(完整)空间向量__新高中数学教学教学教案

1、欢迎阅读空间向量考纲导读1 .理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘.2 . 了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算.3 .掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式.1高考导航理解空间向量的夹角 的概念；掌握 空间向量的数 量积的概念、 性质和运算 律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直第1课时空间向量及其运算基础过关空间向量是平面向量的推广.在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量.因此，空间向量的 加减、数乘向量运

2、算也是平面向量对应运算的推广.本节知识点是：1.空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1)向量：具有和的量.2.线性运算律(2)向量相等：方向且长度1 1 .(1)加法交换律： a+ b=(3)向量加法法则：1(2)加法结合律：(a+b)+c=(4)向量减法法则：.(3)数乘分配律：(a+b)=(5) 数乘向量法则： .3 .共线向量共线向量：，表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b 0), a/b等价于存在实数，使.(3)直线的向量参数方程：设直线 l过定点A且平行于非零向量 a,则对于空间中任意一点 。，点P在l上等价于

3、 存在t R ,使.4 .共面向量(1)共面向量：平行于 的向量.(2)共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量 P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x,y),使P.共面向量定理的推论： .5.空间向量基本定理(1)空间向量的基底： 的三个向量.(2)空间向量基本定理：如果 a, b, c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p,存在一个唯一的有序实数组x，y，z,使.空间向量基本定理的推论：设O, A, B, C是不共面的的四点，则对空间中任意一点巳 都存在唯一的有序实数组 x, y, z ,使.6.空间向量的数量积(1)空间向量的夹角：.(2)空间向量的长度或模： .a、b,贝U

4、 a b =.(4)空间向量的数量积的运算律：(a)交换律a b =;(b)分配律 a(b+c) =(3)空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量空间向量的数量积的常用结论：(a) cosa、b> =;(b) a 2=；(c) a b例贝型厨.正体ABCAA1B1C1D1中，点F是侧面CDDiCi的中心，若AF AD xAB yAA ,求 xy 的值._ I解：易求得x y , x y 02变式训练1.在平行六面体abcd AB1clD1中，M为AC与BD的交点，若A1 B1 a,A1D1 b, A1AA. aH- -b + c B. a + b + c2222C. 1a 1b+cD.1

5、a 1b + c2222解：A例2.底面为正三角形的斜棱柱ABC- A1B1C1中，求证：ABi/平面CiBD.证明：记 AB a, AC b, AA1 c,则D为AC的中点,c,则下列向量中与 B1 M相等的向量是()1 - - 1 -AB1a c, DB AB AD a 2b, DCDCCC12bc DB DCa c AB1，.二 ABDB, DC1共面B1 平面 CiBD, AB平面 OBD.变式训练 2:正方体 ABCD- EFGH中，M、N分别是对角线 AC和BE上的点，且 AM = EN.求证：MN /平面FC;(2)求证：MNLAB;(3)当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多

6、少?解：(1)设世 MC k,则MN (k 1)BC kBF.EB AC(2) MN AB (k 1)BC AB kBF AB 0.(3)设正方体的边长为 a,也即AM 2 AC时MN2'min例3.已知四面体 ABCD中，ABXCD, AC± BD, G、H分别是 ABC和 ACD的重心.求证：(1) AD± BC; (2) GH / BD.证明：(1) AD± BC AD BC 0,因为 AB CD AB CD 0 , AC bd aC bD 0 ,而"Ad BC Cab 前)(BD -DC) 0.所以ADXBC.2 2 -(2)设 E、F各

7、为 BC和 CD 的中点.欲证 GH/ BD,只需证 GH/ EF, GH GA AH = - (EA AF )= - EF .3 3变式训练3:已知平行六面体 ABCDA1B1clD1,E、F、G、H分别为棱A1D1, D1c1,C1c和AB的中点.求证：E、F、G、H四点共面.解：HG HC CG = HC GC1=HC GF FC； = AiF FC； GF = 2EF GF ,所以EF,EG,EH共面，即点 E F、G、H共面.AG=GB，过E、F、G的平面与对角线 AG交于点P,求2B1C1例4.如图，平行六面体 AG中，AE= 3EA1, AF= FD, _ 1 IAP:PC的值.

8、解：设 AP mAC1AP 3m AG 4 mAE 2mAF3又 E、F、G、P 四点共面，3m m 2m 13.3一 一 一 m . AP ： PC= 3 ： 1619变式训练4:已知空间四边形 OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB= OC,求证 pm QN -1 证明：法一：OM -(OB OC)2- 1 - PM PO OM -(AB OC)故PM法二：PM' QN = ( PQ + QM+ ) (QM+ + MN )QN1 一 一 1 , 一,=1(AB OC) -(OC BA)1 21 2=一(OC AB ) = 04欢迎阅读欢迎

9、阅读小结归纳1 .立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明.对于垂直，一般是利用a±b a b= 0进行证明.对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.2 .运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模.而 计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果.3 .利用向量求.夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便.其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cos 0= a ba|b4.异面直线间的距离

10、的向量求法：已知异面直线11、12, AB为其公垂线段，C、D分别为11、12上的任意一点，n为与AB共线的向量，则|aB i = lCD nl|n|5 .设平面a的一个法向量为3,点P是平面a外一点，且PoC a,则点P到平面a的距离是d= 1Pp n|n|第2课时空间向量的坐标运算基础过关设 a (ai,a2,a3) , b (b1,b2,b3)(1) aib=(2) a =.(3) a b=(4) a " b ; a b设Aa1，山2), B区,与)则 AB =, | AB | .AB的中点M的坐标为典型例题例 1.若 a = (1,5, 1), b= (-2,3,5)(1)若

11、(ka+b)/(a 3b),求实数 k 的值;(2)若(ka+b)，(a 3b),求实数 k 的值;(3)若ka b取得最小值，求实数 k的值.1解：(1) k - 3，/c、，106(2)k ；3k 27变式训练1.已知。为原点,向量uurOAuur3,0,1 ,OBuur1,1,2 ,OCuuu uur uuu uurOA, BC / OA,求 AC .uuuruuu解:设 OC x, y,z ,BCi,y1,zuuur OCuuu uur OA, BC /uuurOCuuuOA0,uuur uuuBC OA3x3xz 0, 1,y 1,z 23,0,1z 0, 1 3 , 1 0, 2.

12、解此方程组,7x ,y101,z2110110uuurOC7 . 21,1, 一1010uuurACuuurOCuuuOA3711,1, °1010例2.如图,直三棱柱 ABCAiBiCi底面ABC中,CA= CB= 1,bCA90，棱 AA1是的中点.求BM的长;(2)求 cos BA, Cb1 的值;求证：A1B C1N .解:以C为原点建立空间直角坐标系xyz .(2)依题意得 B (0, 1 , 0), M (1 ,0,BM、(1 0)2 (0 1)2 (1 0)2.3.2, M、N 分别 A1B1、A1A依题意得 A1 (1, 0, 2), B (0, 1,0), C (0

13、,0, 0), B1 (0, 1, 2).cos BA) ,CB1BA1 CB1而CB1- 3010(3)证明：依题意得 C1 (0,0, 2),一 1 1 一N(2,2,2), A1B1 1(1,1, 2),C1N(-,-,0).变式训练2.在四麴隹P ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱 PAL底面ABCD, AB=用，BC= 1, PA= 2, E为PD的中点.(1)在侧面PAB内找一点N,使NEX面PAC并求出N点到AB和AP的距离;EC0)、(2)求(1)中的点N到平面PAC的距离.解：(1)建立空间直角坐标系ABDP,则A、B、CD、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(/3

14、,0,和C("W,D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, 1,1),依题设 N(x, 0, z),则 NE=( x,已，1 z),由于 NE，平面 PAC,NE AP 0Ne AC1x, 2,11x, -, 12z) (0,0,2) 0 z 1 0 c1cz) (,3,1,0) 0, x 2从而AB、AP的距离分别为1 ,、3 Q(2)设N到平面PAC的距离为d,则d= INANEI |NE|,31(6 刀,1)(|( 6363, 1,0) I 136 21,32.112-12-,0)I2例3.如图，在底面是棱形的四棱锥P ABCD中，ABC 60 ,PA AC a,

15、PB PD &a ,点 E 在 PD 上，且 PE: ED(2)解:证明PA平面abcd ；求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角在PC上是否存在一点F,使BF /平面(1)证明略;的大小;AEC ?证明你的结论.即点N的坐标为(*，0, 1),(3)解角坐标系(如图).由题设条件，相关各点的坐标为所以AE2131(0, a, a) AC (a, a,0) , AP3 322-33 1(0Aa), PC (2a,2a,a)BP, 31、(a, -a,a),22设点F是棱PC上的点, i I "PF31PC ( a, 22a,a),其中BFBP PF3(丁(1 1),2a(1

16、),a(1)令BF1AC2AE得3a(1 21-a(1)2a(1解得BF1 -AC 20AE.亦即,F是PC的中点时,BF,AC,AE共面，又BF 平(2)易解得 30 ;以A为坐标原点，直线 AD,AP分另IJ为y轴、z轴，过A点垂直于平面 PAD的直线为x轴，建立空间直面AEC ,所以当F是PC的中点时，BF /平面AEC .BC= 1,BE= 3, CF= 4.ZE例4.如图，多面体是由底面为 ABCD的长方体被截面 AEFG所截而得，其中 AB= 4, (1)求EF和点G的坐标； (2)求GE与平面ABCD所成的角;(3)求点C到截面AEFG的距离.解：(1)由图可知：A(1, 0,

17、0), B(1, 4, 0),E(1, 4, 3), F(0, 4,4) EF ( 1,0,1)又 AG EF ,设 G(0, 0,z),则(一1, 0, z)= (-1, 0, 1)，z= 1.-.G(0, 0, 1)(2)平面ABCD的法向量DG (0,0,1).2、21arcsin 21Ge (1,4,2),设GE与平面ABCD成角为 ，则DG GE 2 , 21 cos()2 |DG | |GE |21设 n0，面 AEFG, n0 = (x0, y0, z0)n。* ± AG , n。"，AE ,而 aG = ( 1 , 0, 1), AE = (0, 4, 3)

18、Xo Z0 04y0 3zo 0Xo z。c3r , )3 n。 (z。，zo,z。)yo-z。44取 zo=4,则 n0* = (4, - 3, 4) CF (0,0,4), d |CF n0| 16 41|nol 41即点C到截面AEFG的距离为 曳41.41变式训练4.如图四棱锥 PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PGL平面ABCD垂足为G, G在AD上，且PG=4, AG 1GD , BGXGC, GB=GC= 2, E是 BC的中点.3(1)求异面直线 GE与PC所成的角的余弦值；(2)求点D到平面PBG的距离； PF ，一(3)若F点是棱PC上一点，且 DF± GC,求的值.FC解：(1)以G点为原点，GB： GC、GP.为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则 B(2, 0, 0), C(0, 2, 0),P(0, 0, 4),故 E(1, 1, 0),GE =(1, 1, 0), PC =(0, 2,