通电？路可通电？AB分类完成分步完成解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分二类的通电线路可分二类, 第一类第一类, m1 = 4 条条 第二类第二类, m3 = 22 = 4, 条条 所以所以, 根据加法原理根据加法原理, 从从A到到B共有共有 N = 4 + 4 = 8 条不同的线路可通电条不同的线路可通电.ABm1m2mn.ABm1m2mn点评点评: :乘法原理看成乘法原理看成“串联电路串联电路”加法原理看成加法原理看成“并联电路并联电路”; 如图如图,一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多

10、少条爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?A1B1C1D1ACDB练习 解解: :如图如图,从总体上看从总体上看,如如,蚂蚁从顶点蚂蚁从顶点A爬到顶爬到顶点点C1有三类方法有三类方法,从局部上看每类又需两步完从局部上看每类又需两步完成成,所以所以, 第一类第一类, m1 = 12 = 2 条条 第二类第二类, m2 = 12 = 2 条条 第三类第三类, m3 = 12 = 2 条条 所以所以, 根据加法原理根据加法原理, 从顶点从顶点A到顶点到顶点C1最近最近路线共有路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。条。A1B1C1D1ACDB 如图如图,从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条

11、路可通条路可通,从乙地到从乙地到丙地有丙地有3条路可通条路可通;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4条路可通条路可通, 从丁地到丙地有从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？多少种不同的走法？练习解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 23 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 42 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。 加法原理加法原理和和乘法原理乘法原理的共同点是什么？不同点的共同点是什么？不同点什么？什么？加法原理乘法原理相同点它们都是研究完成一件事情它们都是研究完成一件事情, 共有多少种共有多少种不同的方法不同的方法不不 同同 点点方式的不同方式的不同任何一类办法中的任何一类办法中的任何一个方法都能任何一个方法都能完成这件事完成这件事这些方法需要分步这些方法需要分步,各个步骤顺次相依各个步骤顺次相依,