含参量正常积分

1、1 含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一、含参量正常积分的定义 五、例题 四、含参量正常积分的可积性 三、含参量正常积分的可微性 二、含参量正常积分的连续性 一、含参量正常积分的定义( ,)f x y , ,Ra bc d设设是定义在矩形区域是定义在矩形区域上的上的 定义在定义在 ,c d上以上以 y 为自变量的一元函数为自变量的一元函数. 倘若这时倘若这时 ( ,)f x y ,c d在在上可积上可积, 则其积分值则其积分值 ( )( ,)d , , (1)dcI xf x

2、 yyxa b是定义在是定义在 , a b上的函数上的函数.一般地一般地, 设设 ( ,)f x y为定义在区域为定义在区域二元函数二元函数. .当当 x取取 , a b上的定值时上的定值时, ,函数函数 是是( , )f x y( ,)| ( )( ) ,Gx yc xyd xaxb上的二元函数上的二元函数, 其中其中c (x), d (x)为定义在为定义在 , a b上的连上的连续函数续函数( (图图19-119-1),), 191 图图OyxbaG( )yc x ( )yd x , a b( ,)f x y若对于若对于上每一固定的上每一固定的 x 值值, 作为作为 y 的函的函 数在闭区

3、间数在闭区间 ( ),( ) c xd x 上可积上可积, 则其积分值则其积分值 ( )( )( )( ,)d , , (2)d xc xF xf x yyxa b是定义在是定义在 ,a b上的函数上的函数.( )I x( )F x用积分形式用积分形式 (1) 和和 (2) 所定义的这函数所定义的这函数 与与通称为定义在通称为定义在 , a b上的含参量上的含参量 x 的的( (正常正常) )积分积分, , 或或简称为简称为含参量积分含参量积分. . 二、含参量正常积分的连续性( )I x 的的连连续续性性( ,)f x y定理定理19.1 () 若二元函数若二元函数在矩在矩 形区域形区域 ,

4、 ,Ra bc d 上连续上连续, 则函数则函数( )( ,)ddcI xf x yy在在 a , b上连续上连续.证证 设设 对充分小的对充分小的 , ,xa b, , xxxa b有有 ( (若若 x 为区间的端点为区间的端点, , 则仅考虑则仅考虑 00 xx 或或) ), 于是于是 ()( ) (,)( ,)d ,(3)dcI xxI xf xx yf x yy由于由于 ( ,)f x y在有界闭区域在有界闭区域 R上连续上连续, 从而一致连续从而一致连续, 0 , 0 , 即对任意即对任意总存在总存在对对R内任意两点内任意两点 1122(,)(,)xyxy与与，只要只要1212|,|

5、,xxyy 就有就有 1122|(,)(,)|. (4)f xyf xy 所以由所以由(3), (4)可得可得, |,x 当当时时| ()( )|(,)( ,)|ddcI xxI xf xx yf x yyd().dcxdc即即 I (x) 在在 , a b 上连续上连续.同理可证同理可证: : 若若( ,)f x y在矩形区域在矩形区域 R上连续上连续, ,则含参则含参 量量 y的积分的积分 ( )( ,)d (5)baJ yf x yx在在c ,d 上连续上连续. .注注1 对于定理对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式的结论也可以写成如下的形式: 若若( ,)f x y在矩形区域在矩

6、形区域 R 上连续上连续, ,则对任何则对任何 0 , ,xa b都有都有 00lim( ,)dlim( ,)d .ddccxxxxf x yyf x yy这个结论表明这个结论表明, ,定义在矩形区域上的连续函数定义在矩形区域上的连续函数, ,其极其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的限运算与积分运算的顺序是可以交换的. . , , , ,a bc dc d上上连连续续可可改改为为在在上上连连续续 其其中中 为任意区间为任意区间. . 注注2 由于连续性是局部性质由于连续性是局部性质, , 定理定理19.1中条件中条件f 在在( )F x 的的连连续续性性( ,)f x y定理定理19.2 (

7、) 若二元函数若二元函数在区在区 域域( ,)| ( )( ) ,Gx yc xyd xaxb上连续上连续, 其其 中中c(x), d(x)为为 , a b上的连续函数上的连续函数, 则函数则函数 ( )( )( )( ,)d(6)d xc xF xf x yy在在 , a b上连续上连续.证证 对积分对积分(6)用换元积分法用换元积分法, 令令 ( )( ( )( ) .yc xt d xc x当当 y 在在c(x)与与d(x)之间取值时之间取值时, t 在在 0, 1 上取值上取值, 且且 d( ( )( )d .yd xc xt所以从所以从(6)式可得式可得 ( )( )( )( ,)d

8、d xc xF xf x yy10( , ( )( ( )( )( ( )( )d .f x c xt d xc xd xc xt由于被积函数由于被积函数 ( , ( )( ( )( )( ( )( )f x c xt d xc xd xc x在矩形区域在矩形区域 , 0 ,1a b 上连续上连续, , 由定理由定理19.1得积分得积分 (6)所确定的函数所确定的函数 F(x) 在在a, b连续连续. 三、含参量正常积分的可微性( )I x 的的可可微微性性( ,)f x y定理定理19.3 () 若函数若函数 与其偏导与其偏导 ( ,)xfx y , ,Ra bc d数数都在矩形区域都在矩形

9、区域 上连续上连续, , 则函数则函数 ( )( ,)ddcI xf x yy在在 , a b上可微上可微, 且且d( ,)d( ,)d .dddxccf x yyfx yyx , a b , xxa b 证证 对于对于 内任意一点内任意一点x, 设设(若若 x为为 区间的端点区间的端点, 则讨论单侧函数则讨论单侧函数), 则则 ()( )(,)( ,)d .dcI xxI xf xx yf x yyxx由微分学的拉格朗日中值定理及由微分学的拉格朗日中值定理及 ( ,)xfx y在有界闭在有界闭 域域 R上连续上连续( (从而一致连续从而一致连续),),对对 0 ,0, 只要只要 x 时时，

10、就有就有(,)( ,)( ,)xf xx yf x yfx yx (,)( ,),xxfxx yfx y (0,1). 其其中中因因此此( ,)ddxcIfx yyx (,)( ,)( ,) ddxcf xx yf x yfx yyx ().dc , ,xa b这就证明了对一切这就证明了对一切 有有 , , Ra bp q , a b上连续上连续, c(x), d(x)为定义在为定义在上上 d( )( ,)d .ddxcI xfx yyx( )F x( ,),( ,)xf x yfx y定理定理19.4 (的可微性的可微性) 设设在在 其值含于其值含于 p, q内的可微函数内的可微函数, 则函

11、数则函数( )( )( )(, )dd xc xF xf x yy在在 , a b上可微上可微, 且且( )( )( )( ,)d( ,( )( )d xxc xFxfx yyf x d x d x( , ( ) ( ) . (7)f x c x c x证证 把把 F(x) 看作复合函数看作复合函数: ( )( , ,)( ,)d ,dcF xH x c df x yy( ),( ).cc xdd x由复合函数求导法则及变动上限积分的性质由复合函数求导法则及变动上限积分的性质, 有有 ddd( )dddHHcHdF xxxcxdx( )( )( ,)d( ,( ) ( )( , ( ) ( )

12、 .d xxc xfx yyf x d x d xf x c x c x注注 由于可微性也是局部性质由于可微性也是局部性质, 定理定理19.3 中条件中条件 f 与与 , , , ,xfa bc dc d 在在上上连连续续可可改改为为在在上上连连续续其中其中 为任意区间为任意区间. . 四、含参量正常积分的可积性由定理由定理19.1与定理与定理19.2推得推得:( )I x 的的可可积积性性( ,)f x y定理定理19.5 () 若若在矩形区域在矩形区域 , ,Ra bc d , a b上连续上连续, ,则则 I (x)与与 J (y)分别在分别在和和 ,c d上可积上可积. . 这就是说这

13、就是说: 在在( ,)f x y连续性假设下连续性假设下, 同时存在两个同时存在两个求求积顺序不同的积分积顺序不同的积分: ( ,)ddbdacf x yyx ( ,)dd .dbcaf x yxy 与与 为书写简便起见为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作今后将上述两个积分写作d( ,)dbdacxf x yyd( ,)d .dbcayf x yx 与与 前者表示前者表示( ,)f x y先对先对 y 求积然后对求积然后对 x 求积求积, 后者则后者则表示求积顺序相反表示求积顺序相反. 它们统称为它们统称为累次积分累次积分.在在( ,)f x y连续性连续性假设下假设下,累次积分与求积顺序

14、无关累次积分与求积顺序无关.( ,)f x y , ,Ra bc d定理定理19.6 若若在矩形区域在矩形区域上上 连续连续, 则则 d( ,)dd( ,)d . (8)bddbaccaxf x yyyf x yx1( )d( ,)d ,udacI uxf x yy2( )d( ,)d ,ducaIuyf x yx证证 记记 1d( )( )d( ).duaI uI xxI uu12 , ,( )( )ua bI uI u现现在在分分别别求求与与的的导导数数. .其中其中2( )( ,)d .dcIuH u yy2( ) ,( ,)( ,)d ,uaIuH u yf x yx令令对于对于 则有

15、则有( ,)H u y( ,)( ,)uHu yf u y因为因为 与与都在都在R上连续上连续, 由由 12( )( )().I uI ukk为为常常数数2d( )( ,)d( ,)dddduccIuH u yyHu yyu( ,)d( ) .dcf u yyI u定理定理19.3, 12( )( ) ,I uIu , ,ua b故得故得 因此对一切因此对一切 有有 12( )( ) , , .I uIuua b当当 时时, 12( )( )0 ,0,I aIak于于是是即得即得ua取取 就得到所要证明的就得到所要证明的(8)式式.ub122d( ).1aaxI axa,1aa以以及及解解 记

16、记由于由于 五、例 题 例例1 求求 1220dlim.1aaaxxa2211xa都是都是 a 和和 x 的连续函数的连续函数, 由定理由定理19.2 已已知知1200dlim ( )(0).41axI aIxI (a) 在在 处连续处连续, , 所以所以 0 a例例2 讨论函数讨论函数21ln(1)( )dxyI xyy 的连续性的连续性.( )I x( 1 2,).解解 易见易见的定义域为的定义域为 令令ln(1)1( , ), ( , )(,) 1,2.2xyf x yx yy 0011(,), ,22xa baxb使得使得 ( , )f x y , 1, 2a b 在在( ) ,I x

17、a b在在上连续上连续, 因此因此上连续上连续, 从从 0 x0 x( )I x( 1 2,)而在而在上连续上连续. 由由的任意性可得的任意性可得在在上连续上连续. . 例例3 计算积分计算积分120ln(1)d .1xIxx解解 令令120ln(1)( )d ,0,1.1xIxx 上满足定理上满足定理19.3的条件的条件, 于是于是 120( )d .(1)(1)xIxxx 因为因为(0)0, (1),III0,1 0,1R显然显然 且函数且函数 在在( )I 2221,(1)(1)111xxxxxx1112220001( )ddd1111xIxxxxxx 1112200011arctanl

18、n(1)ln(1)12xxx 所以所以211ln2ln(1) .142 1120011( )ln2ln(1) d142Id 112001ln(1)ln2arctan(1)82I ln2ln2(1)88I因而因而 ln2(1).4I 10( )d(1)(0)(1) ,IIII另一方面另一方面 (1)ln2 .8II 所以所以 分分小时小时, 函函数数101( )()( )d(1)!xnxxtf ttn (9) 的各阶导数存在，且的各阶导数存在，且 ( )( )( ).nxf x 例例4 设设 在在 的某个邻域内连续的某个邻域内连续, 验证当验证当|x|充充0 x )(xf解解 由于由于(9)中被积函数中被积函数 1(, )()( )nF x txtf t以以及及其其偏导数偏导数 (, )xFx t在原点的某个方邻域内连续在原点的某个方邻域内连续, 于于 是由定理是由定理 19.4 可得可得 201( )(1)()( )d(1)!xnxnxtf ttn 11()( )(1)!nxxf xn201(1)()( )d .(2)!xnnxtf ttn301( )(1)()( )d ,(3)!xnxnxtf ttn ( )101( )(1)()( )