第三节格林公式

1、第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第十一章 三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积问题的提出问题的提出)()()(aFbFdxxfba 牛顿-莱布尼茨公式定积分可通过其原函数在区间端点上的函数 值来表达xy0DL( , )d dDf x yx y问题：二重积分能否表达为某个函数在D的边界曲线L上的曲线积分？意义： 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D , 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD区域连通性的分类区域连通性的分类D复连通区域区域

2、 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”、点洞区域 )单连通区域举例单连通区域举例0| ),( yxyx（1）4| ),(22 yxyx（2）0| ),( yyx（3）（3）（2）（1）复连通区域举例复连通区域举例41| ),(22 yxyx（1）40| ),(22 yxyx（2）LD 当观察者在 L 上行走时，D 内在他近处的部分总在他的左边。 定理定理1. 设闭区域 D 是由分段光滑正向曲线正向曲线 L 围成,则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数连续一阶偏导数,一、一、 格林公式格

3、林公式域的内部靠左域的内部靠左域 D 边界L的正向正向: 外边界的正向是逆时针逆时针 内边界的正向是顺时针顺时针其中其中 L 是是 D 的取正向的边界曲线。的取正向的边界曲线。1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 dycyxyD)()(:21则yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD1( )xy2( )xy证证: 将格林公式分为:LDLDyQyxxQxPyxyPddd ddd， LdyyxQ),(即yxxQDdd

4、LyyxQd),(同理可证yxyPDddLxyxPd),(、两式相加得:LDyQxPyxyPxQddddL1L2L3LD1D2D3Dxy0ABCEFG1()DQPdxdyxy2()DQPdxdyxy3()DQPdxdyxy2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域 , 如图yxyPxQDdd1()LBAPdxQdyPdxQdy2()LCBPdxQdyPdxQdy3()LACPdxQdyPdxQdy证毕 LQdyPdx31LL2LQdyPdxGD3L2LFCE1LAB(3)(3)由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPd

5、x)(3 231)(LLLQdyPdx LQdyPdx),(32, 1来说为正方向对DLLL格林公式仍成立3L2L说明：说明：若若D为复连通区域为复连通区域：1L则曲线L 应包括内外所有边界321LLLL 并且它们对D均取正向。格林公式的实质格林公式的实质：主要用途主要用途：实现曲线积分与二重积分之间的转换。而经常用来将复杂的曲线积分转化为二重积分。而经常用来将复杂的曲线积分转化为二重积分。DLDyQxPyxyPxQdddd 建立了平面上的曲线积分与二重积分的联系，是牛顿莱布尼茨公式在平面上的推广。格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd LDQdyPdxdxdyQPyx若记则格林公式

6、可表示为QPyxyPxQ 格林公式的应用：（1）利用曲线积分计算平面区域的面积（2）利用格林公式求曲线或二重积分推论推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D的面积LxyyxAdd21由格林公式例如例如, 椭圆20,sincos:byaxL所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab面积公式面积公式：若取,QxPy 1 1 d d2d d2DDx yx yA同理，若取同理，若取, 0, PxQ则有则有LxdyA若取若取, 0yPQ 则有则有LydxAyxyPxQyQxPDLdddd例例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明0dd22yxxyxL证证: 令,22xQyx

7、P则yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xx0d dDx y 0例例2. 计算,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 2, 0yexQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxedd22dyOA AB BOxeyyexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye本题我们应用格林公式将二重积分化为曲线积分时,关键是要找到P(x, y)和Q(x, y), 使得经观察OA AB BOPd xQdy并且这样的P,Q在D边界上的曲线积分较简单可以直接利用二重积分的

8、计算方法来计算。xyoABLL不是一条封闭的曲线， 补充有向线段BO,OA,则L+BO+OA为封闭曲线，所围区域记为D，D AOOBLdyx DdxdyyPxQ)( Ddxdy241r 解：解：方法方法1:1:用曲线积分法用曲线积分法 Lydx 02)sin(cos rdr241r 方法方法2 2：用格林公式：用格林公式0,PQx例例3. 计算计算dLxy, 其中曲线L是半径为r的圆在第一象限限部分, 方向顺时针. 解：解：方法方法2 2 ：用格林公式：用格林公式 AOOBLdyx DdxdyyPxQ)( Ddxdy241r AOOBLdyx Ldyx OBdyx AOdyxxyoALDB在在

9、BO上，上， y = 0 , , 0 yd0 OBdyx在在OA上，上，x = 0 , , 0 AOdyx Ldyx241rdyxL 例例3. 计算计算dLxy, 其中曲线L是半径为r的圆在第一象限限部分, 方向顺时针. 例例4. 计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 记L所围闭区域为D，,022时则当 yx22222)(yxxyxQ(0,0),D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyP()DQPdxdyxy？即格林公式的条件：P、Q在D上具有一阶连续偏导数xyoLD,dd22LyxxyyxL1Drlyxo1()0DQPd

10、xdyxy,)0 , 0(时当D在D 内作圆周,:222ryxl取顺时针方向, 对应用格记 L 和 l 所围复连通区域为林公式 , 得1D1Dcos:,sinxrlyr 0 起点， 2终点 dsincos2022222rrr2,dd22lLyxxyyx, 0dddd2222lLyxxyyxyxxyyx即lLyxxyyxyxxyyx2222dddd-,dd22-lyxxyyx,dd22LyxxyyxL1DrlyxoAxyoLDLyxxydyxd22DdxdyyPxQ)(0 Llyxxydyxdyxxydyxd2222 2 例例4. 计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且不过原点的分段光滑

11、正向闭曲线.解解: 记L所围闭区域为D，该方法俗称该方法俗称 “ 挖洞法挖洞法 。”思考思考：为什么要用小圆周222ryx去“挖洞” ？参考题：计算参考题：计算Lyxxydyxd224其中其中 L 是以是以 ( 1 , 0 ) 为中心，为中心，R 为为半径的圆周半径的圆周 ( R 1 ), 取逆时针方向取逆时针方向例例5. 求sin() d(cos)dxxLIeym xyxeymy其中L是以(a, 0)为中心，a为半径的上半圆周，逆时针方向，m 为常数。解： 分析分析 被积函数比较复杂，无论 L 的方程取什么形式，直接用曲线积分的方法都比较困难。故考虑用格林公式),(sinyxmyePx ,c

12、osmyeQx yPxQ yexcos )cos(myex m 表达式简单问题：L不是封闭的曲线，不符合格林公式的条件yx0a2 a22xaxy LA补充有向线段OA，形成闭曲线，满足条件yx0a2 a22xaxy LADsin()(cos)LAxxOeym xydxeym dy()DdxxdyQPyDdxdmy22m a解：22m aIsin()(cos)xxOAeym xydxeym dyQPmxy在OA上，y=0，dy=0，x从0变到2a2202am aImxd x232m a该方法俗称该方法俗称“封口法封口法”例例5. 求sin() d(cos)dxxLIeym xyxeymy关于格林

13、公式小结关于格林公式小结（1 1）“挖洞法挖洞法” ” 和和 “封口法封口法” 是格林公式应用是格林公式应用中两类常见的典型方法。中两类常见的典型方法。（2 2）当曲线积分中，函数）当曲线积分中，函数 P 、Q 使得使得yPxQ 等于零、常数或比较简单时，要考虑用格林公式。等于零、常数或比较简单时，要考虑用格林公式。作业二、平面上曲线积分与路径无关的条件二、平面上曲线积分与路径无关的条件:,),(),(, 21都有与意两条曲线的任到内从及、两个点内任意指定的如果对于导数内具有一阶连续偏在、是一个区域设LLBAGBAGGyxQyxPG.,否则便说与路径有关内与路径无关在曲线积分则称G 恒成立.G

14、yxo A B1L2L什么叫平面上曲线积分与路径无关？1LQdyPdx2LQdyPdxLQdyPdx问题：什么样的曲线积分与路径无关？问题：什么样的曲线积分与路径无关？定理定理2. 设D 是单连通域 ,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积

15、分可记为 证明证明 (1) (2)设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, 则(根据条件(1)BAyQxPddAByQxPdd证明证明 (2) (3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),(yxQ因此有yQxPuddd

16、和任一点B( x, y ),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得yQxPuddd则),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,证明证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD (如图) ,上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕注意注意：在应用该定理时，一定要保证定理的条件：（1）G是一个单连通区域（2）P、Q在G内具有一阶连续偏导数

17、yx说明说明: 根据定理2 , 若在某区域内,xQyP则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;例例6. 证明曲线积分证明： 显然整个xoy面是一个单连通区域，2Qxx又由定理2，曲线积分22Lxy

18、dxx dy在整个xoy面内与路径无关( , )2P x yxy在整个xoy面内恒成立。2( , )Q x yx,Py22Lxydxx dy在整个xoy面内与路径无关。它们均在整个xoy 面内具有一阶连续偏导数。例例7. 计算曲线积分在第一象限部分到A(1,1)的路经。cos1Qyx(sin)(cos1)Lyy dxxydy其中L 为从点O(0,0)沿圆周Py222xyxyx0 122xxy LA解：解：分析分析由被积函数知，直接用曲线积分的方法比较困难。由于故所求曲线积分在整个xoy面内与路径无关，因此考虑改变积分路径：OB+BAB(sin)d(cos1)dLyyxxyy所以(sin)d(c

19、os1)dOB BAyyxxyyyx0 122xxy LAB在在 OB 上，上，y = 0 , 0 dy(sin)d(cos1)dOByyxxyy在在 BA 上，上，x = 1, 0 xd100 d0 x(sin)d(cos1)dAByyxxyy10(cos1)dyy(sin)d(cos1)dLyyxxyy(sin)d(cos1)dOB BAyyxxyysin1 1(sin)d(cos1)dsin1 1Lyyxxyy假设二元函数u = u (x , y)可微，则ddduuuxyxy反过来，若给定一个表达式问它是否一定是某个二元函数u (x , y)的全微分式未必一定是。未必一定是。问题：问题：

20、在什么条件下，表达式一定是某个二元函数u (x , y)的全微分式？( , )d( , )dP x yxQ x yy( , )d( , )dP x yxQ x yy如何求出这个二元函数u (x , y)?( , )d( , )dP x yxQ x yy三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积PQyx例例8. 验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxx

21、x0d0yyxyd02yyxyd022221yx解：解：方法方法2 设,2xyxu dxxyyxu2),(则有两边关于x求不定积分)(222yyx 又,2yxyu 而yu ),(2yyx 所以22( )x yyx y( )0y( )yC22( , )2x yu x yC例例8. 验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. yyxxyxuddd22例例9. 验证22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令2222,yxxQyxyP则)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),

22、(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxoxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy解解:2( , )P x yxy( , )( )Q x yyx(1,1)2(0,0)d( )dxyxyxy2()2Pxyxyyy( )( )Qyxyxxx( )2yxxy,2)(xx ,)(2Cxx 再由, 0)0( 得C =0(1,1)2(0,0)d( )dxyxyxy(1,1)22(0,0)ddxyxyxyPQyx积分与路径无关知：12201()d2x xx xx2d( )dLxyxyxy(0)0例例10. 设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且 ,计算内容小结内容小结1. 格林公式LyQxPdd2. 等价条件在 D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddyxyPxQDddLyQx