第五章 测量误差的基本知识

1、第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.1 5.1 测量误差概述测量误差概述5.2 5.2 偶然误差的统计特征偶然误差的统计特征5.3 5.3 观测值的最或然值及改正数。观测值的最或然值及改正数。5.4 5.4 观测值的精度评定观测值的精度评定5.5 5.5 误差传播定律误差传播定律5.6 5.6 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差5.7 5.7 最小二乘原理与测量平差最小二乘原理与测量平差5.1测量误差概述v定义定义对于某个观测量，观测值与理论值之间的差值称为测量误差。v特点特点v测量的过程中始终伴随着误差；测量的过程中始终伴随着误差；v测量误差可以通过一定的方法得到减小

2、，测量误差可以通过一定的方法得到减小，但无法消除；但无法消除；1)1)误差误差错误。错误。5.1测量误差概述（1 1）测量误差产生的原因）测量误差产生的原因v仪器的误差仪器的误差v人的原因产生的误差人的原因产生的误差v外界环境的影响外界环境的影响5.1测量误差概述v（2 2）测量误差的分类）测量误差的分类根据产生的原因和对观测结果影响性质根据产生的原因和对观测结果影响性质的不同，测量误差分为的不同，测量误差分为系统误差系统误差和和偶然偶然误差误差5.1测量误差概述v系统误差系统误差在相同的观测条件下，对某一个观测量进行一系列的在相同的观测条件下，对某一个观测量进行一系列的观测，如果出现的误差在

3、符号和数值上都相等，或按观测，如果出现的误差在符号和数值上都相等，或按一定的规律变化，则称为一定的规律变化，则称为“系统误差系统误差”。v偶然误差偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，如果在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看也误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看也没有一定的规律性，则称为没有一定的规律性，则称为“偶然误差偶然误差”。5.1测量误差概述（3 3）测量误差的处理原则）测量误差的处理原则v对于系统误差，采用高精度的测量仪器和数学模型改正的方法v对于偶然误差，采用多次测量取平均值的方法v另外为防止错误和提高观测精

4、度，均需要进行多余必要观测数的“多余观测”。5.2 偶然误差的统计特征v测量误差理论主要讨论具有偶然误差的一系列观测值中如何求得最可靠的结果（称为最或然值或估值）和评定观测成果的精度。5.2 偶然误差的统计特征1 212niX,nn, , , ,nil llX l 设 某 一 量 的为 对 此 量 进 行 了次 观 测 ， 得 到个 观 测 值 为 ：则 每 次 观 测 中 产 生 的 偶 然误 差 （ “ 真 误 差 ” ） 为 ： ， ，定 义 ：真 值研究的分布规律研究的分布规律静态观测值静态观测值：不精密（随机误差大）不精密（随机误差大） 准确（系统误差小）准确（系统误差小）不精密（随

5、机误差大）不精密（随机误差大）不准确（系统误差大）不准确（系统误差大）精密（随机误差小）精密（随机误差小）准确（系统误差小）准确（系统误差小）精密（随机误差小）精密（随机误差小）不准确（系统误差大）不准确（系统误差大）动态观测值动态观测值设设X(t)为信号流，它满足方程：为信号流，它满足方程：X(t+1)=aX(t)+(t) 其中其中a为实参数，为实参数， (t)代表误差。真正的信号代表误差。真正的信号 并不可能观察到。人们所能观察到的是并不可能观察到。人们所能观察到的是Y(t)=X(t)+E(t)E(t)为噪声。从观察值为噪声。从观察值Y(t)出发，检测出出发，检测出 X(t) 是通讯工程中

6、的重要课题。这是过程是通讯工程中的重要课题。这是过程预测与滤波问题。预测与滤波问题。含误差的动态测量值含误差的动态测量值偶然误差的分布规律真误差的频率直方图偶然误差的特性v在一定条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；v绝对值较小的误差出现的频率较大，绝对值大的出现的频率小；v绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率v当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋于零。 0limlim21nnnnn偶然误差的特性：一个变量一个变量，若其取值随着试若其取值随着试验的结果的变化而变化，即其取值具有验的结果的变化而变化，即其取值具有随机性，且能事先知道它的所有可能随机性，且能事先知道

7、它的所有可能取值，不能事先确定它将要取哪一个取值，不能事先确定它将要取哪一个值；则称这个变量为值；则称这个变量为随机变量。随机变量。偶然误差的统计特性v当误差的个数逐渐增大，同时又无限缩小误差当误差的个数逐渐增大，同时又无限缩小误差的区间时，则频率直方图的边界为概率统计中的区间时，则频率直方图的边界为概率统计中的的“正态分布曲线正态分布曲线”偶然误差的统计特性 nnnEefnnnn222222122021)(22limlimlim标准差：方差：）（其数学期望：数：正态分布的概率密度函正态分布的由来正态分布的由来v正态分布，也称高斯分布，正态分布，也称高斯分布，XN(,2)。正态分布正态分布最早

8、由最早由棣莫佛棣莫佛于于1730年在求二项分布的渐近公式时年在求二项分布的渐近公式时得到；后得到；后拉普拉斯拉普拉斯于于1812年研究极限定理时也被引年研究极限定理时也被引入；入；高斯高斯则于则于1809年在研究误差理论时也导出了它年在研究误差理论时也导出了它。高斯分布的函数图象是一条位于。高斯分布的函数图象是一条位于x轴上方呈钟形的轴上方呈钟形的曲线，称为高斯分布曲线，简称高斯曲线。曲线，称为高斯分布曲线，简称高斯曲线。 1809年年，高斯，高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855)发表了发表了其数学和天体力学的名著其数学和天体力学的名著绕日天体运动的理论绕日天体运动

9、的理论。在此书末尾，他写了一节有关。在此书末尾，他写了一节有关“数据结合数据结合”（data combination）的问题，实际涉及的就是这个误）的问题，实际涉及的就是这个误差分布的确定问题。差分布的确定问题。评定精度的标准中误差v定义定义nnmn22221n引入中误差中误差的原因：由于方差方差（数学概念）要求观测值个数趋于无穷，因而在工程测量中引进中误差的概念。 nnnnn2222212limlim方差：评定精度的标准相对误差v相对误差相对误差是观测值的中误差与观测值之比，是观测值的中误差与观测值之比，常用来表示距离测量的精度。一般用分母常用来表示距离测量的精度。一般用分母为为1 1的分数

10、来表示。的分数来表示。1/10001mm,m则相对误差为：的距离，测量的误差为若测量1n相对误差相对误差的数值修约规则：如某长度为738.5的边测量误差为0.15m，则其相对精度为：0.15/738.5=1/4923=1/49001/4999=1/4900 x评定精度的标准评定精度的标准极限误差极限误差评定精度的标准极限误差v由于正态分布观测值出现由于正态分布观测值出现 2 2倍以上中误倍以上中误差的概率很小，因此一般选用差的概率很小，因此一般选用2 2倍中误倍中误差作为差作为“极限误差极限误差”或称为或称为“允许误允许误差差”。用来作为衡量某个观测值是否含。用来作为衡量某个观测值是否含有粗差

11、的标准。有粗差的标准。5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数v观测值观测值最或然值定义定义在大多数条件下，观测值的在大多数条件下，观测值的真值不是已知不是已知的，测量就是要通过大量的多余观测计算的，测量就是要通过大量的多余观测计算出观测值的最或然值。因此最或然值就是出观测值的最或然值。因此最或然值就是在一定的观测条件下与真值最接近的值。在一定的观测条件下与真值最接近的值。一般用以下的两个符号来表示真值和最或一般用以下的两个符号来表示真值和最或然值。然值。XX最或然值：真值：5.3 5.3 观测值的最或然值及观测值的最或然值及观测值的改正数观测值的改正数 .lim0,22112121nlXnl

12、XnnlXlXlXlllXnnnnn从而有：误差的特性，得到趋于无穷时，根据偶然当观测次数得到：将上式相加，并除以则：，其相应的真误差为：，各次观测值为：设某一量的真值为nlimnn5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数nlnlllXnlXnnlim21即：作为该量的最或然值。限观测量的算术平均值观测，因而把有对某一个量进行无数次而实际测量中，不可能趋于该量的真值。，观测值的算术平均值当观测次数无限增大时的含义：5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数02211lnlnlXnvlXvlXvlXvlXvvnniin次的某观测量：对于观测了即：然值与观测值的差值，观测值的改正数是最或）的定义：观

13、测值的改正数（5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数v 观测值改正数的特点：观测值改正数的特点：v 一组观测值取算术平均值作为其最或一组观测值取算术平均值作为其最或然值之后，其改正值之和恒等于零然值之后，其改正值之和恒等于零; ;v 以算术平均值为最或然值满足最小二以算术平均值为最或然值满足最小二乘原则乘原则(vv=min);(vv=min);1)1) 观测值改正数与真误差是有区别的。观测值改正数与真误差是有区别的。iiilXlXvi真误差：改正数：5.3 观测值的最或然值及观测值的改正数v取算术平均值作为最或然值，满足取算术平均值作为最或然值，满足最小二乘法的证明：最小二乘法的证明：nlX

14、lXnlXXdvvdXliXvvniini0)(2)(2min)( 121求导：以此为条件对nnlXvlXvlXv22115.4 观测值的精度评定v问题：怎样用改正数问题：怎样用改正数v v来计算中误差？来计算中误差？nnmn22221n表示观测值的精度的指标：中误差中误差，比例误差，极限误差n回顾：回顾：中误差的定义5.4 观测值的精度评定）（得：，并顾及将上列各式平方后相加）（得：及将上列各式相加，并顾减，得：将上列左右两式分别相20,10,n)XXn(vvvXXnvXXvXXvXXvlXvlXlXvlXlXvlXnnnnn)()()()(,221122221111112()(2)()(1

15、22131212222212222221nvvmnvvnnvvnnnnnXXnXXnnnn即：）中得到：代入到（趋于无穷时）当两边平方：）得：由（n-2211()1niiESEXXn2111niiEXXn2211()1niiEXn Xn2211111nniiiiDXDXDXnnn222111nnnnn221111niinE XE Xnn21=DXnS2是2的无偏估计5.4 观测值的精度评定1nvvm白塞尔公式白塞尔公式(Bessel formula):已知观测值的改正数求中误差，适已知观测值的改正数求中误差，适用于绝大多数情况。用于绝大多数情况。nm已知观测值的真误差求中误差，适已知观测值的真

16、误差求中误差，适用的情况比较少。用的情况比较少。iiilXlXvi真误差：改正数：估值估值真值真值5.5 误差传播定律误差传播定律v1 1 直接观测量和间接观测量直接观测量和间接观测量如圆的直径和面积如圆的直径和面积v2 2 误差传播率的定义：误差传播率的定义：在测量工作中，有一些需要知道的量并非在测量工作中，有一些需要知道的量并非直接观测量，而是由直接观测量通过一定直接观测量，而是由直接观测量通过一定的函数关系计算而得到，由于直接观测量的函数关系计算而得到，由于直接观测量包含误差，因而函数会受其影响也包含一包含误差，因而函数会受其影响也包含一定的误差，称之为误差传播。定的误差，称之为误差传播

17、。S=D2/4直接观测量，直接观测量，有误差有误差有误差有误差5.5 误差传播定律误差传播定律v（1 1）和差函数的误差传播率）和差函数的误差传播率2222121221121222121211122121221121210 2,xxyynnyyyyymmmnnnnXXXXYXXYxxyy，趋于由偶然误差的性质，得到：除以将格式平方后再相加并）（）（）（）（）（）（）（）（）（次，则有：观测了若直接观测值从而有：由于）（）（nnn15.5 误差传播定律误差传播定律v（2 2）倍函数的误差传播率）倍函数的误差传播率222222112,xyynyyyyymkmnknkkkXXkXkYkxyy，得到：

18、除以将格式平方后再相加并）（）（）（次，则有：观测了若直接观测值从而有：）（nnn15.5 误差传播定律误差传播定律v（3 3）线性函数的中误差）线性函数的中误差222222212, 1,22222112221122222112112211112221122211122112112,)()(nyxnxxjijnjijiinnnyynnynnynnynnynnnynnmkmkmkmnkknknknknkkkkkkkkkXXkkkXkXkXkYxkxkxky，得到：除以将格式平方后再相加并）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（次，则有：观测了若直接观测值从而有：）（nnnnnn15.5

19、误差传播定律误差传播定律v（4 4）一般函数的误差传播律：）一般函数的误差传播律：。的中误差）。要求其中误差分别为：为独立观测量。已知式中：个量的函数：以下设某个要求的未知量是yxinmYnimnixxxxFYi, 2 , 1(), 2 , 1(),(21n5.5 误差传播定律误差传播定律v由于误差相对于观测值而言是微小量，由于误差相对于观测值而言是微小量，由高等数学的知识可知：变量的误差由高等数学的知识可知：变量的误差和函数的误差之间的关系，和函数的误差之间的关系，22222221221nyxxxmxFmxFmxFm）（）（）（n一般函数误差传播率的推导2222222122222222123

20、21222111212121212121,nynynnnxxxxnxxxxxynxnxxyxnxxmxFmxFmxFmmkmkmkmkkkkxF,kxFkxFxFxFxFdxFdxFdxFdy）（）（）（即：差传播律得：从而根据线形函数的误令：量：用真误差代替微分中增n25.5 误差传播定律误差传播定律v用误差传播率求观测值函数精度的步骤：用误差传播率求观测值函数精度的步骤：22222221212221121. 3)()()(. 2. 1nnynnnm)xF(m)xF(m)xF(mxxFxxFxxFY),x,xF(xY算函数的中误差：代入误差传播公式，计真误差之间的关系：出函数真误差与观测值对

21、函数进行全微分，得函数式：按观测值的性质先列出5.5 误差传播定律误差传播定律v测量中的中误差即是数学中的方差，测测量中的中误差即是数学中的方差，测量的真误差服从正态分布，可以用概率量的真误差服从正态分布，可以用概率中的方差公式来推导。若有中的方差公式来推导。若有n个服从正个服从正态分布的观测量（态分布的观测量（x1,x2,xn)，则其，则其对应的概率密度函数为：对应的概率密度函数为：TTTTTTTTAXADAXEXXEXAEAAXEXXEXAEAXEXAXEXAEAAXEAAXAAXEAAXEYEYYEYEYD)()()()()()()()()()()()(0000误差传播计算式：误差传播计

22、算式：5.5 误差传播定律v线性方程组的误差传播律：线性方程组的误差传播律：002010021222211121121m210221120222212121012121111,yyyYAAXYaaaAaaaaaaaaaAxxxXaxaxaxayaxaxaxayaxaxaxaymmnmmnnnmnmnmmmnnnn成矩阵的形式：则上面的方程组可以写令5.5 误差传播定律误差传播定律v由方差阵的定义：222221211)(nnnyyyyyyyyymmmmmmYD对称222221211)(nnnxxxxxxxxxmmmmmmXD对称Tnnnnnnxxxxxxxxxnnnnnnyyyyyyyyyaaa

23、aaaaaammmmmmaaaaaaaaammmmmmnnnnnn212222111211222212222111211222221211221211对称对称例1v某量进行了某量进行了n n次等精度观测，求其算术平次等精度观测，求其算术平均值的精度：均值的精度：) 1(11121212222222222221nnvvnmmmmmmmnmnmnmnlllXXnnXlllllln故：而有由于是等精度观测，因629nnn设要保证观测要求需要观测 测回则有：设采用某经纬仪测量角度，一测回测量中误设采用某经纬仪测量角度，一测回测量中误差为差为6,欲使观测的精度达到欲使观测的精度达到2 ，最少需要，最少需

24、要观测多少测回？观测多少测回？例2m012. 0803. 4012. 0)20626530()45305cos50(01. 0)45305(sin)cos()(sin)()(803. 445305sin50Ssinh3045305,010502202022222222200hmmSmmhmShmhm.ShSSh从而：的中误差：求高差，竖直角为边的边长为：三角高程测量中，某斜S SD D h h例3对某段距离用同等精度丈量了对某段距离用同等精度丈量了6次，结果列于下表，求这段次，结果列于下表，求这段距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的中误差。距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的中误差

25、。解：解：LixLixiixLxLLLiiLLLxvLxnnLnLnLxLL)()(000000又则令例3（续）次序次序观测值观测值(m)(m)v(mm)v(mm)vv(mm2)vv(mm2)1346.53515+4162346.54828-9813346.5200+193614346.54626-7495346.55030-111216346.53717+24v=-2vv=632mxmmnmMmLxnvvmnxLx005. 0539.3466 . 462 .11539.346019. 0520.3461663211961160520.3460L取116L例4v设对某三角形的三个内角进行了等精

26、度设对某三角形的三个内角进行了等精度观测，观测误差为观测，观测误差为 , , 求经闭合差分配求经闭合差分配后三个角的方差阵。后三个角的方差阵。20m例4（续）0000000606060323131313231313132603231313603132313603131323180202020202020202020202020323131313231313132323131313231313132000000323131313231313132)(mmmmmmmmmmmmYDT5.6 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差v1 1 不等精度观测与权：不等精度观测与权：iPmmmCi10202

27、iim1CP中误差可以表示为：表示。在引进权以后，用误差：的中误差称为单位权中为任意常数。权等于权的定义：5.6 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差v加权平均值：加权平均值：00212211PlPlXlllPPlPPPlPlPlPXiinnn代入上式计算得到：计算加权平均值：似，因此，也可以这样由于各观测量的值都近5.6 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差v加权平均值的中误差：加权平均值的中误差：测值的权之和。即加权平均值的权为观又由于按误差传播率)()()(:2200222210220222222212122211PmmPmmPPPPPPmmmmPmPPmPPmPPmlPPlPP

28、lPPXXXnXiinnXnnXP5.6 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差v单位权中误差单位权中误差的计算：100已知改正数时：已知真误差时：nPnPvvmm5.7 最小二乘原理与测量平差最小二乘原理与测量平差测量平差（测量平差（Adjustment) ) 依据某种最优化准则，由一系列依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。量的最佳估值及精度的理论和方法。 5.7 最小二乘原理与测量平差最小二乘原理与测量平差v必要观测与多余观测的概念必要观测与多余观测的概念：23Cs1s3s21.确定三角形的形状：确定

29、三角形的形状：观测三个观测三个内角的任意两个即可内角的任意两个即可,称其必要元称其必要元素个数为素个数为2，必要元素有，必要元素有 种选择种选择2.确定三角形的形状和大小：确定三角形的形状和大小：6个个元素中必须有选择地观测三个内角与元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为素个数为3。任意。任意2个角度个角度+1个边、个边、2个个边边+1个角度、三个边。个角度、三个边。3323131323CCCCC5.7 最小二乘原理与测量平差最小二乘原理与测量平差v必要观测：必要观测： 能够唯一确定一个几何模型所必要的观能够唯一确定一个几何模型

30、所必要的观测数，一般用测数，一般用t t表示。表示。v多余观测：多余观测：观测值的个数观测值的个数n n与必要观测个数与必要观测个数t t之差之差一般用一般用r r表示，表示，r=n-tr=n-t。5.7 最小二乘原理与测量平差最小二乘原理与测量平差ntnt, nt, 可以确定模型，还可以发现粗差。可以确定模型，还可以发现粗差。条件方程条件方程 必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这可见若有多余观测必然可用这t t个元素表示，个元素表示，即形成即形成r r个条件方程。个条件方程。vvv321ntr n t 180180()rvvv条件方程条件方程误差方程误差方程条件平差的一般形式：条件平差的一般形式：0A vW以条件方程为函数模型的平差方法，以条件方