梁 的 弯 曲 内 力

1、梁 的 弯 曲 内 力弯曲的基本概念弯曲的基本概念1受力特征：受力特征： 外力垂直于杆件的轴线；外力垂直于杆件的轴线；图4-14对称弯曲：对称弯曲： 梁有一纵向对称面，外力作用在对称面内，梁变形后，轴线仍在该对称梁有一纵向对称面，外力作用在对称面内，梁变形后，轴线仍在该对称面内；面内；纵向对称面对称轴轴线qpm2变形特征：变形特征： 轴线的曲率改变；轴线的曲率改变；3梁和梁的截面梁和梁的截面： 以弯曲变形为主的杆件；常见梁的截面有：圆截面、矩形截面、工字型截面、以弯曲变形为主的杆件；常见梁的截面有：圆截面、矩形截面、工字型截面、T字型截面等，如图字型截面等，如图4-1；梁的简化梁的简化RxRy

2、图4-3R图图4-2RxRy图4-4M1支座的基本形式和支反力支座的基本形式和支反力 (1) 可动铰支座：只限制梁的约束处在某一方向的移动，支反力与该移动趋势方向可动铰支座：只限制梁的约束处在某一方向的移动，支反力与该移动趋势方向相反，见图相反，见图4-2；滑动轴承、径向滚动轴承和滚轴支座均可简化成可动铰支座；滑动轴承、径向滚动轴承和滚轴支座均可简化成可动铰支座；(2) 固定铰支座：限制梁的约束处在二个相互垂直方向的移动，支反力为二个与移固定铰支座：限制梁的约束处在二个相互垂直方向的移动，支反力为二个与移动趋势方向相反的力，见图动趋势方向相反的力，见图4-3；止推轴承和不动铰支座简化为固定铰支

3、座；止推轴承和不动铰支座简化为固定铰支座；(3) 固定支座或固定端：限制梁的约束处在二个相互垂直方向的移动和绕过约束固定支座或固定端：限制梁的约束处在二个相互垂直方向的移动和绕过约束处且与梁轴线垂直的轴转动，反力为二个与移动趋势方向相反的力和一个与转动处且与梁轴线垂直的轴转动，反力为二个与移动趋势方向相反的力和一个与转动趋势相反的约束力偶；见图趋势相反的约束力偶；见图4-4；长轴承和金属切削刀架可简化为固定支座；长轴承和金属切削刀架可简化为固定支座；梁的简化梁的简化2载荷和简化载荷和简化(1) 集中力：作用力分布范围远小于梁的宽度时；集中力：作用力分布范围远小于梁的宽度时；(2) 分布载荷：沿

4、梁的全长或部分长度连续分布；用载荷集度分布载荷：沿梁的全长或部分长度连续分布；用载荷集度q表示，当表示，当q为常数时称均布载荷；为常数时称均布载荷；(3) 集中力偶：作用在梁的纵向对称面内；集中力偶：作用在梁的纵向对称面内；纵向对称面对称轴轴线qpm梁的简化梁的简化图4-6图4-5图4-73静定梁的基本形式静定梁的基本形式(2) 外伸梁：具有一个或二个外伸部分的简支梁；见图外伸梁：具有一个或二个外伸部分的简支梁；见图4-6；(3) 悬臂梁：一端固定、一端自由的梁；见图悬臂梁：一端固定、一端自由的梁；见图4-7；(1) 简支梁：梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座；见图简支梁：梁的一端是固定

5、铰支座，另一端是可动铰支座；见图4-5；梁的内力梁的内力-剪力和弯矩剪力和弯矩PQQPY , 0 0 ：xmmP1用截面法求内力：用截面法求内力：由平衡方程：由平衡方程：其中，其中，Q称剪力，称剪力，M称弯矩；称弯矩；PxMxPMMo 0 0，：PxmmPMQxo梁的内力梁的内力-剪力和弯矩剪力和弯矩2剪力和弯矩的符号规定和计算剪力和弯矩的符号规定和计算(+)QQ(-)QQ图图4-8截面左边的截面左边的向上的集中力向上的集中力在截面上产生数值相等的在截面上产生数值相等的正正剪力，而剪力，而向下的集中力向下的集中力在在截面上产生数值相等的截面上产生数值相等的负负剪力；处理分布力时，先将剪力；处理

6、分布力时，先将分布力简化成集中力分布力简化成集中力，然，然后按集中力处理；外后按集中力处理；外力偶不产生剪力力偶不产生剪力；(1) 剪力：按图剪力：按图4-8所示变形规定符号；或所示变形规定符号；或“左上右下左上右下”的剪力为正，反之为负；的剪力为正，反之为负；梁的内力梁的内力-剪力和弯矩剪力和弯矩2剪力和弯矩的符号规定和计算剪力和弯矩的符号规定和计算(+)(-)图4-9MMMM(2) 弯矩：按图弯矩：按图4-9所示变形规定符号；或所示变形规定符号；或“左顺右逆左顺右逆”的弯矩为正，反之为负；的弯矩为正，反之为负；(截面左边截面左边的的向上的集中力向上的集中力或或顺时针外力偶顺时针外力偶在截面

7、上产生在截面上产生正正弯矩，而弯矩，而向下的集中力向下的集中力或或逆时针外力偶逆时针外力偶在截面上产生在截面上产生负负弯矩；外力产生弯矩的数值等于弯矩；外力产生弯矩的数值等于外力乘以外力乘以外力至外力至截面的截面的距离距离，外力偶产生弯矩的数值等于外力偶的数值；处理分布力时，先将，外力偶产生弯矩的数值等于外力偶的数值；处理分布力时，先将分分布力简化成集中力布力简化成集中力，然后按集中力处理；，然后按集中力处理；梁的内力梁的内力-剪力和弯矩剪力和弯矩3剪力方程和弯矩方程：剪力方程和弯矩方程：)( xQQ上列函数一般是上列函数一般是分段函数分段函数，剪力方程剪力方程在在集中力集中力作用处分段，作用

8、处分段，弯矩方程弯矩方程在集中在集中力和力和集中力偶集中力偶作用处分段；作用处分段；剪力和弯矩表达成为横截面位置剪力和弯矩表达成为横截面位置x的函数式，即的函数式，即4剪力图和弯矩图：剪力图和弯矩图：横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示剪力或弯矩，即可画出剪力图和弯矩图；横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示剪力或弯矩，即可画出剪力图和弯矩图；剪力方程剪力方程 弯矩方程弯矩方程 )(xMM 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系021 00 0dxdx)x( qdx)x(Q)x(dM)x(M)x(MMdx)x( q)x(dQ)x(Q)x(QYC：)()(xqdxxdQ)()(22x

9、qdxxMdM(x)+dM(x)M(x)Q(x)+dQ(x)Q(x)dxq(x)C1推导：推导：由平衡方程：由平衡方程：略去高阶微量，整理得：略去高阶微量，整理得：合并二式：合并二式：从梁中任意取出一从梁中任意取出一dx微段，微段上作用分布集度为微段，微段上作用分布集度为q(x)的外力，如图所示；的外力，如图所示； 以上三式即为剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系式。以上三式即为剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系式。（1）（2） （3）)()(xQdxxdM载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系(1) 梁上某段梁上某段无无载荷作用，即载荷作用，即q(x)=0，则，则Q(x)=0

10、或或Q(x)=常量常量，表示剪力，表示剪力图在这一段中是一条图在这一段中是一条平平直线；直线；当当Q(x)=0时，则时，则M(x)=0或或M(x)=常量，表示弯矩图在这一段中是一条平常量，表示弯矩图在这一段中是一条平直线；直线；当当Q(x)=常量常量时，则时，则M(x)是是x的的一次函数一次函数，表示弯矩图在这一段中是一条，表示弯矩图在这一段中是一条斜斜直线；直线；2利用载荷集度、剪力和弯矩之间关系作图利用载荷集度、剪力和弯矩之间关系作图(2) 梁上某段梁上某段作用均布载荷作用均布载荷，即，即q(x)=常量，则常量，则Q(x)是是x的的一次函数一次函数，M(x)是是x的的二次函数二次函数，表示

11、剪力图在这一段中是一条，表示剪力图在这一段中是一条斜斜直线，弯矩图在这一段中直线，弯矩图在这一段中是一条是一条抛物线抛物线；当当q(x)0时，弯矩图是一条时，弯矩图是一条下凸下凸的抛物线；当的抛物线；当q(x)0，则，则Q(x)在这一段内在这一段内递增递增，反之反之则则递减递减； 当梁某段内当梁某段内Q(x)0，则，则M(x)在这一段内在这一段内递增递增，反之反之则则递减递减；(4) 在在dx微段中作用微段中作用集中力集中力P(假设向上假设向上)，则，则dQ(x)=P，dM(x)=0；表示过；表示过集中力作用的截面上，剪力向上突变了集中力作用的截面上，剪力向上突变了P(当当P力方向向下时，则向

12、下突变力方向向下时，则向下突变)，而而弯矩仍不变弯矩仍不变；(5) 在在dx微段中作用微段中作用集中力集中力M0(假设顺时针方向假设顺时针方向)，则，则dQ(x)=0，dM(x)= M0；表示过集中力偶作用的截面上，表示过集中力偶作用的截面上，剪力剪力保持保持不变不变，弯矩弯矩向上向上突变突变了了M0 (当当M0 是逆时针方向时，则向下突变是逆时针方向时，则向下突变)；载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系2利用载荷集度、剪力和弯矩之间关系作图利用载荷集度、剪力和弯矩之间关系作图 0Cdx)x(q)x(Qx 1Cdx)x(q)x(Qxx 0Ddx)x(Q)x(Mx 1Ddx)x(Q)x(Mxx(6) 将前二式积分得：将前二式积分得：其中积分常数是：其中积分常数是：C=Q(0)；或或其中积分常数是：其中积分常数是：C=Q(x1)；和和其中积分常数是：其中积分常数是：D=M(0)；或或其中积分常数是：其中积分常数是：D=M(x1)；即即任意截面上的剪力任意截面上的剪力等于等于q图上图上0到到x (或或x1到到x)面积的代数和面积的代数和加加积分常数积分常数；任意截面上的弯矩任意截面上的弯矩等于等于Q图上图上0到到x (或或x1到到x)面积的代数和面积的代数和加加积分常数积分常数；载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系2利用载荷集度