(完整版)高中数学平面向量习题及答案

1、第二章平面向量第8页共9页、选择题1 .在4ABC中，AB=AC, D, E分别是 AB, AC的中点，贝心)A.AB与AC共线C.AD与AE相等B. DE与CB共线D. AD与BD相等2 .卜列命题正确的是（A.向量AB与BA是两平行向量B.若a, b都是单位向量，则 a=bC.若AB = DC ,则A, B, C, D四点构成平行四边形D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3, 1） , B（ -1,3）,若点C满足OCOA+ OB ,其中C R ,且+ = 1,则点C的轨迹方程为（)A. 3x+2y11 = 0B. (x1)2+(y

2、 1)2=5C. 2x-y=0D. x+2y-5=04 .已知a、b是非零向量且满足（a2b） La, （b-2a） ±b,则a与b的夹角是（)D. 565 .已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点 A, C）,则AP =（)A. X AB + AD ),长(0, 1)B. N AB + BC ),C. X AB - AD ),入C (0, 1)D. 乂 AB BC ),二 .2入e (0, ),2(。，)6. AABC 中，D,巳F分别是AB, BC, AC 的中点，贝U DF =(A.EF + EDB. EF - DEC.EF + ADD. EF + AF7.若

3、平面向量a与b的夹角为60°, | b| =4, (a+2b) - (a- 3b) =- 72,则向量模为（A. 2B. 4C. 6D. 128 .点O是三角形 ABC所在平面内的一点，满足 OA OB = OB OC = OC OA , 则点O是 ABC的（）.A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点9 .在四边形 ABCD 中，AB =a+2b, BC =-4a- b, CD = - 5a-3b,其中 a, b 不 共线，则四边形 ABCD （）.A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形10 .如图，梯形 ABCD中，|而|=|BC

4、|, EF / AB / CD则相等向量是（）.DCA. AD 与 BCB. OA 与 OBC. AC 与 BDD. EO 与 OF二、填空题（第10题）11 .已知向量 OA = (k, 12) , OB = (4, 5) , OC =(-k, 10)，且 A, B, C 三点共线,则k =.12 .已知向量 a=(x+3, x2-3x-4)与 MN 相等，其中 M( -1, 3), N(1, 3),则 x13 .已知平面上三点 A, B, C 满足 | AB | = 3, | BC | =4, | CA | =5,则 AB BC +bC - cA + cA aB 的值等于.14 .给定两个

5、向量 a=(3, 4), b = (2, 1),且(a+ mb) ±(a-b),则实数 m 等15 .已知A, B, C三点不共线，O是 ABC内的一点，若 OA+OB + OC = 0,则O是a ABC的.16 .设平面内有四边形 ABCD和点O, OA = a, OB = b, OC = c, OD=d,若a+c= b+d,则四边形ABCD的形状是.三、解答题17 .已知点 A(2, 3) , B(5, 4) , C(7, 10),若点 P 满足 AP = AB + 入AC (入C R),试求入为何值时，点P在第三象限内？18 .如图，已知 ABC, A(7, 8), B(3,

6、5), C(4, 3) , M, N, D 分别是 AB, AC,BC的中点，且MN与AD交于F,求DF .19 .如图，在正方形 ABCD中，E, F分别为AB, BC的中点，求证：AFLDE(利用向20 .已知向量a=(cosasin。，向量b= ( J3 , 1),则| 2ab|的最大值.参考答案、选择题AB与AC, AD与AE不平行,AD与BD共线反1. B解析：如图, 向.2. A解析：两个单位向量可能方向不同，故 B不对.若AB = DC ,可能A, B, C, D四点共线，故C不对.两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对.3. D解析：提示：设 OC=(x, y),

7、 OA=(3, 1), OB =(-1, 3), OA=(3 ,),OB=( ,3),又 OA+ OB=(3 ,+3),.一一 、 x=3 一一 . (x, y)=(3 ,+3 ), .，又 + =1,由此得到答案为 D.y= +34. B解析：:( a2b)，a, (b 2a) ±b,. .(a 2b) a = a22a - b=0, (b2a) - b=b22a - b=0,11- a2= b2,即 | a| = | b| .，| a| 2= 2| a| b| cos 0= 2| a| 2cos q,解得 cos 仁一.2a与b的夹角是.35. A解析：由平行四边形法则，NB +

8、 D = AC,又ab + bC = AC,由入的范围和向量数乘的长度，/(0,1).6. D解析：如图，: AF = DE ,DF = DE + EF = EF + AF .7. C解析：由(a+ 2b) (a 3b) = 72,得 a2-a - b-6b2=- 72.而|b| = 4, a - b= | a| b| cos 60 = 2| a| ,. |a|221a|96= 72,解得 |a|=6.8. D解析：由 OA OB = OB OC = OC OA,得 OA OB = OC OA,即 OA -(oc - ob) =o,故 BC oA = o, Be ± oa ,同理可证

9、 ac ± OB ,O是 ABC的三条高的交点.9. C解析：. AD = AB + BC + CD =- 8a-2b=2BC , . . AD / BC 且 |AD |w | BC |.四边形ABCD为梯形.10. D解析：ad,与BC, AC与bD, OA与OB方向都不相同，不是相等向量.二、填空题11. - 2 . 3解析：A, B, C三点共线等价于 AB , Be共线，AB = OBOA = (4, 5) - (k, 12) =(4-k, 7),BC = OC - OB =( - k, 10)-(4, 5)=(-k-4, 5),又A, B, C三点共线，、，、2 5(4-k

10、) =- 7( -k-4) ,k =-.312. - 1.解析：. M( 1, 3), N(1, 3),MN =(2, 0),又 a= MN ,x+3= 2x=-1,2cc解得M ，x23x4= 0x= 1 或 x=413. 25.解析：思路1:AB =3, ABC 为直角三角形且/ ABC =90°, IP AB ± BC , .ABBC =0,AB - BC + BC CA + CA AB=BC CA + CA AB=CA - ( BC + AB )= -(CA)2f 2=-Ca=-25.思路 2: 1 AB =3, BC=4, |cA=5, -/ ABC=90

11、6;,AB cos/ CAB =CA3 , cos/ BCA= = 45CA 5根据数积定义，结合图（右图）知AB BC =0,BC - CA = |bC| - CA cos/ACE = 4X5X(4) = - 16, CA - AB = |ca| - |AB|cosZ BAD = 3X5X( 3 ) = 9.AB - BC + BC - CA + CA - AB =0169=- 25.14.233第12页共9页解析：a+mb=(3+2m, 4 m), ab=(1, 5).(a+ mb) ±(a b), ( a+ mb) (a b) = (3+2m) x1 + (4 m) X5=01

12、5 .答案：重心.m=233解析：如图，以OA , OC为邻边作DAOCF交AC于点 e,则 OF = OA+OC,又 oA + OC =- OB ,OF = 2OE =- Ob ,。是 abc 的重心.16 .答案：平行四边形.解析：a+ c= b+d,ab=dc, . BA = CD .四边形ABCD为平行四边形.三、解答题17 . K - 1.解析：设点 P 的坐标为(x, y),则 AP =(x, y) (2, 3) = (x 2, y3).AB + AAC =(5, 4)(2, 3) + 入(7, 10) (2, 3)= (3, 1)+3 7) = (3+5% 1 + 74.AP =

13、 AB + 入AC ,( x- 2, y3) =(3+5入 1 + 7 a .x235x55即y317y47 550要使点P在第三象限内，只需解得入v - 1.（第18题）4 7018 . DF =( 7 , 2).4解析：. A(7, 8), B(3, 5), C(4, 3),AB =(-4, 3), AC =(-3, 5).又D是BC的中点,Ad = - ( AB+AC) = -(-4-3, 35) 22=-(-7, 8)=(工4).又M, N分别是AB, AC的中点,F是AD的中点,DF=- FD= - 1AD= - 1(-, -4) = (- , 2).222419 .证明：设 AB = a, AD = b,则 AF = a+ b, ED = b a.22(第19题)AF , ED = (a+ b) -( b - 1 a) = lb2 a2 + a b. 22224又 AB，AD ,且 |AB卜 AD ,a2=b2, a - b=0.AF ED =0,AF ± ED .本题也可以建平面直角坐标系后进行证明.20 .分析：思路 1: 2a-b= (2cos 0- J3 , 2sin。+ 1),| 2ab| 2= (2cos 0 V3)2+(2sin 0+ 1)2=8+4sin 0 4V3 cos 0