余弦定理的证明方法大全共十法精编版

1、最新资料推荐余弦定理的证实方法大全共十法一、余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦 的积的两倍,即在 MBC中,AB=c, BC=a, CA = b,那么有asin A sin B sinC sin( A B) =b2 c2 -2bccosA,b2 = c2 a2 - 2ca cosB, c2 = a2 b2 -2abcosC .、定理证实为了表达的方便与统一,我们证实以下问题即可在 AABC 中, AB=c, AC=b,及角 A,求证：a2 = b2+c2 2bccosA.证法一：如图1,在AABC中,由CB = AB-AC可得:T T T TC

2、B CB =(AB -AC) (AB - AC)T2-»2 T -*二AB AC -2AB AC,22=b c -2bccosA即,a2 = b2 c2 - 2bc cos A.证法二：本方法要注意对/A进行讨论.(1)当 /A 是直角时,由 b2 +c2 -2bccos A =b2 +c2 2bccos90 0 = b2 +c2 = a2 知结论成立.当/A是锐角时,如图2-1,过点C作CD _L AB,交AB于点D,那么在 RtMCD 中,AD =bcosA, CD =bsin A.D图2-1B从而,BD = AB-AD =c-bcosA.在RtABCD中,由勾股定理可得：一 2

3、2 一 2BC -BD CD最新资料推荐点D就与点B重合；假设/B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.(3)当/A是钝角时,如图2-2,过点C作CD _L AB ,交BA延长线于点D ,那么 在 RtMCD 中,AD =bcos(n A) = bcosA, CD =bsin(n A)= bsin A.从而,BD = AB AD =c-bcosA.在RtABCD中,由勾股定理可得：222BC = BD CD= (c-bcosA)2 (bsin A)222=c - 2cbcos A b即,a2 =b2 c2 -2bccosA.综上(1),(2),(3) 可知,均有 a2 = b2 +c2 -2b

4、ccos A成立.证法三：过点A作AD _L BC ,交BC于点D ,那么 在 RtAABD 中,sina =BD, cos"=能. 在 Rt ACD 中,sin =CD , cos '二个.由 cos A =cos(a + P) =cosa cos P -since sin P 可得:_ _2A AD AD BD CD AD - BD CDcos A =二c b c bbc2AD2 -2BD CD c2 -BD2 b2 -CD2 -2BD CD - 2bc -2bcb2 c2 -(BD CD)2 b2 c2 - a22bc2bc整理可得 a2 =b2 ' c2 -2

5、bccosA.证法四：在AABC中,由正弦定理可得a _ b _ c _ c从而有 bsin A = asin B ,csin A = asin(A + B) = asin AcosB + a cos Asin B . 将带入,整理可得acosB = c-bcosA将,平方相加可得 a2 = (c -bcos A)2 +(bsin A)2 =b2 +c2 -2bccos A .即,a .:= 2 -2cos A=2-2cos(B C )cos( B - C) - 4sin B sin C cos A由于 cos(B +C) =cos(n -A) = -cosA,因此 2 .二 cos A =c

6、os(B C )cos( B - C) 2sin B sin C cos A:二 cosA = -cos(B -C) 2sin Bsin Cu cos A =-cosBcosC+sin Bsin C =-cos(B+C).这,显然成立. = b2 c2 -2bc cos A.证法五：建立平面直角坐标系(如图4),那么由题意可得 点A(0,0) , B(c,0) , C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式 可得 a2 = (c-bcosA)2 (bsin A)2 = c2 -2cb cos A b2.即,a2 = b2 c2 - 2bc cos A.证法六：在AABC中,由正弦定理可得

7、a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC .于是,a2 =4R2sin2 A =4R2sin2(B C)-2,2r 2c2r .2c c . r . c r c、=4R (sin Bcos C cos Bsin C 2sin Bsin CcosBcosC)". 2222=4R (sin B sin C-2sin Bsin C 2sin Bsin C cosBcosC)=4R2(sin2B sin2C 2sin BsinCcos(B C)_2.2_.2_、=4R (sin B sin C -2sin Bsin C cos A)_2 _2 _二 (2RsinB

8、) (2RsinC) -2(2Rsin B)(2 Rsin B)cos A,22=b c -2bccosA即,结论成立.证法七：在AABC中,由正弦定理可得a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC.于是,a2 =b2 c2 -2bccosA_2 , 2 ,_2 . 2 _2 , 2 2 . _ . _.=4R sin A = 4R sin B 4R sin C -8R sin Bsin C cosA2222sin A =2sin B 2sin C -4sin BsinCcosA2.:二 2sin A=2-cos2B cos2C.4sin Bsin C cos A最新

9、资料推荐即,结论成立.证法八：如图5,以点C为圆心,以CA= b为半径作C ,直线BC与1C交于点D,E ,延长GA图5AB交L C于F ,延长AC交L C于G .那么由作图过程知AF = 2bcosA ,故 BF =2bcosA -c.由相交弦定理可得：BABF =BD BE,即,c (2b cos A -c) = (b a) (b -a),整理可得：a2 =b2 , c2 -2bccosA.证法九：如图6,过C作CD / AB,交AABC的外接圆于D,那么AD = BC=a, BD = AC=b.分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F ,那么AE = BF =bcosA,故CD = c-2bcosA.图6由托勒密定理可得 AD BC = AB CD - AC BD ,即,a a = c (c -2b cos A) b b .整理可得：a2 = b2 c2 - 2bc cos A.整理可得：a2 = b2 c2 - 2bc cos A.图7-2证法十：由图 7-1 和图 7-2 可得 a2 = (c -bcos A)2 +(bsin A)2,余弦定理的证实方法还有很多,比方可以用物理方法证实