第一章概率论的基本概念

1、随机现象随机现象：某人射击一次某人射击一次,考察命中情况考察命中情况;某人射击一次某人射击一次,考察命中环数考察命中环数;掷一枚硬币掷一枚硬币,观察向上的面观察向上的面;从一批产品中抽取一件从一批产品中抽取一件,考察其质量考察其质量;确定性现象确定性现象：抛一石块抛一石块,观察结局观察结局;导体通电导体通电,考察温度考察温度;异性电菏放置一起异性电菏放置一起,观察其关系观察其关系;第第1.1节节 引言引言第一章 概率论的基本概念 随机现象随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准出现，呈现

2、出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性。计规律性。 概率统计的研究对象概率统计的研究对象 概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。第第1.2节节 概率

3、的统计定义概率的统计定义(频率频率)1.随机试验（随机试验（E E）对随机现象进行的实验与观察对随机现象进行的实验与观察. .它具有三个特点：它具有三个特点：重复性重复性, , 明确性明确性 , , 随机性随机性. .2.随机试验的样本点随机试验的样本点随机试验的每一个可能结果随机试验的每一个可能结果.3.随机试验的样本空间（随机试验的样本空间（或或S）随机试验的所随机试验的所有样本点构成的集合有样本点构成的集合.4.基本事件基本事件的单元素子集，即每个样本点构成的单元素子集，即每个样本点构成的集合的集合.5.随机事件随机事件的子集，常用的子集，常用A、B、C表示表示. 6.必然事件必然事件（

4、） 7.不可能事件不可能事件（） 课课 堂堂 练练 习习写出下列各个试验的样本空间写出下列各个试验的样本空间1 1 掷一枚均匀硬币，观察正面（掷一枚均匀硬币，观察正面（H H）反）反 面（面（T T）出现的情况；）出现的情况；2.2.将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现 的情况；的情况；3.3.某袋子中装有某袋子中装有 5 5 个球，其中个球，其中 3 3 个红球，个红球， 编号编号A A、B B、C C，有，有 2 2 个黄球，编号个黄球，编号D D、 F F，现从中任取一个球，观察颜色。，现从中任取一个球，观察颜色。 若是观察编号呢？若是观察编号呢？4.袋中

5、有编号为袋中有编号为 1，2，3，n 的球的球,从从 中任取一个，观察球的号码；中任取一个，观察球的号码；5.从自然数从自然数 1，2，3，N（N 3）中）中 接连随意取三个接连随意取三个 , 每取一个还原后再每取一个还原后再 取取 下一个。若是不还原呢？若是一次就取下一个。若是不还原呢？若是一次就取 三个呢？三个呢？6.接连进行接连进行n次射击次射击,记录命中次数记录命中次数.若是记若是记 录录n次射击中命中的总环数呢？次射击中命中的总环数呢？7.观察某条交通干线中某天交通事故的次观察某条交通干线中某天交通事故的次 数。数。定义定义 (概率的统计定义概率的统计定义) 在一定条件下在一定条件下

6、,重复做重复做 次实验次实验, 为为 次实次实验中事件验中事件A发生的次数发生的次数,如果随着如果随着n逐渐增大逐渐增大,频率频率 逐渐稳定在某一数值逐渐稳定在某一数值p附近附近,则数值则数值p称为事件称为事件A在在该条件下发生的概率该条件下发生的概率,记作记作 .nAnnnnApAP)(注注: (1) 频率具有稳定性频率具有稳定性 (2) 当试验次数当试验次数n较大时较大时,经常用频率代替概率经常用频率代替概率第第1.3节节 概率的古典定义概率的古典定义(比率比率)1.古典概型（古典试验）古典概型（古典试验） 设设为试验为试验E的样本空间，若的样本空间，若 （有限性有限性） 只含有只含有限个

7、样本点，限个样本点， （等概性等概性）每个基本事件出现的可能性相）每个基本事件出现的可能性相等，则称等，则称E为为古典概型古典概型（或等可能概型）。（或等可能概型）。2.古典概率的定义古典概率的定义 设设E为古典概型，为古典概型， 为为E的样本空间，的样本空间，A为任意一个事为任意一个事件，定义事件件，定义事件A的概率的概率 P(A)=P(A)=有利于有利于A A的基本事件数的基本事件数/ /试验的基本事件总数试验的基本事件总数 ( ( 或或= =事件事件A A包含的基本结果数包含的基本结果数/ /试验的基本结果数试验的基本结果数）注意注意：古典概型的判断方法古典概型的判断方法，古典概率的计算

8、步骤古典概率的计算步骤：弄清试验与样本点弄清试验与样本点数清样本空间与随机事件数清样本空间与随机事件 中的样本点数中的样本点数 列出比式进行计算。列出比式进行计算。第第1.4节节 排列组合与古典概率的计算排列组合与古典概率的计算一.排列与组合排列与组合1.非重复的排列非重复的排列: :从从 n个不同元素中个不同元素中,每次取出每次取出k个不同的元素个不同的元素, 按一定的顺序排成一列称为排列按一定的顺序排成一列称为排列,排列的种数记作排列的种数记作) 1()2)(1(knnnnAkn2.组合组合:从从n个不同的元素中个不同的元素中,每次取出每次取出k个不同的元素个不同的元素,与元素与元素 的顺

9、序无关组成一组叫作组合的顺序无关组成一组叫作组合,其组合数用其组合数用 表示表示,其中其中knC!kACknkn3.可可重复的排列重复的排列:从从 n个不同元素中可重复取出个不同元素中可重复取出m个元素个元素的排列总数为的排列总数为 种种.mn注注:在在(1)中若中若k=n,此此排列称为全排列排列称为全排列, , 若若k P(B)0， 则下列选项必然成立的是（则下列选项必然成立的是（ ） P(A)P(A|B) P(A)P(A|B)）（2)1(例例1.4 P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( -B)|A)=0.4,则则 P(B)=( ).6 . 02、乘法公式、乘法公式对于两个事件对于

10、两个事件A与与B， 若若P(A)0, 则有则有 P(AB)=P(A)P(B|A), 若若P(B)0, 则有则有 P(AB)=P(B)P(A|B), 若若P(A)0,P(B)0, 则有则有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 推广情形推广情形对对 于于 n 个个 事事 件件 A1 ,A2,An ,若若 P ( A1A2An-1 ) 0，则则 有有 P ( A1A2An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1) 特别特别：对事件对事件A，B，C，若，若P（AB）0，则有，则有 P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）注意：乘法法则一

11、般用于计算几个事件同时发生的概率注意：乘法法则一般用于计算几个事件同时发生的概率B=B1+B2，P（B1）=0.2，P（A| ）=0.3，P（B2| ）=0.4，所以，所以，P（A）=P（ A）=P（ ）P（A| ）=0.80.3=0.24，1BAB11B1B1B例例1.6.5 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为0.3；若甲机亦；若甲机亦未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回，分别计

12、算这几个回合中甲、乙被击落的概率。合中甲、乙被击落的概率。解：设解：设A=甲机被击落甲机被击落，B=乙机被击落乙机被击落，B1=乙第一次被击落乙第一次被击落， B2=乙机第二次被击落乙机第二次被击落，由题意得：，由题意得：B1.B2互斥，互斥，,BABA,B211 P（B2）=P（ B2）= P（ ）P（ | ）P（B2| ）AB1AB11BA1B=0.80.70.4=0.224P（B）=P（B1）+P（B2）=0.2+0.224=0.424二、全概率公式和二、全概率公式和Bayes公式公式1、全概率公式、全概率公式 A1,A2,An是两两互斥的正概率事件，是两两互斥的正概率事件， 且且事件事

13、件 A1+A2+An= , 则则 对于任何一个事件对于任何一个事件B，有，有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(An)P(B|An)注意：注意：（1）全概率公式中的事件组是完备事件组；）全概率公式中的事件组是完备事件组；（2）该公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引发，）该公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引发， 而这些原因又构成完备事件组；而这些原因又构成完备事件组；（3）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。例例1.6.6（935）设）设10件产品中有件产品中有4件不合格品，从件不合格品，从 中不放回取两次

14、，每次一件，求第二件为不合格品中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的概的概 率为多少？率为多少？解：设解：设A=第一次取得不合格品第一次取得不合格品，B=第二次取得第二次取得不不 合格品合格品，事件事件A和和A的对立的对立 事件构成完备事件组，由全概事件构成完备事件组，由全概率公式得率公式得：)|()()|()()(ABPAPABPAPBP =（4/10）（3/9）+（6/10）（4/9）= 6/15例例1.6.7 市场上某种商品由三个厂家同时供获市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为其供应量为:甲甲 厂家是乙厂家的厂家是乙厂家的2倍倍,乙乙.丙两个厂家相等丙两个厂家相等,且各厂

15、产品的次品且各厂产品的次品 率为率为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率求市场上该种商品的次品率.(2)若从市场上的商品中随机抽取一若从市场上的商品中随机抽取一 件件,发现是次品发现是次品,求它是甲厂求它是甲厂 生产的概率生产的概率?解：设解：设Ai表示取到第表示取到第i 个工厂产品，个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品表示取到次品, 由题意由题意 得得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由全概率公式得由全概率公式得:)|()()(31iiiABPAPBP =0.025分析分

16、析:所求为条件概率所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).这也就是下面的这也就是下面的Bayes公式公式. 设正概率事件A1，A2,.,An构成完备事件组 ,对于任何一个正概率事件B，有),.,2 , 1()|()()|()(1njABPAPABPAPniiijj 注意注意:1. A1,A2,.,An可以看作是导致事件可以看作是导致事件B发生的原因发生的原因;2. P(Aj|B)是在事件是在事件B发生的条件下发生的条件下,某个原因某个原因Aj发生的概率发生的概率,称为称为 “后验概率后验概率”;Bayes公式又称为公式又称为“后验概率公式后验概率公式”或或“逆概公逆概公式式”;3

17、. P(Aj)对应可以称为对应可以称为“先验概率先验概率”.2、贝叶斯（、贝叶斯（Bayes）公式）公式P ( Aj| B )= P(Aj B)/P(B)=P ( Aj) P( B | Aj ) / P（B）例例1.6.8 市场上某种商品由三个厂家同时供获市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为其供应量为: 甲厂家是乙厂家的甲厂家是乙厂家的2倍倍,乙乙.丙两个厂家相等丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率且各厂产品的次品率 为为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率求市场上该种商品的次品率.(2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂 生产的概率?解：解：(2)设

18、设Ai表示取到第表示取到第i 个工厂产品，个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品表示取到次品, 由题意得由题意得: P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25 P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由由Bayes公式得公式得: 31111)|()()|()()|(iiiABPAPABPAPBAP=0.4第第1.7节、事件的独立性节、事件的独立性定义定义 若事件若事件A与与B满足满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称则称A与与B相互独立，简称相互独立，简称A与与B独立。独立。推论推论1 A、B为两个事件，若为两个事件，若P(A)0, 则则

19、 A与与B独立等价于独立等价于P(B|A)=P(B).证明：证明：A.B独立独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) P(B|A)=P(B)证明证明: 不妨设不妨设A.B独立独立,则则)()()(1)()()()()()()()(BPAPBPAPBPAPAPABPAPBAPBAP 其他类似可证其他类似可证 推论推论2 在在 A 与与 B， 与与 B，A 与与 ， 与与 这四对这四对 事件中，若有一对独立，则另外三对也相互独立事件中，若有一对独立，则另外三对也相互独立。BAAB说明：说明： 推论推论3提供了一种判断两事件独立性提供了一种判断两事件独立性的直观方法，的直观方法， 即对

20、于两事件，即对于两事件， 若其中任何若其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响，则可判断这两事件是独立的。否的影响，则可判断这两事件是独立的。推论推论3 设设0P(A)1,0P(B)1 则下面四个等式则下面四个等式 等价，等价， P(B|A)=P(B)， P(B| )=P(B) P(A|B)=P(A)， P(A| )=P(A)BA推广推广1 1（n n个事件的相互独立性）个事件的相互独立性）: :设有设有n n个事件个事件A A1 1,A,A2 2, ,A,An n, ,若它们中任何一个事件的发生都不受其它若它们中任何一个事件的发生都不受其它

21、事件的影响事件的影响, ,则称这则称这n n个事件相互独立个事件相互独立. .性质性质: :若若n n个事件相互独立，则个事件相互独立，则 它们积事件的概率等于每个事件概率的积；反之不它们积事件的概率等于每个事件概率的积；反之不一定成立。一定成立。 它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件后，所得的后，所得的n n个事件也是相互独立的。个事件也是相互独立的。推广推广2 2 设设A A1 1，A A2 2，A An n为随机事件序列，若它们中为随机事件序列，若它们中的任何有限个事件都是相互独立的，的任何有限个事件都是相互独立的， 则称该随机事件则称

22、该随机事件序列是相互独立的。序列是相互独立的。注意注意：1. 对对 于于 有有 放放 回回 抽抽 样，各样，各 次次 抽抽 取取 是是 相相 互互 独独 立立 的的 。 2. 区区 别别 互互 斥斥 事事 件件 （ 互互 不不 相相 容容 事事 件）、对件）、对 立立 事事 件件 、 独独 立立 事事 件件 。 3. 当当 A 、B 独独 立立 时时 , 计计 算算 P(AB)， P(A+ B)，P(A-B). P(A1+A2+An) P(C) = P(A1A2An)当当 A1 A2 An 独独 立立 时时当当 A1 A2 An 不独立时不独立时当当A1 A2 An互斥时互斥时当当A1 A2

23、An独立时独立时一一 般般 情情 形形P(AB)=P(A)P(B);P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B);P(A-B)=P(A)-P(A)P(B)(有限可加性有限可加性)(广义加法广义加法)(乘法法则乘法法则)例例1.7.1 三个元件串联的电路中三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次每个元件发生断电的概率依次为为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是求电路断电的概率是多少多少?解解: 设设A1,A2,A3分别表示第分别表示第1,2,3个元件断电个元件断电 ,A表示电路断电表示电路断电,则则A1,A2,A3相互独立相互

24、独立,A= A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=)(1321AAAP )()()(1321APAPAP =1-0.168=0.832例例1.7.2（891）甲、乙两人独立地对同一目标射）甲、乙两人独立地对同一目标射击一击一 次，其命中率分别为次，其命中率分别为0.6和和0.5，现已知目标，现已知目标被击中，则它被击中，则它 是甲击中的概是甲击中的概 率为率为( )解解:(1)设设A=甲中甲中,B=乙中乙中,C=目标被击中目标被击中, 所求所求 P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.6/0.8=3/4例例1.7.3（944）设）设 0 P ( A ) 1 , 0