步步高江苏专用(理)高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七第3讲坐标系与参数方程

1、第3讲坐标系与参数方程【高考考情解读】 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、 直线和圆的极坐标方程； 参 数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用. 以极坐标、参数方 程与普通方程的互化为主要考查形式， 同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识. 高考 中以解答题形式出现，中档难度，分值为 10分.瞄准高考主干知识梳理1 .直线的极坐标方程若直线过点M(po,60),且极轴到此直线的角为a,则它的方程为：psin(。一a)=posin(一 o) .几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0=忘(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：pcos 0= a;(3)

2、直线过M, 2卜平行于极轴：n。= b.2 .圆的极坐标方程若圆心为M(佃，盼，半径为r的圆方程为：任-2fopcos(。一 生)+(0=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)圆心位于极点，半径为 r： p= r;(2)圆心位于 M(r,0),半径为r： p= 2r cos 0;(3)圆心位于 M8, 2l半彳仝为r： p= 2rsin 0.3 .常见曲线的参数方程(1)圆x_2x=2pt ,（t为参数）.y= 2pt+y2=r2的参数方程为lx rcos0,(。为参数).ly= rsin 0（2）圆（xx0）2+（y y。）2ox=x0+rcosa=r2的参数方程为f|y= y0+ rsin

3、 0(。为参数).22(3)椭圆 " 1的参数方程为x= acos 0,（。为参数）.y= bsin 0(4)抛物线y2=2px的参数方程为（5）过定点p（xo, y。）的倾斜角为a的直线的参数方程为x= xo + tcos a,y= yo+ tsin a（t为参数）.4 .直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为（x, y）和（p, 0）,则x= pcos 0|y=由in 0p2= x2+ y2ytan 0= x(xw 0解析高考热点分类突破考点一极坐标与直角坐标的

4、互化【例1】在以O为极点的极坐标系中,. 兀一直线l与曲线C的极坐标万程分别是pcos（ 0+ 4）= 3%/2和2psin 0= 8cos 0,直线l与曲线C交于点A、B,求线段AB的长.psin (Sin-4斛 QOS(。+ 4)= pcos Qcos一,222 pcos 0 -2- psin 0直线l对应的直角坐标方程为x- y= 6.又 岱in2e= 8cos 9,2sin2 0= 8 pcos a曲线C对应的直角坐标方程是y2= 8x.解方程组x y=6 ly2= 8xx=2 得或ly= - 4x= 18ly= 12 '所以 A(2, 4), B(18,12),所以 AB =

5、4182 j+12 （ 4 J2 = 162.即线段AB的长为1672.' （1）在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围, 否则点的极坐标将不唯一.（2）在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.4镰L（2012陕西改编）求直线2pcos仁1与圆P= 2cos。相交的弦长.1解直线2 pcos 0= 1可化为2x= 1,即x= 2;圆p= 2cos。两边同乘 p得p = 2pcos 0,化为直角坐标方程是 x2 -x= 2tan 0,曲线C的参数方程为“（。为参数）.试求直线l和曲线C的普通方程，并求y= 2tan 0出它们的公共点的

6、坐标.一 .，x= t+ 1 ,一解因为直线l的参数万程为i（t为参数），由x= t+1得t=x1,代入y=2t,y=2t得到直线l的普通方程为2x- y2=0.同理得到曲线 C的普通方程为y2= 2x.y=2（x1 联立方程组已ly = 2x,解得公共点的坐标为（2,2）,。，一 1；x=4-2t,（2）已知直线l的参数方程为ly=t-2求点P到直线l的距离的最大值.x= 4 - 2t,解由于直线l的参数方程为（t为参数）,ly=t-2+ y2= 2x.将 x=2代入 x2+y2= 2x 得 y2=弓，: y= 2.故弦长为2X乎=巾.（2）（2012湖南）在极坐标系中，曲线 C1： p（V

7、2cos0+ sin = 1与曲线C2： P= a（a>0）的一 个交点在极轴上，求 a的值.解 Kcos 0+ sin 0）= 1,即娘pcos0+ psin 0= 1对应的普通方程为 2x+ y 1 = 0,p= a（a>0）对应的普通方程为 x2 + y2 = a2.在U2x+ y 1 = 0 中，令 y= 0,得 x=孚.将, 0 代入 x2+ y2= a2 得 a= -22.考点二参数方程与普通方程的互化x= t+ 1,【例2 （1）（2013江苏）在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）,（t为参数），P是椭圆x4+y2=1上的任意一点,y=2t故直线

8、l的普通方程为x+2y=0.2因为P为椭圆x- + y2 = 1上的任意一点， 4故可设 P（2cos 0, sin 0）,其中R.因此点P到直线l的距离是d = Ecos翼舞112+222耳in 时4）=5所以当0= k兀+ y, k C Z时，d取得最大值 45探究提高（1）参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等.在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形.（2）参数方程思想的应用，不仅有利于曲线方程的表达，也成为研究曲线性质的有力工具，如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用.变式训维2.（2013广东改编）已知曲线C的参数方程为点（

9、1,1）处的切线为1,以坐标原点为极点, 坐标方程.x= 1'J2 cost （t为参数）,C在、y= V2sintx轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 求1的极X= Accostc c解由（t为参数），得曲线 C的普通方程为x2+y2 = 2.则在点（1,1）处的切线1y= v2sint的方程为y1 = （x1）,即*+丫一2=0.又*= pcos 0, y = psin 0,故1的极坐标方程为pcos 0+ psin 0 2= 0.x= 2cost,（2）（2013课标全国n）已知动点P、Q都在曲线C: （t为参数）上，对应参数|y= 2sint分别为t=a与t=2”（0<“&l

10、t;2兀），M为PQ的中点.求M的轨迹的参数方程；将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断 M的轨迹是否过坐标原点.解依题意有 P（2cos a, 2sin % Q（2cos2 a, 2sin2 a）,因止匕 M （cos a+ cos2 a, sin a+ sin2 0.M的轨迹的参数方程为x= cos a+ cos2 a,（a 为参数,0< a<2 Ti）.Iy= sin a+ sin2 aM点到坐标原点的距离d =心2 + y2 =42 + 2cos0< a<2 兀）.当a= & d= 0,故M的轨迹过坐标原点.考点三极坐标与参数方程的综合应用X= 2

11、cos a,【例3在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为(a为参数).|y= 2+ 2sin aM是Ci上的动点，P点满足OP=2OM，点P的轨迹为曲线 C2.求C2的参数方程；兀，.一 一 I一一 I 一 、(2)在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线。=可与Ci的异于极点的父3点为A,与C2的异于极点的交点为 B,求AB.解设P(x, v),则由条件知M曲，2仙于M点在Ci上，xx= 4cos a,即5V= 4+ 4sin 52= 2cos a, 所以2= 2+ 2sin a,x= 4cos a, 从而C2的参数方程为(a为参数)y= 4+4sin a.(2)曲线Ci的极坐

12、标方程为 p= 4sin 0,曲线C2的极坐标方程为尸8sin 0.射线写C1的交点A的极径为p1=4sin，, 33射线。=打 C2的交点B的极径为 色= 8sin/ 33所以AB=|自一仍|=243.探究攫高曲线参数方程有很多优点：曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个.特别对于圆、椭圆、双曲线 有很大用处.很多参数都有实际意义，解决问题更方便.比如：x=xo+tCoSa直线参数方程 (,.(“为倾斜角，t为参数)，其中|t|=PM, P(x, y)为动点，y = yo+ tSin aM(xo, yo)为定点.(2)求两点间距离时，用极坐标也比较方便，这两点与原点共线时，距离为|

13、pi一回，这两点与原点不共线时， 用余弦定理求解.无论哪种情形，用数形结合的方法易得解题思路.女青训雄飞x = acos(f)尊亚"儿(i)(20i3湖北改编)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为5ly= bsin()(4为参数，a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点。为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为 n(。+6=¥2m(m为非零常数)与p= b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆 O相切，求椭圆C的离心率.解椭圆C的标准方程为x2+y?= 1,直线l的标准方程为x+ y=m,圆。的方程为x2 +

14、a by2= b2,Ci的若曲(2)在平面直角坐标系 xOy中，以原点。为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线x=tan1/一参数方程为(4为参数)，曲线C2的极坐标方程为Kcos时sin 0)=1,y=Z- tan ()线Ci与C2相交于A、B两点.求线段AB的长；求点M( 1,2)到A、B两点的距离之积.解由曲线Ci的参数方程可得曲线 Ci的普通方程为y=x2(xw0),方程为由曲线C2的极坐标方程可得曲线C2的直角坐标方程为 x+y1 = 0,则曲线C2的参数(t为参数)，将其代入曲线C1的普通方程得t2+V2t-2=0,设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则 t1 + t2=一小，t

15、t2=2,所以 AB = t1 一 t21=叱G +12 2 - 4t)t2 = "VT0.由可得MA MB = |t1t2|=2.规律总结; 31 .解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用. 在涉及圆、椭圆的有关最值问题时， 若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度.P2= x2+ y2，八yctan 0= x (xw 02 .极坐标方程与普通方程互化核心公式：x=(cos 0 -生)，倾斜角为a的直

16、线方程为psin( 0-o)= sin(0oa).特别地，过点|y=由in 03 .过点A(, 一，一兀一 A(a,0),垂直于极轴的直线l的极坐标方程为pcos0= a.平行于极轴且过点 A(b,引的直线l的极坐标方程为psin 0= b.4 .圆心在点 A(po, 00),半径为r的圆的方程为r2=任+ P0- 2 p ocos( 0-昉.X=xo+tcos。5 .重点掌握直线的参数方程(，.八(t为参数)，理解参数t的几何意义.|y= y0+ tSin 0押题精练1 .在极坐标系中，求过圆 尸6cos。的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程.解把p= 6cos。两边同乘以p,得p2= 6

17、 pcos 0,所以圆的普通方程为x2+ y2- 6x= 0,即(x3)2+y2=9,圆心为(3,0),故所求直线的极坐标方程为pcos 0= 3.2 .已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点。处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同.直线l的极坐标方程为P=，点 P(1 + cos a, sin a),参数代0,2力求点P轨迹的直角坐标方程；(2)求点P到直线l距离的最大值.x= 1 + cos a,解由Sly= sin a,得点P的轨迹方程(x1)2+y2=1.(2)由 p=得而in "；)尸,sin 0+ cos 0sin 0+ pcos0= 9.曲线C的直角坐标方程为x+

18、 y= 9.圆(x1)2+y2=1的圆心(1,0)到直线x + y=9的距离为472,所以(PQ)min=442 1.专题突破练（推荐时间：60分钟）x= 2s+ 1,1. （2013湖南改编）在平面直角坐标系 xOy中，若直线li：（s为参数）和直线12：ly=sx= at,（t为参数）平行，求常数a的值. ly=2tT“ ,x= 2s+ 1 , , , ,解由i消去参数s,彳# x= 2y+1.y= s,x=at, 一，由i消去参数t,得2x= ay+a.|y=2t12. （2012江苏）如图，在极坐标系中，已知圆C经过点Pf2, 4 i；,圆a= 4.心为直线psin 。一 3；=坐与极

19、轴的交点，求圆C的极坐标方程.解在psin 03尸-当中令所以圆C的圆心坐标为（1,0）.因为圆c经过点p2,4）所以圆C的半径PC= q2 + 12 2 x 1 x cos j= 1,于是圆C过极点，所以圆 C的极坐标方程为P= 2cos arx= 5cos 4,3.在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆i（）为参数）的右焦点，且与直线ly= 3sin 4x=4- 2t,（t为参数）平行的直线的普通方程.ly= 3 t解由题设知，椭圆的长半轴长a=5,短半轴长b=3,从而c= .a2 b2 = 4,所以右焦点为（4,0）.将已知直线的参数方程化为普通方程：x-2y+2=0.故所求直线的斜率为2,

20、因此其方程为y=2（x-4）,即 x-2y-4= 0.4. (2013重庆改编)在直角坐标系xOy中，以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐9='标系.右极坐标万程为pcose= 4的直线与曲线i 3 (t为参数)相交于A, B两点，卜一求AB的长.一、一、x=t2,解将极坐标方程 poos 0= 4化为直角坐标方程得 x=4,将x= 4代入3得t=12,ly=t从而 y=i8.所以 A(4,8), B(4, 8).所以 AB=|8 ( 8)|= 16.5 .在极坐标系中，已知圆 尸2cos 0与直线3 poos 0+ 4 fsin 0+ a=0相切，求实数 a的值.解将极坐标方程

21、化为直角坐标方程，得圆的方程为x2+y2=2x,即(x1)2+y2=1,直线的方程为 3x+ 4y + a=0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1,目口士 |3X 1+4X0 + a| / 宿日 cf c即有反:JTai = 1 解得a=8或a=2./32+42故a的值为-8或2.6 .求直线 产-5T关于0=7(p R)对称的直线方程.3cos 0- 2sin 04'''5 n解直线p=化为直角坐标方程为3x 2y=5, 0=二化为直角坐标方程为y =3cos。一 2sin 04'x,则3x2y=5关于y= x对称的直线方程为 3y 2x=5,化为极坐标

22、方程为3 psin 0一rr52 pcos 0= 5,即 p=.3sin 0 2cos 07 .在极坐标系中，P是曲线 尸12sin。上的动点，Q是曲线p= 12cos(4，上的动点，试求PQ的最大值.解尸 12sin 0, 1- f2= 12 psin 0, .,.x2+y2- 12y = 0,即 x2+(y6)2= 36.圆心坐标为(0,6),半径为6.又尸 12cos24 c ,八兀 . 八.兀p =12 p(cos 0cos6+sin 9sin6),x2+ y2 6V3x 6y= 0,.(x-33)2+ (y3)2=36,圆心坐标为(3艰，3),半径为6.(PQ)max= 6+6+ 叱

23、3/2+(6-3 2 =18.8 .已知曲线 Ci的极坐标万程为尸4sin 0,曲线C2的极坐标万程为 °=6(pC R),曲线Ci,C2相交于点M, N.(1)将曲线Ci, C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求线段MN的长.解(1)由 尸 4sin 0,得 2 = 4 psin 0,即曲线Ci的直角坐标方程为 x2+y24y=0,由0=6(pe R)得，曲线C2的直角坐标方程为y=?3x.(2)把 y =乎x代入 x2 + y2 4y= 0, 3得 x2+3x2-鸣=0,即3x2吟。,解得 xi=0, x2 = 43,yi = 0, y2= i.MN=，M2+i = 2.即线段MN的长为2.9 . (20i3辽宁)在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆Ci,直线C2的极坐标方程分别为p= 4sin 0, pcos。4户2y2.(i)求Ci与C2交点的极坐标；(2)设P为Ci的圆心，Q为Ci与C2交点连线的中点.已知直线PQ