2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究

1、20182018 全国 3 3 卷第 2121 题的命题背景及解法探究0；例. .（20182018 全国 3 3 卷第 2121 题）已知函数f x2x ax Inx 1 2x(1)(1)0,证明：当1 x 0时,0;当x0时，f(2)(2)0是f x的极大值点，求【解析】(1)(1)0，则f x 2x In2x2 In x2xx 2In竺，则g xx 21Flx2所以0,单增，又因为g 0故当0时,0时,(2)(2) 尝试一:（极大值点的第二充要条件：已知函数x在x X0处各阶导数都存在且连续,x0是函数的极大值点的一个充要条件为前2n1阶导数等于 0 0,第2n阶导数小于 0 0。f x

2、2ax In x2 x ax22,2ax In x2aInx 3ax 4a 1厂,f0f x2ax26ax旦，由f x下证：当x的极大值点,f xx 13，所以fx在1,0单增，在（进而有f x f 00,从而f x在1,单减,当x1,0时，f xf 00，:当x 0,时，0,1xx 6f x f从而f x在1,0单增，在0,单减，所以x 0是f x的极大值点。单减20182018 全国 3 3 卷第 2121 题的命题背景及解法探究0；（点评：计算量很大，但不失为一种基本方法，激励热爱数学的学生不拘泥于老师所教，就着自己的兴趣，不断学习，学而致知。基于此，还可以从大学的角度给出一种解法。通过

3、12xy ln x 1在1,2阶的帕德逼近可得In x 12，且两个函数在x 0处两12 6x x2个函数可以无限制逼近，估计这也是考试中心构造这个函数的方法。由此可以迅速得到1a一，我们也可以根据帕德逼近把此题的对数函数改为指数函数和三角函数，构造出相6应的题目。尝试一难点在于f x的各阶导数太复杂，由帕德逼近优化其解法。引理1 1 :若yf x与g xp x在x xo处函数值和导数值都相同，则q xh xq x f x p x在x Xo处导数为0. .证明：p x q x p x q x h x q x f x q x f x px，g x2q x因为fxog xo，且fXog xo，代入

4、化简即证：hXo0的一个充要条件为前2n 1阶导数等于 o o，第2n阶导数小于 o o。f x12ax In2 x ax2V,A2，A1x 12令m x12 ax In x121，u XXax 2X1则易得m ou o，m ou o，mou o，由引理 1 1 知，m o u o等价于f x o，从而迅速求得a1当a时，f4o o6尝试二：若xo是f x的极大值点，注意到f o o，得到一个恒成立问题，其基本方法之一有分离参数法。f x2xln x 1a In x 1引理 2 2 :已知函数yf x在x Xo处各阶导数都存在且连续,x Xo是函数的极大值点则存在充分接近于0的，使得当x,o时，f x o,当x o,时，f x o *x2对任意的x 1,，都有2xln x 1 o，进而有2xln x 1lim0当limx 0 xln x 1x 12xln x12xx 1xln x 1x 12x ln x12xlimx 0 x 1当x 0,时，a0时，a limx 021 ln x 1,0时，a0时，a limx 0ln x 1x 12xln x 13x24xlnx 12xln x 1limx 04ln x 12 x 1 6x 4ln xx 12x ln x 1