双曲线知识点归纳总结

1、第二章双曲线双曲线标xa尺准方程（焦点在x轴）标准方程（焦点在y轴）2 2 y1(a0,b0)2 y2 a2 Xi(a 0,b0)第一定义：平面内与两个定点Fi，F；2的距离的差的绝对值是常数（小于|FiF2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。M MFj MF? 2a 2a |F1F2Pyy匚广X广FiF2Px定义、Fi第二定义：平面内与一个定点 F和一条定直线1的距离的比是常数e,当e 1时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（e 1）叫做双曲线的离心率。P rxPy厂F2FiF2p.x、Fi范围xa， yR|y|a

2、， xR对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点O（o,o）隹占坐八 、八、一1-Fi( c,0)F2(c,0)Fi(0,c)F2© c)标焦点在实轴上，c Ja2 b2 ;焦距：|FiF22c顶点坐 标(a,0)(a,0)(0,a，)(0，a)离心率e l(e 1)准线方 程2aXc2 a y c2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2ac顶点到 准线的 距离2 顶点A ( A )到准线11 ( I2 )的距离为a二c2 顶点A ( A )到准线12 ( h)的距离为a_ ac焦占至U 八、八、亠J准线的 距离2 焦点F1 ( F2)到准线11 ( 12

3、)的距离为c二c2 焦点F1 ( F2 )到准线12 ( 11 )的距离为匕cc渐近线方程by -x aay bx共渐近 线的双 曲线系 方程2 2笃与k (k 0)ab2 2y2x2k ( k 0 )ab1.双曲线的定义 当|MF |MF|=2a时，则表示点M在双曲线右支上; 当MF2 MFi 2a时，则表示点M在双曲线左支上；注意定义中的“(小于|RF2 )”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若2a=2c时，即MFi| |MF2 |FiF2，当MFi |MF2| |市2，动点轨迹是以F2为端点向 右延伸的一条射线；当MF2 MF1 F F2时，动点轨迹是以F1为端点向

4、左延伸的一 条射线；若2a> 2c时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程判别方法是： 如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上； 如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b， 断焦点在哪一条坐标轴上.3.双曲线的内外部2(1) 点P(xo, yo)在双曲线 令ax2(2) 点P(xo, yo)在双曲线一2a因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判2吿 1(a 0,b 0)的内部b22恙 1(a 0,b 0)的外部b22Xg2 a2Xg2 a2匹1J2血1 b24.形如Ax2 By21(AB 0)的方程可化为2XTA当丄A当丄A0丄 0，双曲线的焦点在y轴上;B0

5、,10，双曲线的焦点在x轴上;B5. 求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置; 系数法求解6.离心率与渐近线之间的关系设出标准方程后，运用待定a2 b22 1a1) ee2 17.双曲线的方程与渐近线方程的关系2 y bb xa2(1 )若双曲线方程为笃a(2)若渐近线方程为渐近线方程:2 y b2双曲线可设为2 X 2 a2 y b22若双曲线与务a轴上， 0，焦点在y轴上).2与双曲线手a2与双曲线务a当a b时1有公共渐近线,可设为2y0，焦点在x2告1共渐近线的双曲线系方程是b22当1共焦点的双曲线系方程是b2离心率e2X2a2X2 a2 y_ b20)线为等轴双曲线

6、，可设为x22_ _y _k b2 k.2 两渐近线互相垂直，分别为y= x，此时双曲2y ；8.双曲线的切线方程2 2(1)双曲线2 1(a 0,b 0)上一点P(x°,y0)处的切线方程是2 1. a ba b2 2(2)过双曲线占1(a 0,b 0)外一点P(x0,y°)所引两条切线的切点弦方程 a b是 XX VcY 17是 221a b2 2(3)双曲线再1(a 0,b 0)与直线a bA2a2B2b2c2.9.直线与双曲线的位置关系AxByC 0相切的条件是直线丨：y kxm(m20) 双曲线C：笃a2 y b2(a >0, b >0)y2xakx

7、m2y(b2k2)x22a2mkxa2b2021)当ba2k2直线l与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点;2)当 b2-2 2a k 半 0，0时,0时,0时,即kr rA2 、2 2 2. 2、，2. 2、，2 2 2. 2、时， =(-2a mk) -4(b -a k )(-a k )(-a m-a b )ba直线丨与双曲线相交，有两个公共点直线丨与双曲线相切，有且仅有一个公共点直线丨与双曲线相离，无公共点3)直线与双曲线只有一个公共点，则直线与双曲线必相切吗为什么(不一定)10.关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法直线丨：y kx m(m20) 双曲线c：务a(a &

8、gt;0, b >0)联立方程法:y kx m2 2x_ y_ 1a b(b2a2k2)x2 2a2mkxa2b20设交点坐标为A(x1，yj, B(x2, y2)，则有 0 ,以及冷X2,X1X2，还可进一步求出y-i y2 kx1 m kx2 mk(x.| x2) 2my1 y2 (kx1 m)(kx2 m)2 2 k x1x2 km(x1 x2) m在涉及弦长，中点，对称, a.相交弦AB的弦长面积等问题时，常用此法，比如AB21 k2X-|x21 k21 (x x2)2:2-和4x1x21 ky2)2 4y°22 2X2y2iT 21a by2)(yi y2)"b2a.在涉及斜率问题时,b2(Xi X2) a2(yi y2)ABb.中点M(xo，y。)，X。仝圣,纸七七ayi y2b2(xi X2)Xi X2a2(yi y2)2 2点差法：设交点坐标为A(xi，yi) , B(X2,y2)，代入双曲线方程，得2 2xiyi12 21a