反常积分的敛散性判定方法

1、内蒙古财经大学本科学年论文创作：欧阳总时间：2021.02. 13反常积分敛散性的判定方法作者陈志强学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012级学号 122094102指导教师魏运导师职称教授最 终 成75摘要1关键词1引言2一、预备知识21. 无穷限反常积分22. 瑕积分33. 反常积分的性质3二、反常积分的收敛判别法41无穷积分的收敛判别4(1) .定义判别法4(2) .比较判别法4(3) .柯西判别法5(4) 阿贝尔判别法6(5) .狄利克雷判别法72瑕积分的收敛判别8(1).定义判别法8.定理判别法9(3) .比较判别法9(4) .柯西判别法9(5) .阿贝尔判别法10(6) .

2、狄利克雷判别法1011摘要在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，III此得到 了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统 称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判 定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给岀 了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价 定理判断反常积分的敛散性。关键词：反常积分瑕积分极限敛散性引言近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取 得了许多重要的进展。如华东师范大学数学系编，数学分析（上册）,对反常 积分积分的定义，性质的

3、运用及讲义其判别收敛性的方法。华中科技大学出版 的数学分析理论方法与技巧，也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解，还用 图形的方法说明其意义。引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明 其应用。众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很 明显，这对我现所研究的论文题U提供了大量的理论依据和参考文献，对我完 成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本 文将对其进行归纳总结，举例说明其应用。一 预备知识1 无穷限反常积分 定义1.1设函数/（X）在a , +oo）有定义，若/（X）在a , A上可积lim fx）dx(A>a)且当 A+ 8时

4、,人ToeJd '存在，称反常积分敛，否则称反常积分匸心与匸发散。对反常积分L f与£ gx可类似的给出敛散性定义。注意：只有当L'（w和匸jxix都收敛时，才认为L $ cw是收敛的。2瑕积分定义1：设f（x）在&的任何邻域内均无界，则称a为f（x）的一个瑕点方一 <5定义2：设f(x)在Q，b内有定义，且b为唯一瑕点，若jZ*存在，称瑕积分1/(*炖收敛定义3：设占(恥)且为f(x)的一个瑕点，若均收敛，则称瑕积分"(g3.反常积分的性质qA"o >a,当f°° f(x)dx(1) Cauchy收敛原理：

5、收敛 O 对>0 ,Ai,2A。时，有J”d龙0C线性性质：若I /(g与Z都收敛，则对任意常数+ k2g(x)bc0000：心/0) + 込&00抄厶 +k2 g(x)dxf f(x)dx积分区间可加性，若 J"收敛，则/(x)Jx _£ /(xKr + £ fZ天f |/(x)k/x£ f x)dx f |/(%)kr若LI "收敛，则WJJo二、反常积分的敛散性判别法1.无穷积分的她畛J别定妙J别法设函数/定义在无穷区间烷)上，且在任何有限区间山川上可积.如果存在极限hmj：f(x)dx = J则称收敛，否则发散，即相应定积

6、分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不存在广义积分发散例1.1计算无穷积分厅xepxdx (P是常数，且P > °) 解：xe-pxdx = -e-px+ 丄厅尹仏=imxepx = lim = lim! = 0 式中 XXXT” e!)X AX pe"比较判别法的普通形式：/(x),g(x)在有定义，且0<f(x)<g(x)(x>a)(a)00/(吟乜(b)000Cf“nJ gZxJ a二 + OO J a例1. 2讨论1a sinx f壬dx°1+x 的收敛性sinx解：由于|1 +兀x e0,+oo)X为绝(3).比校判别法的极限形

7、式：/(X),gO)在有定义，且非负,dx _7tr°° sin x因为Jo 1 + %22为收敛，所以根据比较判别法1 +兀2 对收敛。且则:OC冷）当/ = 0时，(b)/=+oo时，匸g炖二乜=> rf g=+oo(c) °/<+°°时,严gZxJ af（x）dx具有相同点敛散性。lim - = / v +s证：（1）若'T+°°X（X）,由极限的性质，存在常数A （A>a）使得当无>4时成立fMgO)</ + 1即y（x）<（/+i）g（x）于是由比较判别法，当（gs收敛时

8、r fx）dx儿也收敛lim= />0（2）若，由极限的性质，存在常数A（Ad）,使得当兀时成立g（x）其中o</ v/（x）>/g（x）于是山比较判别法，f g(xWxJ a发散时TZx也发散r例1. 3讨论/c】x+ 3x3 + 5X1 + 2x 1解：limx»ooy/x4 + 3/ + 5x2 +2x 1=1的敛散性f敛，所以11(Jxsjx4 + 3x3 + 5x2 + 2x 1收敛总结：使用比较判别法，需要一个敛散性判别结论明确，同时乂形成简单的 函数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取X*为比较对象的，因为它们 正好能满足这俩个条件（4）.柯西判别法

9、：设/O）在"D有定义，在任何有限区间心上可积，且哩已/（打"则有:、打 /? > 1,0 < A < 4-oo时,当p-1,时,门/（咖发散（5） 阿贝尔判别法:OO“满足:（a） /（X）单调有界(b)h收敛则收敛证：由于存在M>0,使 f - M（X'Q）再由（2）可知，对目£0, mA。> d ,当 A2>A>Ao 时,有 又<£J； /(x)g(x)厶g(x)厶 + /(占2)卩£ + £ ） =2M £再次由柯西准则知Abel定理成立。例1. 4证°

10、;° sin x,arctan xdx1"(o< 2兰丄)收敛厂 sin x J*利用阿贝尔判别法，因为h “ 收敛，又arctan x在X，+s)上单调有界，故8 sin xJiarctan xdx是收敛的.Dirichlet判别法：1 fgggdx满足(1) f(x)单调且趋于0 (x0)r a(2) 儿有界(a>A)£ f(x)g(x)dx收敛。证：山于存在M>0,几g有界，所Jem<M乂由于f(X ) 0 ( X T s )故对对 W0,弘0 > d ,当 A2>A1 > Ao 时，有 i/(a)-/(a)i<

11、; £ 即 im)i< s, |/(a)i< £，所以 f：、f gdx vg(x)厶一I%< 2M 同 理 有If?<2M人 A > A1七,故当时，有IK2f(x)g(x)d < |/(2)|£:&0)心+|.广(41)|卩例1.5证积分山 兀 收敛，但不绝对收敛/sin xdx = cos A cos 1 < 2证:,而兀单调且当xfg时趋于r* sinx fIdx故由 Dirichlet 判别法知*收敛；但sin xsinx二沁l(sinxG)cos 2x2x2xI p A1 *H cos 2xdx = s

12、in 2A sin 1 < 12x单调趋于o ,故g cos 2x2xdxocI sin xdx收敛，而发散，故发散例1.6积分J'皿的敛散性当p"时是可积的；当°v°时，它是不可积的，因为这时被积1/( p+l)2；：p>-lcc.?i:p<4函数在01上无界。但作为反常积分，当°1时收敛；当心一1时发散；因为当时有而当p = 1时有凹xldx = lim(ln 1 ln<5) = +ooO例1.7积分J。xpdx作为反常积分，当QV丄时它收敛；当P>-1这是因为当“北一 1 时有p+ili町5皿750 J 5-1

13、/(卩+1),若卩<-1 co 驚 p>TGOlim f xxdx = lim(ln<5 In 1)=而当p二T时有o2.瑕积分的收敛判别(1)定妙J别法设函数/定义在无穷区间上上 在点&的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间 有限区间“上u (a,b上有界且可积.如果存在极限则称反常积分严收敛.，否则发散-r=dx例2.1计算瑕积分 小-X- 的值f（x）= . X解：被积函数vl -X2在°，1）上连续，从而在任何0,u0,l）上可积，兀=°为其瑕点.依定义求得几一= lim k y A dx = lim(l- Jl /)= 1 别法理rh（瑕点

14、为a）收敛的充要条件是：任给£>°存在>0,只要叱2 e（a，a+ 5）总有/（兀列二J：f (x)dx二0£设f（x）定义于, &为其瑕点,且在任何%上U（“）上可积，如果卿（门心"当p>l,0 6v+oo时，|/3杯收敛当 P < 1, 0 v 2 V+oo 时，发散（4）.柯西判别法厅（切卜/ "设x=a是f（x）的瑕点，如果（那么Q“ f（xlx （C>O）,/7>1绝对收敛；如果（入一。）那么fxyjx儿发散例2. 2讨论解：x二0是其唯一奇点。当°<P<1时取7

15、74;)limxp |ln x0,由柯西判别法知,当P>1limw “卩n x=+oO由柯西判别法知，(7 dxJo发散P 1 时，可以直接用Newton-leibniz公式得到r dxxp In xlim lnllnx-»o+1f7 dx因此，当°1时，反常积分收当敛；当p-1时，反常积分T dxJ。Minx发散(5).阿贝尔判别法r f(xjx设f(x)在x=a有奇点，J"收敛，g(x)单调有界，那么积f /(x)g(x)xJet收敛师克雷判别法 设f (x)在x=a有奇点,是的有界函数,g(x)单调且当xa时趋于零，那么积分1i sin tZx(0 < r < 2)例2. 3讨论积分J° *的收敛情形当°VY1时,|j* g sin 丄(仕 < cos 1 cosS2 JJcsin %<一,积分绝对收敛，又x2r r sin ° X2 X当2-r> °即r<2时，由狄利克雷判别法，从x2-r单调趋向于