空间向量及几何公式

1、空间向量及几何公式118. 共面向量定理向量p与两个不共线的向量 a、b共面的存在实数对x, y ,使p ax by .uur uuuruuu推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对 x, y,使MP xMA yMB ,uuruuuuuuur uuir或对空间任一定点Q有序实数对x, y，使OPOMxMAyMB.uuu uuu uuuuuur119. 对空间 任一点0和不共 线的 三点 A、B、C,满 足OP xOA yOB zOC (x y z k),则当k 1时，对于空间任一点 O，总有P、A、B C四点共面；当k 1时，若0 平面ABC贝y P、A、B、C四点共面；若 o 平面A

2、BC贝y P、A B、C四点不共面.A、B、C、D四点共面uur uuu uuurAD与AB、AC共面unr ADuuu xABuuur yACuuruuu uuuuuurOD (1 x y)OA xOByOC ( O 平面 ABC .120.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y, z，使 p= xa + yb+ zc .推论 设O A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实uuuuuu uuu uuur数 x, y,乙使 OP xOA yOB zOC .121. 射影公式uuu已知向量AB =a和轴I ,

3、e是I上与I同方向的单位向量作A点在I上的射影 A ,作B 点在I上的射影B',则'' uuuA B | AB | cos a, e> =a e122. 向量的直角坐标运算设“忌住),bgdbs)则 a+ b =(a1a®b2,a3d); a b =(a1ga?bzbs);入 a= ( c, a?, as)(入 R)；Wa b = a1b1 a2b2 a3b3;123设人任皿乙),B(X2,y2,Z2)，则uuu uuu uuuAB OB OA= (x2 x-i, y2 y-i, z2 zj.124.空间的线线平行或垂直rrrr设 a (X1,y乙),b

4、 (X2, y2,Z2)，则X2r rrr rraPba b(b0)yy2 ；zZ2r rr ra ba b 0X1X2y1 y2z1z20125.夹角公式设 a= (a1, a2, a3),b = ( bi , b2 , 3 ),则cos a, b> =qR a2p asbs推论(aQa?b2asbs)2(a；a；a/b；bfb|)，此即三维柯西不等式126.四面体的对棱所成的角四面体ABCD中，AC与BD所成的角为 ，则cos|(AB2 CD2) (BC2 DA2)|2AC BD127 异面直线所成角cos | cos a, b -1r r=$ 即Ixm y°2 z!z21

5、|a| |b|. xj yj n2 X22 y22 z；（其中（0o90o）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线 a,b的方向向量）128. 直线AB与平面所成角uur ur 厂arcs in UUB m （ m为平面 的法向量）|AB|m|129. 若 ABC所在平面若与过若AB的平面 成的角 ，另两边AC , BC与平面成的角分别是i、 2, A、B为 ABC的两个内角，贝U2 2 2 2 2sin 1 sin 2 （sin A sin B）sin .特别地，当 ACB 90o时,有.2 . 2 . 2 sin 1 sin 2 sin130. 若 ABC所在平面若 与过若AB的平

6、面 成的角，另两边AC , BC与平面成的角分别是 1、2, A、B为 ABO的两个内角，贝Vtan2 1 tan2 2 （sin2 A sin2 B ）tan2特别地，当 AOB 90o时，有.2 . 2 . 2sin 1 sin 2 sin .131. 二面角 丨 的平面角ur rurrm nmnJ rarc cos l 或arc cos l （ m , n为平面 ,的法向量）.|m| n|m|n|132. 三余弦定理设AC是 a内的任一条直线，且 BC丄AC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为1 , AB与AC所成的角为 2 , AO与 AC所成的角为.则cos cos 1 cos 21

7、33. 三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1 , 2,与二面角的棱所成的角是B,则有 si n2 si n2si n2 1 si n2 2 2s in 1 sin 2 cos ；| 12|180o （ 12）（当且仅当90o时等号成立）.134. 空间两点间的距离公式若人（刘，屮，乙）,B（X2, y2, Z2），则uuu；uuuULU/222dA,B=|AB|.ABAB工区xj2（y? yj2也乙）2 .135. 点Q到直线l距离huuub= PQ).|：|时2（a b）（点P在直线l上，直线l的方向向量uuua= PA，向量136. 异面直线间的距离uu

8、r ind |CD n|（ hh是两异面直线，其公垂向量为n , C、D分别是hl上任一点，d为 |n|ll,l2间的距离）.137. 点B到平面 的距离urn inrd 1 AB n|（ n为平面 的法向量，AB是经过面 的一条斜线， A ）.|n|138. 异面直线上两点距离公式h2 m2 n2 m2mncos . 肿 2mncos(EA',AF).h2d（两条异面直线点 E、F, A'E139.三个向量和的平方公式m2 n2 2mn cos ( Ea、b所成的角为B,其公垂线段m, AF n , EF d ).AA FAA的长度为h.在直线a、b上分别取两r br a22

9、r c2r b2r a2rc)r br a2b c2c ar2 ar2 b140.长度为r2 r r r r. r r r r. r c 2 | a | | b |cos： a, b； 2 | b | |c|cosbC： 2 | c|l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为| a | cos；, c, a11、I 2、13，夹角分别为1>22、3 ,则有I2 I： I； I3cos2 1 cos2 2 cos231si n2 1 si n22sin 3（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）141. 面积射影定理Ss'，它们所在平面所成锐二面角的为).cos（平面多边形

10、及其射影的面积分别是S、142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是I ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是G和S ,则 6斗棱柱侧c1I . V斜棱柱S1I .143. 作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行144. 棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.145. 欧拉定理（欧拉公式）V F E 2（简单多面体的顶点数 V、棱数E和面数F）.（1）E =各面多边形边数和的一半 .特别地，若每个面的边数为 n的多边形，则面数 F1与棱数E的关系：E nF ；2(2) 若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E丄mV.2146. 球的半径是R,则其体积V - R3,3其表面积S 4 R2 .147. 球的组合体(1) 球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2) 球与正方体的组合体:正方