平面向量知识点归纳

1、平面向量1 .向量有关概念：1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：2 .零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0,注意零向量的方向是任意的；_3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是 工结_）;1AB|4 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5 .平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a、b叫做平行向量，记作： a /b ,规定零向量 和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两

2、个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；.平行向量无传递性！（因为有0）;三点A B、C共线u AR AC共线;6 .相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a o如IIi.IAB =下列命题：（1）若a' =|b'，则a=b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。(3)若，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则（6）若a/b,bc ,则a/c。其中正确的是 （答：（4）（5）T T 4 4 4 444AB = DC。(5)若 a 为h u ，则 a =

3、 c。精品资料2 .向量的表示方法 ：1 .几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ,注意起点在前，终点在后； - r +2 .符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a, b, c等；3 .坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j为基底，则平面内的 r.ffr任一向量a可表示为a =xi + y j =（x, y ）,称（x, y ）为向量a的坐标，a = （x, y ）叫做向量a的坐标表示。 如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三.平面向量的基本定理 ：如果ei和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任

4、一向量a,有且只有一对实数 九1、2，使a= A1e1+ %e2。如U t U11T 3，(1)若 a =(1,1),b = (1,1),c = (1,2),则c= (答：-a b)；22（2）列向量组胃，能作为平面内所有量基底的是.A. e =（0,0）, 62 =（1,-2）B. e1 =（-1,2）卫二（5,7）C. 61 =(3,5),62 =(6,10)13D. 6 =(2,-3)© =(3,-4)-1TTI 4 T 启：b）；（3）已知AD,BE分别是AABC的边BC, AC上的中线，且AD =a,BE=b，则BC可用向量a,b表示为2， 4.（答：a*b）；33（4）已

5、知AABC中，点D在BC边上，且CD =2 DB , CD = r AB + s AC ,则r +s的值是（答：0）四.实数与（"1积 的 量 向=|与向量a的积是一个向量，记作九a,它的长度和方向规定如下：时，九a的方向与a的方向相同，当 K <0时，九a的方向与a的方向相反,a a如。五.平面向重的数重积：- T 4 T 1 .两个向量的夹角：对于非零向量a, b ,作OA=a,OB =b , /AOB=9 * TT fT T兀（0 <0 Wk ）称为向量a , b的夹角，当日=0时，a , b同向，当日=n时，a , b反向，当日=一时，a , b垂直。TT一 0一

6、r2 .平面向量的数量积：如果两个非零向量 a , b ,它们j勺夹角为 日,我们把数量| a | b |cos日叫做a与b的 数量积（或内积或点积）,记作：ab,即a,b = a"b'cos8。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如11、 一1 I"!:（D 已知 a =（1,）,b =（0,）,c = a+kb,d =ab , c与d 的夹角为一，则 k 等于224已知a =2b=5,'=4,则*a+b等于则a与a +b的夹角为（3）已知a, b是两个非零向量，且（答:1）；（答：岳）;（答：30：）3. b在a上的

7、投影为| b | cos8,它是一个实数，但不一定大于0。如TTTTT T已知| a | = 3 , | b |=5 ,且a b =12 ,则向量a在向量b上的投影为（答:12一）54. a b的几何意义：数量积a b等于a的模|a |与b在a上的投影的积5.半量苕量积，性J :设两个非零向量a, b ,其夹角为日，则:a_Lbu ab=0；当a , b同向时， 4Ta b ；非零向量aa,b = a b ,特别地,b夹角e的计算公式：TTT T（D已知a =（%2九），b =（3%2）,如果a与b的夹角为锐角，则 九的取值范围是 41（答：儿一一或九下0且九/一）；33六.向量的运算向量加法

8、：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”,只适用于不共线的向量”如此之外，向量加法还T 4 T4 可 T 可利用“三角形法则”：设AB =a, BC =0那公RAg叫做a/b的和，）即a；b = pB +BC = AC ；向量的减法：用“三角形法则”：设AB =a, AC =b,那么ab =AB AC =CA ,由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如(1)化简： AB+BC+CD=; ABAD-DC =(2)若正方形ABCD的边长为1,zB=a,BC=b,zc =c，则1a +b+可;(ABCD)(ACBD) =_ T T .(答：AD ；CB ；

9、0)；(答:2衣);2.坐标运算：设 a =(x1, yp,b =(x2, y2),则：向量的加减法运算：a±b = (x1±x2, y1±y2)。如(1)已知点A(2,3), B(5,4) , C(7,10),若AP =AB +昊大(九w R),则当九=时，点P在第一、三象限的角平分线上:1(答：一)；,2T -T - T T(2)已知作用在点 A(1,1)的三个力E =(3,4), F2 =(2,-5), F3=(3,1),则合力F = F1+ F2+ F3的终点坐标是(答:(9,1)实数与向量的积：%a =九(, y1 ) = (7力，九y1 )。若A(x1

10、, y1), B(x2, y2),则AB =(x2 -x1 ,y2 -y1 ),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如品=3篇，则c、d的坐标分别是口 Y 1 设 A(2,3), B(-1,5),且 AC =AB ,311(答：(七),(-7);平面向量数量积：a *b = x1x2 + y1y2 0如F-»T兀 T已知向量 a = ( sinx ,cosx ) ,b = ( sinx ,sinx), C = (1, 0)，若 x =,求向量 a、C 的夹角;22* c c c向;手：|a| = Jx +y,a =|a|=x +4。如.已知a,b均为单位

11、向量，它们的夹角为 60，,那么|a+3b|= (答：J13)；两点间的距离：若 A(x, y1 ),B(x2, y2 ),则 | AB |二 J(x2 x1 )2 +( y2 - y1 )2。七.向量的运算律：l, t ,(九a )*b =九(a *b )= a (Ab )；1 .交换律：a+b=b+a,九(Na)=(7卅)a, a,b=b,a2 .结合律：a +b+c=(a+b)+c,ab c=a(b+c),(九 + R )a =+ a,九(a +b )=九a + Kb , (a +b ),c = a c + b c。22下列命题中： a (b c) = a-b a-c ； a (b c)

12、 = (a b) c ； (a b) =|a|T T T2TTT T4 24 2-2|a|b|+|b| ；若ab=0,则 a = 0 或 b=0；若 a -b= c b,则 a = c ； a'=a ；abb 2，242* 2，2, ，2 F2-二斗；(a b)=ab ;(a -b) =a- 2a b +b。其中正确的是 (答：)a a提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的，“乘法”不满足结合

13、律，即a(b.c) #(a*b)c,为什么？八.向量平行(共线)的充要条件：aby a=，hu (a b)2 =(|a |b|)2 u x1y2_y1x2=0。如(1)若向量a =(x,1),b =(4,x),当x =用a与b共线且方向相同(答：2)；(2)已知 a =(1,1),b =(4,x) , u=a+2b, v =2a+b ,且 u/v ,则 x=(答：4)； T J(3)设 PA=(k,12),PB=(4,5), PC =(10,k)、则 k= . .时,a,b,c 共线(答：2 或 11)144 H 4 44干3(答：一)；2九.向量垂直的充要条件：a _Lbua b =0= | a+b |=| a-