(完整word版)同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)

1、线性代数期终试卷 1（2学时）本试卷共七大题一、填空题（本大题共7个小题，满分25分）:1. （4分）设3阶实对称矩阵的特征值为2, 5,5, 4的属于2的特征向量是由1,则幺的属于5的两个线性无关的特征向量是（）；2. （4分）设3阶矩阵乂的特征值为211,5,6=E-2A'，其中 "是工的伴随矩阵，则力的行列式1训二（）；r-i 0 o'A= 2i -1 03. （4 分）设I。力-1,的向量空间为匕，则的维数dim7二（）；5. （3分）二次型兀K2）=蛎+电+© +2» +2窟+2冲经过正交变换可化为标准型/ = 3亡则修二（）；6. （3

2、分）行列式1 几一1中7的系数是（）;7. （3分）4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3,已知"1口】是它的3个f23吁4 解向量，其中 "（二、计算行列11111248D =13921卜 41664（满分10分）三、设二；（满分10分）四、取何值时，线，T - 2 2、- 2 1 2A = 2 2 1J,求+ 4=1+ 4% = 2+ 1%二以无解或有解?有解时求出所有解（用向量形式表示）（满分15分） 五、设向量组“1的色线性无关,问：常数满足什么条件时，向量组 %-琉1,网，”4为也线性无关。（满分10分）六、已知二次型丁（0小看）二11 +2/ +3舄-4再/一

3、4色，（1）写出二次型/的矩阵表达式；（2）求一个正交变换 工二印，把J化为标准形,并写该标准型；yx%/，七）=i是什么类型的二次曲面？（满分15分）七、证明题（本大题共 2个小题，满分15分）：1. （7分）设向量组“画的线性无关，向量内能由“1的色线性表示，向量不能由勺的修线性表示.证明:向量组即町J1+与也线性无关。2. （8分）设力是 洸XM矩阵，B是RX加矩阵，证明：洸也时，齐次线性方程组川拉二。必有非零解线性代数期终试卷 2（2学时）本试卷共八大题一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打，错误的在括号内打X ;每小题2分，满分20分）：1 .若R阶方阵幺的秩用4）仃T,

4、则其伴随阵二。 （ ）2 .若改XS矩阵工和矩阵宕满足 助二。，则如）+即）£九（）3 .实对称阵 幺与对角阵A相似：P"4P = A,这里尸必须是正交阵。（）4 .初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。（）5 .若月阶方阵 幺满足'二-N,则对任意R维列向量工，均有1r工小二0。（）6 .若矩阵幺和2?等价，则 < 的行向量组与J的行向量组等价。（）7 .若向量,泌线性无关，向量“泌线性无关，则看向也线性无关。（）8 . a是洸x用矩阵，则RT）的）（ ）9 .非齐次线性方程组 小二B有唯一解，则工二 A1b。（）10 .正交阵的特征值一定是实数。（

5、）二、设片阶行列式：3 -2I-1 3.4二''3 -2-1 3试建立递推关系，并求-:（满分10分）2 0 2>P= 0 1 03。bU o 0、A = 0 1 0& ° 2）并且4P = pa ,求/加（满分10分）四、设一口11）,矩阵B满足=相+2/，其中/是4的伴随阵，求B（满分10分）五、讨论线性方程组*1 + % =2 4xl + + 2 弓= 4+1,6占+心+4m=22 + 3的解的情况，在有解时求出通解。（满分12分）六、求一个正交变换 化为标准形。工二方,将二次型/二2d +5可+5芸+4硒厂4马-陶通（满分14分）七、已知（23,

6、由它们生成的向量空间记为3维列向量构成的向量空间，问:1 . 1f取何值时，匚肥但7m * ,为什么?2 ./取何值时，二及'为什么?（满分12分）八、证明题（本大题共2个小题，满分12分）：1 .若2阶方阵满足证明可与对角阵相似。2 .若 工是正定阵，则其伴随阵 4*也是正定阵。线性代数期终试卷 3（3学时）一、填空题（15'）:().4A= 42 .已知矩阵1(-3).2相似,则x =3 .设幺是秩为r的加x总矩阵,是NXP矩阵,且乂8二0,则3的秩的 取值范围是（）.、计算题:. (7'计算行列式r-iiab2. (8',求期”犯药=i乌二o乌=o.(10

7、'已知3维向量空间V的两个基分别为片1=2,西=3,旦=4.求由基 乐如肉 到基风区、区的过渡矩阵C-并求向量&在这两个基下的坐标.4 . (15')讨论下述线性方程组(3- 2/ +(2- H)x2 +%二4(2 -+ (2 - 4)4 + 与 = 1一芯1 +匕+(2-2)餐=1的解的情况；若有无穷多解，则必须求出通解.1-25. (15，)已知力二(°7才乂丁为对角阵.-22-20、-2有一个特征值为5,求正交阵T,使得6 . (10')在次数不超过3的实系数多项式所成的线性空间二45线性变换物？Uw)=/a+1) 一义工),求线性变换肝基q=1

8、,% =兀 = -i(x- l),a4 =-x(x-l)(x- 2)26下的矩阵. .三、证明题：1 . （10'）已知矩阵月与3合同，矩阵C与口合同，证明：分块对角矩阵、cj与切也合同.2 .（10,）设幺是正交矩阵,4=1,4二-1是工的特征值,0E是相应于 特征值&二L 4二-1的特征向量,问：值与户是否线性相关,为什么？ 但与夕是否正交,为什么？线性代数期终试卷 4(3学时)本试卷共九大题一、选择题(本大题共 4个小题，每小题2分，满分8分)：1. 若因阶方阵A3均可逆，AXB- C,则X =(A) -二二 (B) J 1(C)：二：(D)5-W答()2. 设S是卅元齐

9、次线性方程组 及二。的解空间，其中 的)二, ,则g的维数为(A) :(B)- /(C) >.(D)答()3,设I是月维列向量，则W =(A)(B) N'M(C) M (D)d 'IHI答()4.若向量组"1，际，4则（A）可由另一向量组几%，也线性表示,（B）也£；（C）"网的秩劭如也的秩；（D）“1陶”>4的秩之A&1也的秩.答（）-3-2 1工贝二、填空题（本大题共 4个小题，每小题3分，满分12分）：3. 设4阶方阵R的秩为2 ,则其伴随阵幺*的秩为4. 设2是方阵/的一个特征值，则矩阵 +# + 3工的一个特征值是。三

10、、计算行列式（满分8分）四、设（3 2）,10（O B、 （C X =J。厂 w/。1 10 B= -1 2J I lqC= 2 J0、r：一D ,求X ,使得（满分12分）五、在炉中有两组基:和写出4圆弓到/的曲的变换公式以及四到4/滋的变换公式 （满分8分）六、当取何值时，线性方程组（4+3） + - 2x3 = -14 一石 + （2 + l）Xj + 0二-1_ X 一 弓 + 弓二 2有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。（满分14分）a. 1七、已知 17, E为3阶单位矩阵，幺二月+加，求一个正交矩阵P,使得尸即 为对角阵，并写出该对角阵.（满分16分）八、设工为已知的洸XM矩阵，集合，=X|AT = O,/加阶方阵i .