高中数学-推理与证明综合测试题

1、高中数学-推理与证明综合测试题一、选择题1 .分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件答案：A2 .结论为：xn yn能被x y整除，令n 1,2,3,4验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为()A.nNB.nN且n；>3C. n为正奇数 D. n为正偶数答案：C3 .在 ABC 中，sinAsinC cosAcosC ,贝U ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案：C4 .在等差数列an中，若an 0,公差d 0,则有a4a a34，类经上述性质，在等比数列bn中，若bn 0, q 1

2、,则b4, b5, b7, b8的一个不等关系是()A.b4b8b5b7B.b5b7b4b&C .b4b7b5b8D .b4b5b7b8答案：B 335. (1)已知p q 2 ,求证p q & 2 ,用反证法证明时，可假设 p q> 2 ,(2)已知a, b R , a b 1,求证方程x2 ax b 0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根Xi的绝对值大于或等于1,即假设x1 >1 ,以下结论正确的是()A. (1)与(2)的假设都错误B. (1)与(2)的假设都正确C. (1)的假设正确；(2)的假设错误D. (1)的假设错误；(2)的假设正确

3、答案：D8 / 76.观察式子:5-117-2-2一 , L ,344则可归纳出式子为（）A.1、(n > 2n 11、(n > 2n 12)2)D.1221221321鼠n1F n2n 1、(n> n2n(n >2n 12)2)答案:7.如图，在梯形EF II AB , EFma mbEFABCD 中， AB / DC, AB 到CD与AB的距离之比为a,CD b(a b).若m： n ,则可推算出:试用类比的方法，推想出下述问题的结果.在上面m m的梯形ABCD中，延长梯形两腰 AD, BC相交于O点，设 AOABOCD的面积分别为S, S2 比为m: n ,则AO

4、EF的面积,EF II AB且EF至ij CD与AB的距离之S2的关系是EA. SomS nS2nS mS2S0m nn Sim, S2m n答案：C8.已知a,b,a b 2,则(2a bC. ab2b222I1abb2 2)a2 b22ab答案：B9.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程2ax bx c 0(a 0)有有理根，那么a, b, c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A.假设a, b, c都是偶数B .假设a, b, c都不是偶数C.假设a, b, c至多有一个是偶数D.假设a, b, c至多有两个是偶数答案：B10 .用数学归纳法证明(n 1)(n 2)L (n n

5、) 2n d 3 L (2n 1),从k到k 1 ,左边需要增乘的代数式为()2k 12k 3A. 2k 1 B . 2(2k 1)C. 2k1D. 2k 3k 1k 1答案：Bx x11 .类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x) a2x x a a C(x) ，其中a 0,且a 1,下面正确的运算公式是()2 S(x y) S(x)C(y) C(x)S(y); S(x y) S(x)C(y) C(x)S(y); C(x y) C(x)C(y) S(x)S(y); C(x y) C(x)C(y) S(x)S(y);A .B .C .D .答案：D12 .正整数按下表

6、的规律排列125101711114 361118I II9 8 71219|I16 1514 1320I25 24 23 22 21则上起第2005行，左起第2006列的数应为()22A. 2005B. 2006C, 2005 2006 D, 2005 2006答案：D二、填空题313.写出用二段论证明 f(x) x sinx(x R)为奇函数的步骤是答案：满足f( x) f(x)的函数是奇函数，大前提_3f( x) ( x) sin( x)3,3.、xsinx(xsin x)f(x),小前提所以f (x) x3 sinx是奇函数.结论1114.已知 f(n) 1 _ _ L2 3-(n N)

7、,用数学归纳法证明f(2n) n时，f(2k1) f(2k)等n2答案:15.由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 16.卜面是按照一定规律画出的一列“树型”图:答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心设第n个图有小个树枝，则 41与an(n > 2)之间的关系是 答案：an 1 2an 2三、解答题17.如图(1),在三角形 ABC中，AB AC ,若AD BC ,则AB2 BD BC ；若类比该命 题，如图(2),三棱锥A BCD中，AD 面ABC,若A点在三角形

8、BCD所在平面内的射影 为M ,则有什么结论？命题是否是真命题.解：命题是：三棱锥A BCD中，AD 面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为 M ,则有S2 ABCSA BCMSA BCD个真命题.证明如下:在图（2）中，连结DM ,并延长交 BC于E ,连结 AE ,则有 DE BC .因为AD 面ABC所以AD AE .又 AM DE ,所以 AE2 EM ED.千尾Q2S S SA ABC21 一 BC AE21 _1 _-BC EM BC ED22Sabcm Sa BCD 18.如图，已知PA 矩形ABCD所在平面，M, N分别是AB, PC的中点.求证：（1） MN /平面

9、 PAD ; （2） MN CD .证明：（1）取PD的中点E ,连结AE, NE . N, E分别为PC, PD的中点.：EN为APCD的中位线， 1EN XCD, AM 2.CD II AB,且 CD：EN / AM ,且 EN1AB ,而ABCD为矩形, 2AB .AM .：AENM为平行四边形， MN / AE ,而MN：MN II 平面 PAD .（2）PA 矩形ABCD所在平面，平面PAC , AE 平面PAD ,.CD PA ,而CD AD , PA与AD是平面PAD内的两条直交直线,.CD 平面PAD ,而AE 平面PAD ,：AE CD .又 V MN II AE , ： M

10、N CD .19.求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大.2证明：（分析法）设圆和正方形的周长为 l,依题意，圆的面积为 元2正方形的面积为-422因此本题只需证明71 -2兀4要证明上式，只需证明i224兀16两边同乘以正数4，得1 - l兀4因此，只需证明4 m22上式是成立的，所以 U -2氏4这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大.20.已知实数a, b, g d满足a b c d 1 , ac bd 1 ,求证a, b, c, d中至少有一个是 负数.证明：假设a, b, c, d都是非负实数，因为 a b cd 1 ,所

11、以 a,b,c,d0,1,所以 ac &Tac &ac， bd & Vbd 0-c，22a c b d .所以 ac bd < 1 ,22这与已知ac bd 1相矛盾，所以原假设不成立，即证得 a, b, c, d中至少有一个是负数.x xx x21 设 f(x) -,g(x) - (其中 a 0,且 a 1). 22(1) 5 2 3请你推测g(5)能否用f(2), f(3), g(2), g(3)来表示;(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.33解：(1)由a a f(3)g(2) g(3)f(2) 25又 g(5) -因此 g(5)f(3)

12、g(2) g(3)f(2).3) f(3)g(2)g(3)f(2)(2)由 g(5) f(3)g(2) g(3)f(2),即 g(2于是推测g(x y)f(x)g(y)g(x)f (y).证明：因为f(x)所以g(x y)x xaa2y(x y)a2g(x)g(y)所以 f (x)g(y)g(x) f (y)x xa2c、yyaa2yya a2(大前提)，f(y)ayaya y2a y2(小前提及结论)x y (x y) a a2g(x y).22.若不等式 n证明结论.1 3n对一切正整数 24n都成立，求正整数 a的最大值，并解：当n 1时,旦，即变_a_2424 24 '所以a 26.而a是正整数，所以取a 25,下面用数学归纳法证明:1253n 1 2413k 12524(1)当n 1时，已证;(2)假设当n k时，不等式成立，即 ',k 1 k 2则当n k 1时,有一1(k 1) 11 L(k 1) 213(k 1) 1 L111113k 1