二次根式-知识点总结

1、知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式,其中 4叫被开方数,只有当a是一个非负数时,后才有意义 1【例2】假设式子 =有意义,那么x的取值范围是 ,x 3举一反三:1、使代数式J Y2 2x 1有意义的x的取值范围是 x2、如果代数式 mrn有意义,那么,直角坐标系中点 P(m n)的位置在().mnA、第一象限B、第二象限 C第三象限D第四象限【例 3】假设 y=x_5+<5x +2021,贝U x+y=解题思路：式1子ja (a>0),5x05 , y=2021,那么 x+y=2021举一反三(x一 2y),那么xy的值为()A. - 1 B3

2、、当a取什么值时,代数式 亚a%1取值最小,并求出这个最小值.- - 1.a是而整数局部,b是 J5的小数局部,求 a 的值.b 221 .假设J17的整数局部为x,小数局部为y,求x 的值.y知识点二：二次根式的性质【知识要点】1 .非负性：是一个非负数.注意：此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.2 .(、后)2 a(a 0). 注意：此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：2a(a 0)3 . 7a2 |a|注意：(1)字母不一定是正数.a(a 0)4 2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号

3、内的因式, 必须是非负因式,如果因式的值是负的, 应把负号留在根号外.2a(a 0)4.公式Ja|a|小与(,6)2 a(a 0)的区别与联系a(a 0)(1) 表示求一个数的平方的算术根,a的范围是一切实数.(2) (上)2表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数.(3) 得和(瓶)2的运算结果都是非负的.【典型例题】, 2【例 4】右 a 2| Jb 3 c 40,那么 a b c .举一反三：1、直角三角形两边 x、y的长满足| x2-4 | + 1y2 5y 6 =0,那么第三边长为2、假设a b 1与Ja 2b 4互为相反数,那么2005b(公式(遍)2 a(a 0)的运用)【

4、例5】化简：a 1(7a3)2的结果为()A、42a B 、0 C 、2a4 D 、4举一反三：3直角三角形的两直角边分别为 J5和J5,那么斜边长为a2aa(a 0)a(a 0)的应用)【例6】x 2,那么化简jx2 4x 4的结果是A、x 2 B、x2C x 2D 2 x举一反三： 22、化简 J4x 4x 1J2x 3 得()(A)2(B) 4x 4(C) - 2(D) 4x 43、a 0,化简求值：J4 (a -1)2,4 (a 1)2【例 7】如果表示 a, b两个实数的点在数轴上的位置如下图,那么化简Ia-b+ 40b)2的结果等于()bao»A . 2b B . 2b

5、C . 2a D . 2a举一反三：实数a在数轴上的位置如下图：化简： aa 1 J(a 2)2 .1 0 1例8化简1 x &_8x 16的结果是2x-5 ,那么x的取值范围是()(A) x 为任意实数(B) 1 <x<4(C) x>1(D) x< 1举一反三：假设代数式J(2 a)2 J(a 4)2的值是常数2 ,那么a的取值范围是()A. a > 4 B , a < 2 c. 2 < a < 4 D. a 2或 a 4【例9】如果a va2 2a 1 1,那么a的取值范围是()A. a=0 B. a=1 C. a=0 或 a=1 D

6、. a < 1举一反三0 B .a1、把根号外的因式移到根号内：当b -b > 0 时,< x x知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：1最简二次根式的定义：被开方数是整数,因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式.2、同类二次根式可合并根式：几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式.【典型例题】【例11】以下根式中能与 J3是合并的是A. . 8 B. . 27C.2举一反三：1、以下各组根式中,是可以合并的根式是A、a/3 口 T8 B、x/3'和C、2、如果最简二次

7、根式'3a8与Ja2b和4ab2 D、Va1 和Va12a能够合并为一个二次根式,那么a=3; D .a2、假设v'(x 3)2 x 3 0 ,那么x的取值范围是()(A) x 3(B) x 3(C) x 3(D x 3【例10】化简二次根式aJ J2的结果是(A) . a 2 (B)a 2 (C) a 2 (D), a 2知识点四：二次根式计算一一分母有理化【知识要点】1 .分母有理化定义：把分母中的根号化去,叫做分母有理化.2 .有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用j

8、a册a来确定,如：ja与ja, jab与jab, a b与 a b 等分别互为有理化因式.两项二次根式：利用平方差公式来确定.如a vb与a jb, ja jb与ja jb,aVx bQ与aJX bjy分别互为有理化因式.3 .分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式, 使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式.【典型例题】【例13】把以下各式分母有理化2.31、x 尸,y2.322x 3xy y2噂,求以下各式的值：122 .3x y知识点七：根式比拟大小【知识要点】1、根式变形法当a 0,b 0时,如果a b,那么孤而；如果a b,那么、a 、b.2、平方法当a 0,b 0时,如果a2 b2,那么a b ；如果a2 b2,那么a b.3、分母有理化法通过分母有理化,利用分子的大小来比拟.4、分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比拟.5、倒数法6、媒介传递法 适中选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比拟.7、作差比拟法在对两数比拟大小时,经常运用如下性质：a b 0 ab；ab0 a b8、求商比拟法aa匕运用如下性质：当 a>0, b>0时,那么： 一1 a b