离散数学习题解第二部分(代数系统)

1、For personal use only in study and research; not for commercial use离散数学习题解第二部分代数系统习题四第四章代数系统1 .设I为整数集合。判断下面的二元关系是否是I上的二元运算a) += (x, y), z|x, y, zI 且 z=x+yb) = (x,y),z)|x,y,zI且z=x yc) X = (x,y) ,z)|x,y,zI 且 z=x X yd) /= (x, y), z) |x, y, zI 且 z=x/ye) R= (x, y), z) |x, y, zI 且 z=xyf)二 (x, y), z) |x, y

2、, zI 且 z= Vx' g) min = (x, y), z) |x, y, zI 且 z=max (x, y) h) min = (x, y), z) |x, y, zI 且 z=min (x, y) i) GCD = (x, y), z) |x, v, zI 且 z= GCD (x, y) j) LCM= (x, y) , z) |x, y, z C I 且 z= LCM (x, y) 解a)是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知 +： I2一I是I上的一个二 元运算。b)是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I2一 I是I上的一个二元运算。c)是。由于两个

3、整数这积仍为整数，且结果唯一，故知 x： I2一I是I上的一个 二元运算。d)不是：例如若 x=5 , y=6,则z=x/y=5/6正I;当y=0时z=x|y=x/0无定义。、，与11.、，e)不是。例如若 x=2 , y= -2,贝U z=x =2 = 2= I ;若 x=y=0 ,贝U z=x =0,max： I；I 是 I 上24g）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知的一个二元运算。h）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知 min： I2一I是I上 的一个二元运算。i）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知 GCD： I2一I是 I上的一个二

4、元运算。j）是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知 LCD: I2一I是 I上的一个二元运算。注：两个整数a和b的最大公约数 GCD （a, b）定义为同时除尽 a和b的正整数 中最大的一个；两个数 a数b的最小公倍数LCM （a, b）定义为同时是a和b 的正倍数中最小的一个。2,设X=x | x=2 n, n C N问普通数的加法是否是 X上的二元运算？普通数的乘法呢？答普通的加法运算不是 X是X上的二元运算，因为存在着 X1=2 X, X2=22C X, 使 Xi+x2=2+2 2=6 皂 X。普通的乘法运算是 X上的二元运算，因为对于任意的xi=2n1更X, X2=2n

5、22X,这里 ni, n2N,都有 xi - x2=2n1 - 2n2 = 2'3=X （因为 ni+n2c N）。3 .设X, * 是代数系统，*是X上的二元运算，若有元素 eCX,使VxWX ,有 e*x=x,则称el是关于*的左幺元。若有元素 erX ,使Vx w X ,有x * ei=x ,则称 er是关于*的右幺元。a）试举出公含有左幺的代数系统的例子。b）试举出仅含有左幺的代数系统的例子。c）证明：在代数系统中，若关于 *有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。解:a）构造代数系统X, 如下：令 X=a , b, c, d, *： XX - X - X,其运算表如下：则此代数

6、系统含有左幺元b, d,但不含右幺元。b）构造代数系统X, * 如下：令X=1 , 2, 3, 4 *: XX - X-X,其运算表如下:*12341 n 243-22134则此代数系统含有右幺元1,但不含左幺元。c）证因为代数系统X,*关于*运算存在着左、右幺元， G, erC X则ei = ei er = eC4 .设X,*是代数系统，*是*上的二元运算。若有元素OiCX,使VxCX,有OJx=Oi 是关于*的左零元。若有元素 OrC X,使VxCX,有X*Or=Or,则称 Or是关于* 的右零元。a）试举出公含有左零元的代数系统的例子。b）试举出仅含有左零元的代数系统的例子。c）证明：在

7、代数系统中，若关于*有左零元和右右零元，则左零元等于右零元。解a）构造代数系统X, *如下：令X=a , b, c, *： XXX-X,其运算表如下：*abcaaaabbbbcbca则a和b都是左零元，但没有右零元。b）构造代数系统X, *如下：令X=1 ,2, 3, *:XX-X - X,其运算表如下:*123123323133123则3是右零元，但没有左零元。c）证因为代数系统X, *关于*运算存在着左、右零元，Oi, OrCX,则Ol=Ol*Or=Or5 .当给出一个代数系统的二元运算表时，如何从表上判断这个二元运算是否满足结 合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有

8、逆元。答在一个代数系统X, *中，1)运算*满足结合律，当且仅当在运算表中，对任何 x, yCX, x行每个元素与 y的*积对应的等于x与y列每个元素的*积。2)运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。3)运算*有幺元，当且仅当存在一元素，它所对应的行和列依次与运算表的行 和列相一致。4)运算*有零元，当且仅存在一元素，它所对应的行和列中每个元素都是蛇自 己。5)若运算*有幺元，X中每个元素x有逆元，当且仅当存在一元素yCY,使得x所在行，y所在列的元素以及 y所在行，x所在列的元素都是幺元。6 .设X, *是代数系统，*是X上的二元运算，e是关于*的幺元。对于 X中的元素 x,

9、若存在yCX,使得y*x=e,则称y是x的左逆元。若存在 zCX,使得x*z=e, 则称z是x的右逆元。指出下表中各元素的左、右逆元的情况。* a bcdebcdedacdababacdcdace解a是幺元；b的左逆元和右逆元都是 c;即b和c互为逆元；d的左逆元是c 而左 逆元是 b; b有两个左逆元 c和d; e的右逆元是 c,但 e没有左逆元； c有两个左逆元 b和e有两个右逆元 b, do7 .设X, *是代数系统，*是X上的二元运算。 Vx, yCX,有x*y=x。问*是否满 足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。解a) *运算满足结合律因为对任何x,

10、 v, zCX,都有x* (y*z) =x*y=x=x*y= (x*y) *zb) *运算不满足交换律因为对于二个元素 x, yCX,有x*y=x,而y*x=y。所以当X包含多于一个元素 时，能使xw y,从而x*yWy * x。c)没有幺元因为若有幺元 e C X存在，则对任何x X ,应有e * x * e ,但是e * x= e, x * e=x, 于是推得x=e,当X中包含多于一个元素时，就会有 x w e,矛盾。d)没有零元，仿c)保证。e)对于每个元素都没有逆元。因为没有幺元存在。并且若存在一个元素 aC X,使得对每个元素 xX,都有一个元素yX,使y * x=x * y=a,则

11、有y=x=a ,当X中包含多一个元素时，这将不总是成立的(只在 x=a, 且a具有哥等性时才成立)8 .设N, *是代数系统，*是N上的二元运算， Vx, yCN, x * y=LCM (x, y)。 问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否 有逆元。解a) *运算满足结合律因为，对于任何 x, y, zCN,(x*y) * z =LCM ( (x * y), z)=LCM (LCM (x, y), z)=LCM ( (x, y, z)=LCM ( (x, (y * z)=LCM ( (x * y), z) =x * (y * z)注：关于LCM (LCM (x

12、, y), z) = LCM (x, y, z)我们可证明如下：设 Ci=LCM(x,y,z),d= LCM (x,y),从而 Ci=LCM(d,z),C2= LCM (x, y, z),因此只需证 Ci=C2即可，为此由于 C2= LCM (x, y, z),故此 x | C2, y IC2, z | C2,因此由 d= LCM (x, y) 及x | C2, y IC2,从d2的最小性有dwC2于是d心(否则C2=kd+r, 0vrvd,由于x |d, y | d 及 x | C2,y | C2,故有 x |r,y |r,这与 d=LCM (x,y)的最小性矛盾)。即 d|C2且z|C2故

13、此由Ci=LCM (d, z)的最小性，可知 C1WC2。另一方面，由 Ci= LCM (d, z)知 d |Ci, z|Cn 又由 d=LCM (x, y)知 x |d, y | d, y | d,因此有 x|Ci, y|Cn 并且 z | G。因而 C2=LCM (x, y, z)的最小 性可知C2 Ci。所以，C1=C2。同理可证 LCM(x,LCM(y,z)=LCM (x,y,z)。(b) *运算满足交换律因为对于任何x, yCN,x * y=LCM (x, y)=LCM (y, x)=y * x(c) *运算有幺元1 e n。因为，对于任何xC N,x * 1=LCM (x, 1)=

14、x=LCM (1, x) =1 * x(d) *运算没有零元。因为 0任N。(e) 对于每个元素 xCX,若xw 1,则对每个元素 yCN,都有x*y=y*x=LCM (x, y) xw1,故此没有逆元素。9 .设X, *是代数系统，*是*上的二元运算。X是X中的任一元素，若有 x*x=x, 则称 x是帚等兀。若*是可结合的，且 Vx, y X ,当x*y=y*x时，有x=y。证明：X中每个元素都是哥等元。证对于任何xCX,令xi=x*x, xj=x ,于是xi*xj= (x*x) *x=x* (x*x)(结合律)=xj* xi从而由怕给性质，有 xi=xj,即x*x=x。因此，由x的任意性，

15、可知 X中每个元素都是哥等元。10 .设X, © , ®是代素系统，和®分别是X上的两上二元运算。若 VxX, 有xSy=x。证明。关于份是可分配的。证对于任何x, y, zCXx 3 (y©z) =x®y=(x®y) ®=(y®z) ®x=yx= (y®x) (z®x)因此代数系统X, ®, ®中关于日是可分配的。11 .设X, ©, ®是代数系统，9和®分别是X上的两上二元运算。e1和e2分别是关于®和的幺元，且母对于满足

16、分配律，。对于田满足分配律。证明：Vx X, 有 x®x=x, x®x=x证(a)先证ei®ei=eiei ®ei=ei© (ei®ei)=(e2ei)巳(e1®ei)=(e2©ei) e=(e2®ei)=ei(b)次证 e统2 = e2&e2=e2® (e2©e2)=(ei©e2)® e2©02)=(e®e2)©e2=ei 二 e2=e2(c)最后，我们来证 x©x=x , x®x=xx©x= (

17、x®&)份(x®e2)=x ® (e2©e2)=x = e2=xxx= (x(Bei) ® (xSeJ=x© (ei®e1)=xzei=x证法二：x=x 二 e2=x ® (e20ei)=x3 e2© (ei ® e2)=x® (e2©ei) ® (e2©e2)=x® ( e2® (e2©e2)=x® (e2©e2)=(x®e2)(x®e2)=x 二 xx=x ©ei

18、(ei为的幺兀)=x © (ei®e2)（ei是幺元）（e2是®幺元）（国对的分配）（ei是幺元）（e2是幺兀）（e2是幺元）（ei是份幺元）（0对0的分配）（e2是®幺元）（ei是份幺元）（%是®幺元）（。对的分配）（利用（b）（e2是®幺元）（ei是份幺元）（对。的分配）（利用（a）（ei是0幺元）（e2为的幺元）（ei为幺®元）（e2为3幺元）（田对的分配律）（e1为幺元）（改为幺元）（0对5分配律）（e2为6幺元）（e2为®幺元）（e2为幺元）=x© ei® (ei$e2)=x©

19、; (ei®ei) © (e1®e2)=x(ei®ei) ©ei=x© (ei®ei)=(x©ei) © (x©ej=x ：x（国对的分配律）（e2为®幺元）（ei为®幺元）（对®分配律）（ei为学幺元）abcdaaaaabababcaaccdabcd算表如下:abcdaabcdbbbddccdcddddddc,问®,分别是X ,出，®的子代数系统取 Si=b , d, S2a , d, S3=b ,<Sl,份，®>, &l

20、t;S2,份，®>, <S3,出, 吗？为什么？解ba GhBbaa b因肥 3S 2®3®领数X，®, ®的子代数。因©,W在S3=b , d内封闭。©bcbbacac13.设 X, *是X上的二元运算。若Va, b, cC X,有 a*a = a且(a*b) * (c*d)12 .设X=a , b, c, d,和色分别是X上的两个二元运算，其运算表如下:=(a*c, b*d)证明:a* (b*c) = (a*b) * (a*c)证对任何a, b, cCX,a* (b*c) = (a*a) * (b*c)(哥等

21、性 a*a=a)=(a*b) * (a*c) = (a*b) * (c*d) = (a*c) * (b*d)利用)14 .设<X, *>是代数系统，*是*上的二元运算，R是X上的等价关系。若 Va, b, c, dC X 当(a, b) C R且(c, d) C R 时，有(a*c, b*d) C R,则称 R是 X 上关于*的同余关系，称 R产生的等价类是关于*的同余类。考察代数系统<1, +>, I是整数集合，十是整数加法。问以下的元关系是I上的关于十的同余关系吗？a) R= (x,y)|x, y C I 且(x<0 且 yv 0)或(x>0且y>

22、0)b) (x,y)|x,yCI 且(xv 0 且|xy| v10c) (x,y)|x,y CI 且(x=0 且 y=0)或(xw0 且yw0)d) (x,y)|x,y CI 且 x>y解a)这不是一个同余关系，因为(-1, -2) C R 且(1 , 1) C R,但(-1+1 , -2+1 ) = (0, -1)宓R。b)这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。实际上它是自反的和对称的，但不是传递的，例如取 x=-8, y=1 , z=8,由于|-8-1 | =9<0, | 1-8 | = 7V10,故有(-8, 1) C R 且(1, 8) C R。但 | -8-8 |

23、=6>10,所以-8, 8更 Rc)这不是一个同余关系，因为(-1, -2) C R且(1, 1) C R,但(-1 + 1 , -2+1) =(0, -1)正Rd)这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。实际上它是自反的和传递 的，但不是对称的，例如取 x=8, y=7,于是有8> 7,从而(8, 7) C R,但 7W 8,故(7, 8)星R。15 .设 S=a, b, X=<25, n, U, >, Y=0,1, A, V,->。证明：丫是X的同态象。证如下构造的函数 h是一个从X到Y的同态：h： 2S-0, 1h (?) =0h (a) =0, h (

24、b ) =1, h (S) =1 容易验证：h (APB) =h (A) A h (B)h (AU B) = h (A) V h (B) (A, B? S)h (A，)= h(A)并且h显然是满射的，因此 Y是X同态象。16 .设R是实数集合，十和 X是实数的加法和乘法。 X= <R, +，Y= <R, x>,问Y 是否是X的同态象。答Y不是X的同态象。否则将存在着从X到Y的满同态函数h,从而对于0C R,由h是满射的，可知存在着roC R,使h (ro) =0,于是对任何rC R,由于r-ro=r+(-ro) C R,所以 h (r) =h (r°+(-o) =r

25、 z | r' RA ( Er C R) (h(r尸 r ' ) =0 WR17 .设N是自然数集合，x是自然数乘法，X=N, x，Y= <0, 1, x，证明：Y 是X的同态象。证如下构造的函数 h是一个从X到Y的同态h: N一0, 1于是 h (2m x 2n) =h ( 2 2mn) =0=0 x 0=h (2m) x h ( 2n)h (2mx ( 2n-1) =h (2 m (2n-1) =0=0 x 1=h (2m) x h (2n-1)h (2m-1) x ( 2n-1) =h (2 (mn-m-n+1 ) -1)=1=1 x 1=h (2m-1) xh (

26、2n-1)所以h满足同态公式，另外 h显然是满射，因而 Y是X的同态象。18 .设 S=a, b, c, X= < ? , S, n, U, ', Y=a, b , S, n, U,'。 问X和Y是否同构，为么?答X和Y不同构。因为Y=a , b, S, n, U,'不是代数系统，补运算 关于a, b, S不封闭，这可见下表：而如果存在着X和Y的同构，则从X是代数系统，知Y也应该是代数系统, 矛盾。19 .设X, *>和Y,学是两个代数系统，*和田分别是X和Y上的二元运算,且满足交换律，结合律。f1和f2都是从X, *至ij Y,出的同态函数。令 h: X

27、f Yh ( x) =f1 (x) f2 (x)证明：h是从X, *至1 Y,5的同态函数。证对于任何 a, bC X , h (a*b) =f(a*b)到2 (a*b) (h 的定义)=(f1(a)卿1 (b) © (f2 (a)到2 (b)(f1和f2是同态函数)=(f1(a)卿1 (b) © (f2 (a)到2 (b)(出的结合律)=(a) ©f2 (a) ® (f(b)到2 (b)(的结合律)=(a)卿2 (a) ® (f(b)到2 (b)(出的结合律)=h (a) h (b)(h 的定义)20 .设X, fi，丫，f2，Z, f3 是

28、三个代数系统。fl, f2, f3 分别是 X, Y, Z 上 的二元运算。证明：若 hi是从X, fi至ij Y, f2的同态函数，h2是从Y , f2至|JZ, f3的同态函数，则 h20hi是从X, fi至|J Z, f3的同态函数。证对于任何x, yCX,(h2 o hi) (xfiy) = h2 (hi (xfy)=h2 (hi (x) f2hi (y) (hi是X,力至ij Y, f2 的同态)=h2 (hi (x) f3h2 (hi (y) (h2是X, f2到Y, f3 的同态)二(h2。hi) (x) f3 (h2 hi) (y)所以h2 0 hi是从X, fi到Z, f3的

29、同态函数。21 .设S, *是有限含幺半群。证明：在*的运算表中，任何两行或任何两列均不相同。证因为S, *是有限含幺半群，故可设s=so=e, Si,，sn-i则在*的运算表中，对庆于任何 si, SjCs (SjWSj, 0Wi, jWn-i)的两行为：S*So, Si* Si,，Si*Sn-i；S*S0, Sj*Si,，§*Sn-i为证此两行互不相同，只需证明(？ k) (OWkWn-1Asi * sk sj * sk)即可。而这样的k是存在的，只需取 k=O即得：s*so=si*e=s w s =sj*e=s* so从而，由S, sjCs的任意性，可知，在*运算表中，任何两行

30、均互不相同。关于列的结论，同理可证。22 .设k是一正数，Nk=0 , i, 2,，k-i , *卜是Nk上的一个二元运算。Va, bCNk, a*kb= (axb) modk。a)当k=6时，写出*6的运算表；b)证明：对任意的正整数 k, Nk, *k是半群。* 一 60i23450000000i0i2345202402430303034042042a)解5 | 054321b)证1) *k是Nk上的二元运算由于0w (axb) modkvk,故a*kbNk,即*k关于Nk封闭，并且运算结果唯一 (因 为若有 i= (axb) modk, j= (axb) modk,贝 U 0 k k,

31、0wjvk, ax b=kr1+i ? axb=k2+j,于是有kri+I=kr2+j不妨设ji从而k (门2)=j-i ,故此k|j-i,但是0 wj-ivk (因为 ji)故只能 j-i=0 ,因此 j=i =。2) *k满足结合律因为对于任何 a, b, cC Nk(a *k b) *k c= (axb) modk *k c= (axb) modk x cmodk=(ax bx c) modk=a x (b x c) modk modk=a*k (bx c) modk=a* k (b* k c)综合1), 2)可得Nk, *k是半群23 .设S, *是半群，aC s。在s上定义二元运算

32、如下Vx, y C s, x©y=x * a * y证明：S, ©是半群。证(a)电是s上的二元运算由于S, *是半群，故*是s上的二元运算，因此*运算具有封闭性和运算结果唯一性。因此由母的定义可知具有封闭性和运算结果唯一性。(b) £满足结合律对于任何x, y, zC s(x©y) ©z = (x * a * y) ©z=(y) * a* z=x * a * (y * a * z) (*运算的结合律)=x * a * (y © z)=x© (y ® z)综合(a), (b)可知S, ©是半群。

33、24 .设S, *是半群。证明：s中至少有一个哥等元。证因为S, *是半群，所以*运算具有封闭性，因而可知对于任何元素yCs,都有y2=y*yCs, y3=y2*yCs,。又由S, *是有限的，可知 s是有限集，所以 存在着ji,使得yj=yi,从而令 P=j-i,那么就有 yLyLyP+Zyyi,因此可得yi+1=yp*yi+1,，也就是对任何g>i,都有yg=yp*yg。所以，从pl总可找到k>1,使kp>i。故此，令x=ykPCs,则x就是s中的一个哥等元，推证如下：x * x=ykP * ykp=(yP+* y(k-1) p) *ykp (利用上述性质)=y (k-1

34、) p * ykp =yp* ykp kp=y =x25 .设R是实数集合。在 R上定义二元运算*如下Vx, y R, x*y=x+y+xy 证明：R, *>是含幺半群。证(1) *运算是实数集 R上的二元运算。因为普通实数加法+和乘法x都是封闭的和运算结果唯一的，因此由它们定 义的*运算也是封闭的、运算结果唯一。(2) *运算满足结合律。对于任何x, y, zC R,因为(x*y) *z=(x*y)+z+(x *y)z= (x+y+xy ) +z+ (x+y+xy ) z =x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x*y) *z=x+ (y*z) +x (y*z) =x+ (y+z+yz

35、) +x (y+z+yz) =x+y+z+xy+xz+yz+xyz所以(x*y) *z=x (y*z)(3) o C R为幺元对于任何xC R因为o*x=o+x+o - x=x x* o=x+o+x - o=x 故止匕o*x=x*o=x综合(1) (2) (3)证得R, *是含幺半群。26 .设S, *是可交换半群。证明： Vx, yC S,若x, y是哥等元，则有(x*y) * (x*y) =x*y o证(x*y) * (x*y) =x* (y*x) *y(*可结合)=x* (x*y) *y(*可交换)=(x*x) * (y*y)(*可结合)=x*y(x, y为哥等元)27 .设S, * &

36、gt; 是半群。，yCs,若 xwy,则 x*ywy*x。证明：a) Vx s,有 x* x=xb) Vx, y s,有 x*y*x=x;c) Vx, zC s,有 x*y*z=x*z;证对任何x, yCs若x*y=y*x,则x=y (否则xwy,于是x*ywy*x,矛盾)。a) 对任何x s,因为(x*x) *x=x* (x*x)(*可结合)所以x*x=xb)对任何 x, y C s, (x*y*x) *x=x*y* (x*x)(*可结合)=x*y*x(由 a)=(x*x) *y*x(由 a)=x* (x*y*x)(*可结合)所以x* y* x=xc)对任何 x, y, zCs,有(x*y*

37、z) * (x*z)=x*y* (z*x*z) (*可结合)=x*y*z(由 b)=(x*z*x) *y*z (由 b)=(x*z) * (x*y*z) (*可结合)所以x*y* z=x*z28 .设S, * > 是半群。证明：Vx, y, zCs,若 x*z=z*x 且y*z=z*y,则(x*y) *z=z* (x*y)。证对任何 x, y, xCs (x*y) *z=x* (y*z)(*可结合)=x* (z*y)(y与z可交换)=(x*z) *y(*可结合)=(z*x) *y(x与z可交换)=z* (x*y)(*可结合)29 .设x , y , * > 是半群，x*x=y。证明

38、：a) x*y=y*x;b) y*y=y。证a)x*y = x* (x*x)(因 x*x=y)=(x*x) *x(*可结合)=y*x（因 x*x=y）b） y*y= （x*x） *y（因 x*x=y）=x* （x*y）（*可结合）根据*运算的封闭性，可知 x* y=x或者x* y=y若 x*y=x ,贝Uy* y=x*（x*y）=x*x（由 x*y=x）=y（由 x*x=y）若 x*y=y,贝U y*y=x* （x*y）=x*y （由 x*y=y）=y （由 x*y=y）因此 无论如何，y*y=y 。30 .S, *> 是半群。若有 aCs, VxCs, ? u, Q C S,使得a*

39、u=v* a=x证明：S, *>是含幺半群。证只需证明半群S, *中含有幺元即可。取 x= a,那么，存在 ua, vaC s,使 a*ua=va*a=a对于s中任一元素b,那么存在u b, vbCs,使得a* ub=v b* a=b于是 bua= （vb*a）*Ua（因 Vb*a=b）=Vb （a*Ua）（*可结合）=vb*a（因 aua=a）=b（因 ub*a=b）所以Ua是右幺元。并且Vab=va* （a*Ub）（因 a*Ub=b）=（va*a） *Ub （* 可结合）=a*ub（因 Ua*a=a）=b（因 a*ub=b）所以Va是左幺元。但是将b*Ua=b中的b取为Ua,则有Va

40、* Ua =Va ；将Ua*b=b中的b取为Ua,则有Va*Ua=Ua；故此，可得Ua=Va。所Ua （=Va）是S, *的幺元。从而，S, *是含幺半群。31 .设S, *是含幺半群。Zs, z是关于*的左零元。证明：Vxs, x*z也是关于*的左零兀。证由于z是关于*的左零元，所以对于任意aCs,者B有z * a=z因而 对任何xCs,对任何aC s,都有(x*z) *a=x* (z*a) (*可结合)=x*z (z 为左零元，z*a=z)这说明x*z也为左零元。32 .设S, *是含幺半群。Ss=f | f :s-s,)。是函数的合成运算。a)证明：S 0, *是半群；b)证明：存在从S

41、, *到Ss,。的同态函数。证a)由于。是函数的合成运算， 而Ss=f | f:s-s是所有从s至1Js的函数的集合，因 此。运算封闭且运算结果唯一；并且。运算当然具有结合律，故此S s,。是一半群。b)令h : s一ss,对于所有的aC sh (a) =fa；这时fa : s-s,对于任何 xCs有 fa (a) =a*x由于S, *是半群，故*是$上的二元运算。因此*运算封闭，且运算结果 唯一，因此如上定义的 fa后者唯一，是从s至IJ s的函数，即fass。因此h的定义 是良定义的。对于任何 a, b s h (a*b) =fa*b而对于任何xCs, (x) fa*b (x)=(a*b)

42、 *x=a* (b*x)(*的结合律)=a* (fb (x)=fa ( fb ( x)=(fa 0 fb) ( x )所以，有fa*b=fa0fb,因此，h (a*b)=faofb=h(a) 0 h(b)。故此 h 满足同态公式。因而存在从到Ss, 0的同态函数。33 .设f是从半群X, *至1 Y,出的同态函数，证明：若x是X中的哥等元，则Y中也存在哥等元。证由于f (x)巳f (x) =f (x*x)(f是同态函数，满足同态公式)=f (x)(因x是哥等元，故 x*x=x)且f (x) e Y,故此f (x)是Y中的哥等元。即 Y中也存在哥等元。34 .设f是从半群X, *至ijY,的同态

43、函数，问下列结论是否为真。a) X, *在f下的同态象是Y,的子代数系统；b) X, *在f下的同态象是半群；c)若X, *是含幺交换半群，则X, *在f下的同态象也是含幺可交换半 群。解a)真。因为1) f (X) ? Y。这点是根据事实f : X-Y得出的。2)集合f (X) 在运算日下是封闭的，即，如果 a, b”(X),那么abCf (X)。因为若a, b C f f (X),那么存在着 x, y C X,使得f (x) =2且f (y) =b。进一步，由 X 在*运算下封闭(因X, *为半群)可知存在着某一 zCX,使z=x*y因此a©b=f (x) ©f (y)

44、=f (x*y) (f是同态函数，满足同态公式)=f (z) e f (x)运算结果的唯一性是自动遗传，因为 Y,3至少是一代数系统，故 © 应是Y上的二元运算，具有运算结果唯一性。故由1)和2),可知X, *在f下的同态象f (X),宿是Y, ©的子代 数系统。b)真。因为3)运算巳在集合f 那么(a©b) ©c=a© (b©c) ° 使 f (x) =a 且 f (y) =b 及 f aa©b) ©c= (f (x) ©f (y)(X)上满足结合律，即，如果 a、b、cCf (X), 因若a

45、, b, cC f (X),那么存在着x, y, zC X,(z) =c,故此=f=f=f=f=ff (z)(x*y) ©f (z)(x*y) *z)(x* (y*z)(x) ©f (y*z)(x)旨(f (y) 0f (z)(f满足同态公式)(f满足同态公式)(X, *为半群，*运算有结合律)(f满足同态公式)(f满足同态公式)=a® (b®c)于是由a)的1), 2)及这里的3),可知X, *在f下的同态象f (X),母是半群。c)真。因为4)f (X), ©含有幺元，即 若eCX是含幺半群X, *的幺 元，那么f (e) C f (X)就

46、是f (X), ©的幺元。因为对任何 aCf (X), 存在着xCX,使f (x) =a,故此a©f (e) =f (x) ©f (e)=f (x*e)(f满足同态公式)=f (x)(x*e=x)=a同理可证f (e) ©a=a,因而a©f (e) =f (e) ©a=a° 5)运算在f (X)上满足 交换律，即，对任何 a, b" (X),都有a©b=b©ao因若a, bCf (X)则存在 着 x, yCX,使 f (x) =a且 f(y) =b,因此a©b=f (x) ©

47、f (y)=f (x*y) (f满足同态公式)=f (y*x) (X, *是含幺可交换半群，故 *有交换律)=f (y) f (x) (f满足同态公式)=bfa综合a)的1) 2), b)的3),和这里的4)和5),可知，若X, *是含幺可 交换半群，则X, *在f下的同态象f (X), ©也是含幺可交换半群。35 .设N6=0 , 1, 2, 3, 4, 5 , N6上的+6运算定义如下Va, bCN6, a+6b= (a+b) mod61 , 5。因而除两个平凡从运算表看出求了半群N6, +6的运算表如下：+ 60123450012345112345022345013345012

48、44501235501234N6, +6是一循环半群，生成元是子半群0 , +6及N6, +6外，任何包含1或5的子集都不能构成真子半 群。所以考虑0, 2, 3, 4的子集，由于2+63=5, 3+64=1,故此任何包含2或4 的子集中不能包含 3。另外2+ 62=4 , 3+ 63=0 , 4+ 64=2,故此单元素集上运算 +6不 封闭。因而N6, +6的真子半群只有二个0, 3, +6及0, 2, 4, +6， 它们的运算表如下：是4 ,2,X6明：含幺半群的子半群含幺半群，但不是子含N6 , +6是一为i。运算表如下:+ 60240p2422404402个含N6,元为4+ 6可以是-

49、 幺半群。 幺半群,并且是含幺半群, 但是它不是为N6, +6的幺元| ?37.设S, *是含幺 半群，幺元为eSi=x| x e s1且？ y证明：S1，* 是证i）集合Si在运算X60i23450000000i0i2345202402430303034042042505432i其幺4, 2。Si,N6,*的子含幺半群。*下是封闭的，即，若 xi, x26 Si,的子半群,运算为+6的子含幺半群，因幺元不42专(y*x) =ex1*x2e S1O 因若 x1, x2C Si 则 x，x2 S,存在着 yi, y2使 y1*xi=e, y2*x2=e。于是有 xi*x2 S (S 在*运算下封

50、闭，因S,z* （xi*x2）*是半群），并且存在着z=y2*yi,使=（y2*y）（x1*x2）=y2* （yi*xi） *x2（的结合律）=y2* （e*x2）=y2*x2 （e 是幺兀， e*x2=x2）=e故此 x1*x2 e s。2) *运算在3)Si, *>Si上满足结合律，这点由 含有S, *的幺元e。*运算在S上的结合律遗传而来。因为eCS,且存在着 e使e*e=e,所以eCSi。综合上述D, 2), 3),证得Si,*是S, *的子含幺半群。38 .写出所有不同构的一阶，二阶，三阶，四阶，五阶，六阶，七阶，八阶群。解由于素数阶群是循环群，故此一阶，二阶，三阶，五阶，七阶

51、群各只有一个，其 运算表分别如下：*eee一 阶三阶群*eaeeaaae群*eabeeabaabebbea阶群五阶群七阶群*eabcd四*eabcdfgeeabcd阶 eeabcdfgaabcde群 aabcdfgebbcdea已 bbcdfgeaccdeab知 ccdfgeabddeabc有 ddfgeabc两个，一个是循环群，一个是Kiein4群，ffgeabcd其运算表如下:ggeabcdf四阶循环群Klein四群*eabc而*eabc六阶和八阶的eeabc情况比eeabc较复杂。我们aabce先来讨aaecb论六阶群的情bbcea况bbceaccdeaccbae(一(1)六阶群G, *

52、一定有三阶子群。对于| G |=6,6的正因子只有1,2, 3和6。若G=<a>是6阶循环群，则H=<a2> 是一个三阶子群；若 G不是循环群，则 G中非幺元的阶只能是 2或3。若G中 有一个非幺元b的阶是三，则H=<b>是G的一个三阶子群。若 G中非幺元的阶 都是二，则对任何 a, bCG,并且a和b是不同的非幺元，就有a2=e , b2=e ,() 2=e从而a-1=a , b-1=b,(a*b) -1=a*b又因为(a*b) -1=b-1*a-1=b*a,所以a*b=b*a,所以G是交换群。现在来考察G的子集H=e , a, b, a*b,这里a, b是G中的两个不同的非幺元。显然a*bwe,wa, wb,(如a*bwe,否则，有a-1=b,又a-1=a,从而a=b与a与b不同矛盾。 余者同理可证)*关于H的运算表如下：*eaba* b(运算表利用G的可交换性来编制)eeaba* b所以H在*运算下封闭，<H, *>实际上与aaba*bbKlein四群同构。于是 H是G的一个四阶子群，bba* be根据Lagrange定理，必有4