2019-2020年高中数学《变化率与导数-1.1.3导数的几何意义》教案7新人教A版选修2-2

1、019-2020年高中数学变化率与导数-1.1.3导数的几何意义教案7新人教A版选修2-2教学目标1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：一创设情景(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率， 反映了函数y=f(x)在x=xo附近 的变化情况，导数的几何意义是什么呢？二新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率： 如图3.1-2，当Pn(x.,f(xn)(

2、 n 12,34)沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么?我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即xT0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置 的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？切线PT的斜率为多少？容易知道，割线的斜率是，当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即5f(x0)= f(x0)说明：(1)设切线的倾斜角为a ,那么当XT0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线x的斜率这个概念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法切线斜率的本质一函数在处的导数（2）曲线在某点处的切线：1）与该点的位置有关；2）要根据割线是否有极限位置来

3、判断与 求解如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；3）曲线的切 线,并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个（二）导数的几何意义：函数y=f（x）在x=xo处的导数等于在该点处的切线的斜率,说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求出P点的坐标；2求出函数在点处的变化率斜率；3利用点斜式求切线方程（二）导函数：由函数f（x）在x=xo处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当x变化时,便是x的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数记作：或，注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.（三）函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1）

4、函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一 个常数，不是变数。2） 函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f（x）的导函数3） 函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。三.典例分析例1：（1）求曲线y=f（x）=x2+1在点P（1,2）处的切线方程（2）求函数y=3x2在点处的导数2 23x -3 1x1所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为即（2）求函数f（x）=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.f（X。）=啊f(X。：x) - f(Xo)（怡）=ijmf（x。x）-f（x）= k，得到曲

5、线在点的切线的f（x）=yTx叫f (x x) - f(x)Ax解: (1)(1：x)21 -(121zx=2,所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为即(2)因为y Imx 1)=6x解:-(-1：x)2(-1：x) -2=3 - x它表示曲线在此点处的切线的斜率.如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物 浓度瞬时变化率的近似值.作处的切线，并在切线上去两点，如，则它的斜率为：所以下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率0.40-0.7-1.4四.课堂练习1.求曲线y=f(x)=x3在点处的切线;2

6、求曲线在点处的切线.五回顾总结2（1 .：X）（ 1.：x） 2例2.(课本例2)如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x-4.9x26.5x 10，根据图像，请描述、比较曲线在、附近的变化情况.解：我们用曲线在、处的切线，刻画曲线在上述三 个时刻附近的变化情况.(1)当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降.(2)当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数h(x)二-4.9x26.5x 10在附近单调递减.(3)当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数h(x)二4.9x 6.5x 10在附近单调递减.从图3.1-3可

7、以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近 下降的缓慢.例3.(课本例3)如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间(单位：)变化的图象.根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到)解：血管中某一1曲线的切线及切线的斜率;2导数的几何意义六布置作业2019-2020年高中数学变化率与导数-平均变化率教案4新人教A版选修1-1一.教材依据 平均变化率二. 设计思想指导思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法.设计理念：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数随 着对函数的深入研究，产生了微积分.

8、导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变 化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具理解和掌握导数的思想 和本质显得非常重要正如数学课程标准（实验）解读中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重 影响了对导数思想和本质的认识和理解；” “.这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎.” 故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念在设计这节课时，我把重点放在（1）通过大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，

9、探究和体验平均 变化率的实际意义和数学意义；（2） 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法.学情分析：我们学校是我市的重点学校，我教的班是政治普通班，学生的基础总体上可以， 有个别学生在学习数学时有点困难，他们觉得数学就是太抽象了，所以在教学时要照顾中下 的学生，为了加深学生对导数概念的印象，增加上课的气氛，我事先买了两个气球，在上课 时准备请两学生上来吹，并让他们谈谈随着气球内空气容量的增加，气球半径变化情况另 我校一节课是40分钟.三. 教学目标1.通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意 义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念及

10、其计算步骤，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；3.掌握求函数在指定区间上的平均变化率，能利用平均变化率解析生活中的实际问题；4.通过分析实例，初步探究由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，让学生体会用已知探究未知的思考方法.四. 教学重点1.通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意 义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 五教学难点41.如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢？”2.掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；六教学准

11、备1.认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2.向有经验的同事请教；3.从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方.七.教学过程1.教学基本流程：(1)组织学生讨论问题，阐述想法;(2)引导学生“以已知探求未知” 从气球体积出发，寻求想法；(3)师生共同确定想法：气球体 积V与气球半径r之间的关系； 随着气球体积的增大，当气球体积增 加量相同时，相应半径的增加量越来2.教学情景设计通过实例分析，激发求知欲问题设计意图师生活动(1)让学生阅读 章引言，并思考章 引言写了几层意 思？_ 学生思考、讨论，提出想法_ (1) 学生先阅读丿 思考，老师再提示；讣禹川卄令*L(2)以简洁的话语指让学生对

12、这章书得有平均变化率数和微积分的关系微积分的研 一个大概认识一 使学生学习有了方 向，能一下学习.；究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；从数学(1)备注(练习、时间(分钟)(2)气球膨胀率 问题： 老师准备了两个气球，请两位同学 出来吹，请观看同 学谈谈看见的情 景；再请吹气球同 学谈谈吹气球过 程的感受，开始与 结束感受是否有 区别？(2)通过例题和练习，史进角步理解函地平均变微积分创立密密切相关的四类问题以及做出巨大贡 献的科学家；概述本章的主要内容, ，以及导数工具的作用和价值.让学生吹气小结 球，可以增加 课堂气氛，同 时加深学 导数的印象： 对一种生活 现象的数学

13、 解析，可以激 发学生深入习置作业(3)_生演示吹气球过程，谈过 程，老师点评.(4)得出结论：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越 慢.2.5探究的兴趣， 而且让学生 感到数学是 有用的.(3)现象“随着 气球内空气容量 的增加，气球的半 径增加得越来越 慢”,从数学的角 度该如何描述？(1)让学生充分思 考、讨论，体会把通 俗语言转化为数学语 言，用数字说明问题 的过程.(2)使学生感受到数 学知识的产生发展是自然的，并非强加于 人的，从而激发他们 学习的兴趣与愿望.(3)使学生逐渐掌握 数学研究的基本思考 方式和方法.越小，从数学角度进行描述就是，“随着气球体积的增大，比值越

14、来越 小”.比值就是气球的平均膨胀率.(4)请分别计算V从0增加到1L时，从1L增加 到2L的平均膨 胀率(1)让学生体会需要 用数字来说明问题；(2)让学生感受气球 膨胀率大小的变化， 从而体会平均膨胀率 可以刻划气球半径变 化的快慢.(1) 学生计算，交流计算结果，并 讨论结果代表的意思；2.5(5)“思考”让学生体会从特殊到 一般，从具体到抽象 的思考过程.当空气容量从M增加到V2时，气球的 平均膨胀率是0.5(6)高台跳水问题：在咼台跳水运动 中，运动员相对于 水面的高度h(单 位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在怎样的函 数关系？(1)老师可以表 演从凳子上跳下来， 模拟高台跳水

15、，以加 深学生学习导数这一章的印象，使学生学 习完本章知识后，能 在头脑中保留一个导 数的实际模型一一高台跳水，以使抽象概 念具体化；(2)针对具体问 题，寻求解决问题的 方法.引导学生列出关系式：h(t)=-4.9t2+6.5t+10.2(7)如何计算运 动员的平均速 度？并分别计算0 t 0 .5 , 1t2,1.8t2,2t2.2, 时间段里的平均 速度.再次通过计算，理解 平均变化率.学生计算，交流计算结果，并讨论结 果代表的意思.2(8)思考“探究”.(1)该探究题的第一 问的结果是平均速度 为0，但实际上并不是(1) 让学生亲自计算和思考， 展开讨 论；(2) 老师慢慢引导学生说出

16、自己的发7.5这样，问题在哪里？(2)这个探究设计得 好，为以下提出导数 概念做了铺垫.(3)这里的“探究” 会让学生感受到进一 步探究、学习的必要 性，为从平均变化率 到瞬时变化率(即导 数)做好准备，为建 立导数概念营造了一 个良好的问题情境.(4)让学生就此探究 进行思考、展开讨论， 激发他们的认知需 求，自然地进入导数 概念的学习.现，并初步修正到最终的结论上.(3)得到结论是：平均速度只能粗 略地描述运动员的运动状态，它并不 能反映某一刻的运动状态.需要寻 找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；(9)引出函数平 均变化率的概 念.找出求函数平 均变化率的步骤.(1)函数的平均变化

17、 率既是本节难点，也 是重点.要详细给学 生分析；(2)让学生在经历从 实例到抽象概括出变 化率的过程中，感受 数学的思想，认识数 学的本质，主动参与 数学教学活动的基本 理念.(3)掌握平均变化率 的概念，体会逼近的 思想和用逼近的思想 思考问题的方法.(1)师生一起讨论、分析，得出 结果；(2)计算平均变化率的步骤： 求自变量的增量 X-X2-X1:求函数 的增量f-f(X2)-f(X1)；求平均变 化率.(3)注意：X是一个整体符 号，而不是与X相乘；X2-乂计厶乂：f-y-y2-y1；3(10)补充实例14,练习(1)要增加一些实 例，丰富导数概念的 实际背景，让学生加 深印象.(2)

18、学生初次接触平 均变化率及其符号表 示，多举例子让学生 巩固对这个概念的理 解.(1)老师板书一个例1过程；(2)请个别学生出黑板写 过程(3)老师讲评.12思考1温度气温)增2:如何从数学角度说明曲线上升的陡峭程度?”是一句生活用语，若从数学角度描述，那该如何描述?水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,V(t)=5例3积均变化率.20.C(34, 33.4)t s后容器甲中水的体X 2-0.1t(单位:)，计算第一个10s内V的平.B(32, 18.6)例4已知函数，10:A (1, 3.5)20 2分别计算在下列区间上的平均变化率：10203034时间Tt(12)让学生进行 课堂小结(1)要提

19、问学生，让 学生学会自主小结，自主学习(2)最后老师加以补 充与完善(1)随着气球内空气容量的增 力口，气球的半径增加得越来越慢， 即 随着气球体积的增大，比值气球膨胀 率越来越小；(2)平均速度只能粗略地描述运 动员的运动状态，匕并不能反映某一 刻的运动状态；(3)函数的平均变化率的概念；(4)求函数的平均变化率的步 骤；(5)课后思考问题：需要寻找一 个量，能更精细地刻画运动员的运动 状态，那么该量应如何定义？(6)思考问题方法：从实际生活 到数学语言，数学概念.2.5(13)作业：看 书，复习今天内 容；思考问题： 如何能更精细地刻画运动员的运 动状态？需要增 加什么量？做 书P86A1;预习下节内容(1)当天知识，