2020年中考数学复习：《圆》解答题压轴专题训练(解析版)

1、2020年中考数学复习：圆解答题压轴专题训练1.如图，AB是。O的直径，AC是O。的切线，连接 OC交OO于E,过点A作AFLAC于F交。O于D,连接DE BE BD(1)求证：Z OZ BEDQ(2)若 AB= 12, tan Z BEB=,求 CF的长.41. tan Z C=3_4',“3 0AtanZC>4 = 0C口1,且 OW77AB=6,(1)证明：: AB是。的直径，CA切。于A,Z C+Z AOG= 90 ;又 OCLAQ丁/OF 生 90 ,Z AOZ BAD= 90 ° ,.Z C=Z BAD又. / BED=Z BAD.Z C=Z BED(2)解

2、：由(1)知/ C=Z BAD tan 二上总解得AO 8,+ Rio,v OOAFJ OA>AQ研- IQ - 5 2 .如图，以 ABCW BC边上一点 O为圆心的圆，经过 A, B两点，且与 BC边交于点 E, D为弧BE的中点，连接 AD交BC于F, AC= FC连接BD(1)求证：AC是。0的切线；(2)已知。0的半径 R= 5c3 AB= 8cm 求ABD勺面积.(1)证明：连接OA 0D 点D是弧BE的中点， ./ BOD= / EOD= 90 , ./ ODFZ OFD= 90°又. / OFD= / AFC ./ ODFZ AFC= 90°又AC=

3、FC, / AFC= / CAF. OA= OD/ ODF= / OAF / OAF/ CAF= 90 ,即 / OAC= 90 ,故AC是OO的切线；(2)解：过点B作BGLAD于G,/ BO屈 90 , OB= OD= R= 5,BD=VqB24OD2=752 + 52 = &V2， 点D是弧BE的中点， ./ BAD= 45° ,Z AGB= 90 ,，/ABG= Z BAD= 45° ,即 BG= AG，2bG= AE2=82, ' ''又 DgTBuHd (5加 2 _ 反 产二班,.，I ： I '' -I r故

4、S/xabd= -j-A?BG=i X 7， X 小丘=28 (cm2).3 .如图所示，以 ABCW边AB为直径作。Q 点C在。O上，BD是。O的弦，/ A= / CBD过点C作CH AB于点F,交BD于点G过C作C曰BD AB的延长线于点 E.(1)求证：CE是。O的切线；(2)求证：CG= BG(3)若/ DBA= 30° , CG= 8,求 BE的长.-e(1)证明：连接oc. / A= / CBD-r-r*3*_*BC= DC，.OCL BDCB BDOCL CE.CE是O O的切线；(2)证明：AB为直径,.1-Z ACB= 90CEL AB .Z ACB=Z CFB=9

5、0 .,/ AB- CBFf./ A=/ BCR -Z A=Z CBD.".Z BCW/ CBD .CO BQ(3)解：连接AD.AB为直径， .Z ADB=90° , ./ BAD= 60 ,：.Z DAG= Z BAG=BAD= 30tan30BCACCE/ BD.Z E=Z DBX30',，AC=CE.0C_V3 "CE"-5vZ A=Z BCfZ CBD=30 ,.Z BCE=30 ,BE=BQCG&)A CBE.CG = BC=2/3"BC = CE|=|3 5.CG=8,BC= 8 2,，BE= 87 o fJe e

6、4.如图，B, E是。O上的两个定点， A为优弧BE上的动点，过点 B作BC!AB交射线AE于 点C,过点C作CF，BC点D在CF上，且/ EBD= /A.月(1)求证：Bg。0相切；(2)已知/ A= 30° .若BE= 3,求BD的长；当0, C两点间的距离最短时，判断 A, B, C, D四点所组成的四边形的形状，并说明 理由.(1)证明：如图1,作直径BG连接GE则/ GE2 90° , / 0/ GBE= 90° ,A= / EBD / A= / G .Z EBD= / G,，/ EB®/ GBE= 90° , ./ GBD= 90&

7、#176; ,. BDL OB BD与O 0相切；(2)解：如图2,连接AG. Bd ARZ ABO 90° ,由(1)知/ GBD= 90° , Z GBa / ABC .Z GBA= / CBD又. */ GA8 / DCB= 90 ,BCS BAGtan30盟=现BG BA又. RtABGE,/ BGE30 , BE=3,BG= 2BE= 6,BD= 6X(3)解：四边形 ABCD1平行四边形，理由如下,典BD 2，. B, E为定点，BE为定值,.BD为定彳1, D为定点，点C在以BD为直径的。M上运动,当点C在线段OM上时，OCt小,此时在RtOBMK2.MC=

8、MB / MD8 / MCD30 =/ A, . ABL BC CDL BC ./ ABC= / DCB= 90° , .AB/ CD /A+/ ACD= 180° , Z BDC/ACD= 180 , . AC/ BD，四边形ABCD；平行四边形.BO AC5.如图，在 ABC中，AB= AC。是ABC勺外接圆，连结 OA OB OC交于点D,与O O交于点F,延长BA到点G,使彳BG BGF= / GBC连接FG(1)求证：FG是。的切线；(2)若。O的径为4.当OD= 3,求AD的长度；当OCDl直角三角形时，求 ABCW面积.GG黄用图(1)证明：连接AF, .BF

9、为。O的直径， ./ BAF= 90° , / FAG= 90° , Z BGF/AFG= 90 ,Ay AC / ABO / ACB. / ACB= / AFB / BGF= / ABC ./ BGF= / AFB /AFB/AFG= 90 ,即/，OFG= 90 ,又 OF为半径，.FG是。O的切线；(2)解：连接 CF,则/ ACF= /ABF. AB- AC A0= AO BO= CO.AB孽 ACO(SSJS ,/ ABO / BAO / CAO / ACO/ CAO= / ACF. AO/ CF,，他国CD D半径是 4, OD= 3,DF= 1, BD= =7

10、,AD OD ° Rn * J CD=rDF=3,即 C 7AD. / ABO / FCD / ADB= / FDC. ADBA FDG,AD = BD"dF-cd ?AD>CD= BCPDRl q.ADPCD=7,即上At5=7,3-AD=/21 (取正值)；0D直角三角形，Z DCOF可能等于90 ,，存在/ ODG= 90° 或/ COD 90 ,当/ ODa9(r 时，. Z AC= Z ACE.OD=D曰 2, BD= 6,. AD=CQ.-AD>CD=Aj= 12, .AD=2詹，AO 4>/3，,1- S/xabp 0"x

11、 4义 6= 123;当/ CO® 90° 时,. OB=OG=4,.OBO等腰直角三角形，BC=46，延长AO BC于点M则 AML BGMG=2V2, . AM=4+2 泥，Saabc= X4,<r2x (4+2?) = 872+8,. ABCf勺面积为126或8&8.G图?G图2图16 .如图。O的直径AB= 10cm,弦BC= 6cni / ACB勺平分线交。O于D,交AB于E, P是AB延长线上一点，且 PC= PE(l)求证：PC是。的切线；/ PCE= / PEC/ PEC= / EAC/ ACE= / EAO45而 / CAB= 90°

12、; -/ABC /ABG= / OCB，/PCE= 90° - Z OCB45 = 90 - (/ OC+45 ) +45 , / OC+/ PCE= 90 ,即/ PC9 90 ,. OCL PC .PC为O O的切线；(2)连结BQ如图所示，.AB为直径， / ACB 90° ,在 RtACB中，AB= 10cm BC= 6cmAC= AB2 rBe 2= 8( eg ;. DC平分 / ACB .Z ACD= / BCD 45 , .Z DAB= / DBA= 45°， ADB等腰直角三角形， .A> 坐AB=形 (cni).DA7 .如图，在 RtA

13、BC中，/ BAC= 90° , CD平分/ ACB交AB于点D,以点D为圆心,为半径的圆与AB相交于点E,与C改于点F.(1)求证：BC是0D的切线；(2)若EF/ BQ且BC= 6,求图中阴影部分的面积.(1)证明：过D作DGL BC于G. DAL AC / ACa / BCD. DG= DA.BC是O D的切线；(2)解：连接EF,. EF/ BC 由（1） DGL BC. DGL EF, - EG= FG- ./ EDG= / CDG由（1） /ACD= /BCD /ACD/ADC= /BCD/CDG= 90 , / CDS Z ADC /CDS /ADC= / BDG= 6

14、0 . EF/ BC/ DEF= / B, / DFE= / DCB在OD中，DE= DF ./ DFE= / DEF . ./ B= / DCB. DB= DCDGL BC. CG= 5-BC= 3.28.请阅读下列材料，并完成相应的任务.在 Rt DCG3, DG= CG/1=。.22人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念:中同长也.意思说，圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年.与圆有关的定理有很多， 弦切角定理就是其中之一.我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.弦切角定理：弦切

15、角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数.卜面是弦切角定理的部分证明过程: 证明：如图，AB与。O相切于点A.当圆心O在弦AC上时，容易得到/ CAB= 90° ,所 以弦切角/ BAC勺度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数.如图，AB与。O相切于点 A当圆心O在/BAC勺内部时，过点A作直径AD交。热点D，在会上任取一点E,连接EC, ED EA则/ CED= / CAD任务:(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图，AB与。O相切于点 A当圆心O在/ BAC勺外部时，请写出弦切角定理的 证明过程.解：(1)如图，: AD是。O直径， ./ DEA= 90°

16、 . AB与。O相切于点A, ./ DAB= 90° / CED/ DEA= / CAD/DAB即/ CEA= / CAB，弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数;(2)证明：如图，过点 A作直径AF交。O于点F,连接FC,.AF是直径， ./ ACF= 90° , / CFA/ FAC= 90 , AB与。O相切于点A, ./ FAB= 90 , ./ CABZ FAC= 90 ,/ CAB= / CFA即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数.。与/P的两边分别切与 a B两点.求证:PA= PB.【深入探究】（2）在（1）的条件下，若/ APB= 60°

17、 ,连接PQ以PO为一条边向上作等边三角形 POQ连接AQ AQ求证：A0= AQ（3）若在（1）的条件下，以 0吻斜边向上作等月直角三角形 POQ取0P中点M连接MB MQ BQ 求证：/ MQBZ MBQ【拓展延伸】在（3）的条件下，连接 AQ AQ探索AQ AQ AP之间的数量关系.解：【问题背景】（1）连接 OA OB 0Pp .PA! OA PL OB，/ PAO / PBO= 90 ,在 Rt PAOH RtAPBO,严OP (0A=0B RtAPAORtAPBO(HD ,，PA= PB；【深入探究】(2) RtAPAORtPBQ/ APO= / BPO . / APB= 60&#

18、176; , ./ APO= / BPO= 30° , POO等边三角形，./ OP 60° , PO= PQ，/APQ= /APO= 30°，且 PO= PQ二.PA垂直平分OQAO= AQ图3.PB是。O是切线,. PEBL OB且点 M是OP的中点， B阵 一 PO OPO等腰直角三角形，且点M是OP的中点,.QM= 一 OP.QM= BMmQ mqbz mbq拓展延伸】AO ：AQ= AP,理由如下：过点 Q作QHL AQx APT点H, ./ AQH= / PQ® 90 , / AQe / PQH /QPO/ QOP90 , /AOP/APO=

19、 90 , / APQ/APO= / APO/AOQ/ APQ= / AOP 且 / AQ® / PQH QP= OQ.AOQ HPQ(ASA. QH= AQ AO= PH .AH= AQ.AP= PH+AH. AG- .AQ= AP10.如图，AB CE是OO的直径，过点 C的切线与 AB的延长线交于点 P, ADL PC于D,连接AC OD PE(1)求证：AC是/ DAP勺角平分线;(2)求证：pC=pa?pb；(3)若 AD= 3, PE= 2DO 求O O的半径.D证明：(1)PC是圆的切线， ADL PD AD/ OCd D DAC= / ACO. AO= CO/ CAO

20、= / ACO/ DAC= / CAO .AC是/ DAP勺平分线；(2)如右图，连接BCOC= OB/ OCB= / OBC.AB为。O的直径, / ACB 90° , ./ CABZ OB6 90 , .PC是O O的切线， / OC+/ BCP= 90 ,/ CAB= / BCP又. / CPB= / APC CP中 APC,PC PB-PA FC 'pC= pa?pb(3)设半径为 r,在 RtPCE中，PE2= (2r) 2+pC=42+pC,.PE= 2DO4DO2- 4r2+PC,.4 (DO- r2) = PC2, .4DC= PC,. PC= 2CD. AD

21、/ OCPC。 PDAad fitr = 2.E)11.如图，AB是直经，D是应的中点，DEL AC交AC的延长线于 E, OO的切线BF交*AD的 延长线于点F.(1)求证：DE是。O的切线.(2)试探究AE, AD AB三者之间的等量关系.(3)若DE= 3,。0的半径为5,求BF的长.(1)证明：如图1,连接OC OD BC.AB是直径，. Z ACB= 90 ,. DEL AC于 E,E= 90° , ./ ACB= / E,BC/ DE点D是前的中点,而=谛. ./ CO® / BOD又.OC= OB，0优直平分BCBC/ DE. ODL DE.DE是O O的切线

22、；(2) AD= ARAR理由如下:如图2,连接BD由(1)知，cd = b5, / EA民 / DAB.AB为直径, .Z ADB= / E= 90° ,. AE及 ADB,AE AE 丽一屈，即 aD=ae?ab；(3)由(1)知，/ E= / ECH= / CH注 90° ,.一四边形CHD时矩形，eED= CH= BH= 3,OH= VoC2-CH2= V, 5 2 - 3 2 = 4,. CHD=OD- OH 5-4=1, AC=7102-62 = 8，AE= AGCE= 9,.BF是。O的切线， ./ FBA= / E= 90° ,又. / EAD=

23、/ DAB图1g12.如图1,在直角坐标系中，直线 l与x、y轴分别交于点 A (2, 0)、B (0,)两点，/BAO勺角平分线交y轴于点D.点C为直线l上一点，以AC为直径的。G经过点D,且与x轴交于另一点 E.(1)求出。G的半径r,并直接写出点 C的坐标；(2)如图2,若点F为。G上的一点，连接 AF,且满足/ FEA= 45。，请求出EF的长？图1图2解：（1）连接GD EC / OAB勺角平分线交y轴于点D, g G GAD= / DAO. GD= GA/ GDA= / GAD/ GDA= / DAOGDI OA.Z BDG= / BOA= 90 ,.GM半径，y轴是。G的切线；g

24、-A (2, 0), B (0,小QOA= 2, OB=-,R-J在RtAAOB,由勾股定理可得:AB=®JP=2S+(y)2 号设半径GD= r,则. GD/ OABD。 BOA凶=典OA AB'.AC是直径, ./ AEC= / AOB= 90 ,EC/ OBEC = AC = AE OB-AB-AO2 EO2,QO白2-2.C的坐标为（-1,2)；(2)过点A作AHLEF于H,连接CE CE.AC是直径，"2X%| . Z AEG= Z AFG= 90 / FEW 45° Z FC% 45.在 RtAEH中，由勾股定理可知：AF=C金园2, 4I-L

25、J设 OE=aAE= 2 - a. CE/ OB. A ACEA ABO,AE_CE><0A = Ofi 5. Cg+A曰= Ad,422 257T (2-a) 2+ (2-a) 2= 941 7或a=(不合题意，舍去)，在 RtAEH中，由勾股定理可得，AH= EH=万, rr.在 RtAEH中，由勾股定理可知：F= AF2-aH=(旦2) 2-(当包)4FH=V2， .EF= EH+FH=八'2 .4 |卸却13.如图I,四边形ADBCJ接于O O E为BD延长线上一点，(1)求证：AB= AG(2)如图2,若CD为直径，过 A点的圆的切线交 BD延长。0的半径.

26、63;dEA圜1型2=2,AD平分/ EDC线于E,若DE= 1, AE= 2.求(1)证明：.四边形 ADBCJ接于。O, / EDA= / ACB由圆周角定理得，/ CDA= Z ABC. ADW / EDC/ EDA= / CDA/ ABC= / ACB.AB= AC(2)解：连接 AO延长交BC于H AMLCD M .AB= AC .AHLBC WAHLAE .AE/ BC.CD为O O的直径，DBC= 90° , E= / DBC= 90° , 四边形AEBHJ矩形，. BH= AE= 2,. BC= 4,. ADW / EDC / E= 90 , AML CDD

27、E= DM= 1, AE= AM= 2,在 RtABE和 RtAACMfr,fAE=AMAB=ACRtAABE RtMCM(HD,BE= CM设 BE= x, CD= x+2,在 RtBDC中，x2+42= (x+2) 2,解得，x=3,.CD= 5, .0 O的半径为2.5 .14.如图，AB为。O的直径，弦 CDL AB垂足为F, CGL AE交弦AE的延长线于点 G且CG= CF(1)求证：CG是0O的切线;(2)若AE= 2, EG= 1,求由弦BC所围成的弓形的面积.解：(1)证明：连接OC. CDLAR CGLAE CG= CF,/ CAG= / BAC / AFC= Z G= 9

28、0 ,. OA= OC/ ACO= / BAC / CAG= / ACOOC/ AGOC令 180° - Z G= 90° ,.CG是O O的切线;(2)过点O作OMLAE垂足为 M则 AM= ME= AE=1, / OMG / OC& / G= 90 .四边形OCGMf矩形,. OC= MG= MEEG= 2.CG=C?, 在 RtAAGCH RtAFC中 ACMC. .RtAAGCRtAAFC(HU , .AF= AG= A&EG= 3, .OF= AF- OA= 1,在 RtACOF, ' cosZCOF=.OC： 2 ./COF= 60 ,

29、CF= OCsin/COF= 2 乂叵=愿,c*22 1cL 2 SBCRRf以兀代.G15.如图，AB AC是OO的两条弦，M是标的中点， 于点P、D.(1)求证：A鼻AD;(2)连接PO当AP= 3,。区/布，。的半径为(1)证明：连AM AN aS=m,奇=而，N是商的中点，弦MN别交AB AC5,求MP勺长./ BAM= / ANM / AMN= / CAN/ APD= / AMN/ BAM / AD|p= / CAN/ ANM .Z APD= / ADP.AP= AD(2 )解：连 AQ O帜 AB于 E,设 PE= x,前=盲，.OM_ AR ./ AEO= 90° ,o

30、 oE= oA- a(=oP- pE，52- (x+3) 2=2- x2, x= 1, .AE= 4, OE= 3, ME= 2,MP= Ve2+pe2=V22 + i2=16.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A的坐标为(0, 4),点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(-4, 0),点P在AB上，连结CP与y轴交于点 D,连结BD.过P, D,B三点作。Q与y轴的另一个交点为 E,延长DQ交。Q于点F,连结EF, BF.函用图(1)求直线AB的函数解析式；(2)求证：/ BDE= / ADP(3)设DE= x, DF= y.请求出y关于x的函数解析式.解：(1)设直线 AB的函数

31、解析式为 y= kx+4,将点 B (4, 0)代入 y=kx+4,得：4k+4=0,解得：k= - 1,则直线AB的函数解析式为y= - x+4;(2)由已知得：OB= OC / BOa /COD= 90 ,又.OD= ODBOB COD SAS, ./ BDO= / CDO. / CDe / ADR ./ BDE= / ADR(3)如图2,连结PE / ADW DP的一个外角， .Z ADP= / DEPZ DPE.一/ BD既ABD勺一个外角， ./ BDE= / ABD/ OAB. / ADP= / BDE / DEP= / ABD/ DPE= / OAB. OA= OB= 4, /A

32、OB= 90 , ./ OAB= 45° , ./ DPE= 45° , .Z DFE= / DPE= 45° ,.DF是。Q的直径， .Z DEF= 90° , . DEF等腰直角三角形， .DF= 1DE即 y=V2x.17.如图1, AB为。O的弦，弧AC=弧BC G为弧BC上一点，连接 AG交BC于点D连接CG BG(1)求证：/ GC+/GB& / CBA(3)如图3,在(2)的条件下，F为圆上一点，连接 CF交AB于点E,若CD DB= 5: 7,CAG AE=3,求线段CG的长.Z ACF=证明：(1) AC=BC,/ CAB= /

33、 CBA. / GCB= / GAB / CBG= / CAG/ GC+/ GBC= / GAB / CAG= / CAB= / CBA(2)如图2,过点C作CHL CG交AG点H,(2)如图2,若AB为。O的直径，求证:AG=：CGBG.AB为。O的直径, ./AGB= Z ACB= 90° ,且 AC= BC ./ ABC= / BAC= 45° . / AGC= / ABC ./ AGC= 45 ,且 CHLCG / CHS / AGC= 45 ,. CH= CG / AHC= 135°GH= ，CG /CGB= / CGA/ AGB= 135 , / AH

34、C= / CGB CH= CG / CAH= / CBG . ACH2 BCG(AAS.AH= BG .AG=：CGBG(3)CD DB= 5: 7,.设 CD= 5a, DB= 7a,. BC= AC= 12a,AD= VaC2-<!)L4金 295/ =13a.如图3,过点E作EHL AC于H,彳AP平分/ GAC交BC于P,彳PQL ADT Q卦 / CA2 / DAa唬/CAG / PQA= 90° =Z ACB 且 AP AP.CA四 QAP (AAS. AC= AQ= 12a, CP PQ Q氏 AD- AQ= a.pD= pQ+qD, . (5-PQ 2= PQ+

35、a2,a,12PO-512 CP= -a, 5. HELAC / CAB= 45° ,，/ HEA= / CAB= 45 , .AH= HE . A= AH+HE= (3、m)2,.AH= HE= 3,/ ACf-1lz CAG / CAP= / DAP= / CAG / ACM / CAP .tan / CAPtan / ACF=-AC CH1212 a CH . CH= 15,. AO 3+15 =18= 12a, a=9. CD= 2139. /ACD= Z AGB= 90° , / CAD= / DBG . ACS BGDAC CD AD. = BG DG BD&#

36、39;15 3918 方二2 而"二DG二驾2. BG=,DG=10526 .AG= A>DG=2613. AG 二CGBG-=-1= -CG GG. CG18.如图1,在 ABC中，/ ACB90 , / ABC勺角平分线交 AC上点E,过点E作BE的垂线交AB于点F, 4BEF的外接圆。O与CB交于点D.(1)求证：AC是。的切线;(2)若BC= 9, EH= 3,求。O的半径长;(3)如图2,在(2)的条件下，过 C作CPLAB于P,求CP的长.(1)证明：连接OE如图1所示:BE! EF, ./ BEF= 90° , .BF是圆O的直径，. OB= OE /

37、OB号 / OEB BE平分/ ABC ./ CBE= / OBE/ OE由 / CBE . O曰 BC. Z AEO / C= 90° ,.ACLOE.AC是O O的切线;(2)解：.一/ ACB90 ,.ECLBC. BE平分/ ABC EHL AB .EH=EC / BHE 90 ,在 RtBHE和 RtBCE中,断BE, EH=ECRtABHE RtABCE (HD,BH= BC= 9,. BE! EF,丁./ BEF= 90° =Z BHE BF是圆 O的直径,be=92+32= 3/10，. / EBH= / FBEBEHo BFE. be = bh即型迫 一祠

38、-BE，即即可冠解得：BF= 10,OO的半径长=BF= 5;(3)解：连接OE如图2所示：由(2)得：OE= OF= 5, EC= EH= 3,. EHL AB,OH=7oE2-EH2=752-32=4,在 RtOH计,cos/在 RtEOA中,OEOEcos / EOA OAsOA= "OE=4254AE=7oA2-OE2=. AC= AEfEC=t+3=，; AB= OB-OA= 5+25 45,/ACB= 90 ,.ABC勺面积=ABx C鼻 2ACcdBOMAC , CMAfi27 9X4至42719. ABC接于。O,弦BD AC相交于点E,连接BQ且ACL BD（i）如图 i,求证：/ OBe/ abd /（2）如图 2,作 CGLAB于 G 交 BDT F,若/ BAC= / ABO30 ,求证：BO= BF;NC（3）如图3,在（2）的条件下，直线 OF与AB相交于点M与BC相交于点N,若 MA=