SISIRSIS模型

1、数学模型实验一实验报告10学院： 专 业：姓 名：学号： 实验时间： 实验地点：一、实验工程：传染病模型求解二、实验目的和要求a求解微分方程的解析解b.求解微分方程的数值解三、实验容问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难,长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程,分析受感染人数的变化规律,探索制止传染病蔓延的手段等,一直是各国有关专家和官员关注的课题.不同类型传染病有各自不同的特点,在此以一般的传播机理建立几种 3模型.分别对3种建立成功的模型进展模型分析,便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况.模型一SI模型：1模型假设1 .在疾病传播期所考察地区的总人数N不变,人群分

2、为安康人和病人,时刻t这两类人在总人数中所占比例为s t和it.2 .每个病人每天有效接触的平均人数是常数a, a成为日接触率,当病人与安康者有效接触时,可使其患病.2建立模型 根据假设,每个病人每天可使 ast个安康人变成病人,t时刻病人数为Nit,所以每天共有aNstit个安康者被感染,即病人的增加率为： Ndi/dt=aNsi又由于 st+it=1再记时刻t=0时病人的比例为i0那么建立好的模型为：di出ai(1 i)i(0)=i03模型求解 代码、计算结果或输出结果syms a i t i0%a：日接触率,i：病人比例,s：安康人比例,i0：病人比例在t=0时的值i=dsolve(&#

3、39;Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t');y=subs(i,a,i0,0.3,0.02);ezplot(y,0,100)figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);plot(i,y)SI模型的it曲线SI模型的di/dti曲线4结果分析由上图可知,在i=0:1, di/dt总是增大的,且在i=0.5时,取到最大值,即在t->inf时,所有人都将 患病.上述模型显然不符合实际,为修正上述结果,我们重新考虑模型假设,建立SIS模型模型二SIS模型(1)模型假设假设条件1.2与SI

4、模型一样；3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数u,成为日治愈率,病人治愈后成为仍可被感染的安康者.显然1/u是平均传染期.2模型建立病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi 且 it+s(t)=1 ;那么有：di/dt=ai(1-i)-ui在此定义k=a/b ,可知k是整个传染传染期每个病人有效接触的平均人数,成为接触数.那么建立好的模型为：di aii (1 1/k) dti(0)=i0;(2)模型求解代码、计算结果或输出结果>> syms a i u t i0 % a：日接触率,i:病人比例,u:日治愈率,i0:病人比例在t=0时的值>> dsolve(

5、'Di=a*i*(1-i)-u*i','i(0)=i0','t')>> syms k>> k=a/u;>> i=dsolve('Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k)','i(0)=i0','t')%给k、a、i0指定特殊值,作出相关图像>> y=subs(i,k,a,i0,2,0.3,0.02);%求用u表示的it解析式% k:接触数%求用k表示的i - t解析式外女"的情况,以k=2为例>> ezplot(y,0,100)

6、>>pause%作it图,分析随时间t的增加,i的变化 >> gtext('1/k')>>legend('k>1 本例中 k=2')>>figure> > i=str2double(i);> > i=0:0.01:1;> > y=-0.3*i.*i-1/2;> > plot(i,y)% 作 di/dt i 的图像> > gtext('1-1/k,在此图中为 0.5')> > legend('k=2')>

7、; > y=subs(i,k,a,i0,0.8,0.3,0.02);% k<1 的情况,以 k=0.8 为例> > ezplot(y,0,100)%作i-t图,分析随时间t增加,i的变化> > legend('k<1 本例中 k=0.8')>>figure> > i=str2double(i);> > i=0:0.01:1;> > y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8);> > plot(i,y) % 作 di/dt - i 的图像> > legend('

8、;k=0.8')> > gtext('k<=1 时的情况)七h Idit J"¥ =m/L IraLs. jjpskhp Lifid felpR/H各tr &陞笠® F 口SIS模型的di/dt i曲线 k>1SIS模型的it曲线k>1SIS模型的di/dt i曲线 k<1SIS模型的it曲线k<14结果分析不难看出,接触数k=1是一个阈值,当k>1时,it的增减性取决于i0的大小,但其极限值i(oo)=1-1/k 随k的增加而增加；当 k<=1时,病人比例it越来越小,最终趋于 0,这

9、是由于传染期经有效解除 从而使安康者变为的病人数不超过原来病人数的缘故.模型三.SIR模型1模型假设1 .总人数N不变,人群分为安康者、病人和病愈免疫的移出者三类,称 SIR模型.时刻t三类人在总人数N中占得比例分别记作s(t),i(t)和r.2 .病人的日接触率为,日治愈率为与SI模型一样,传染期接触数为2模型建立由假设1显然有s(t) i(t) r(t) 11 对于病愈免疫的移出者而言应有Ni2drdt再记初始时刻的安康者和病人的比例分别是s0(s0>0)和i0(i0>0)不妨设移出者的初始值r0=0,那么SIR模型的方程可以写作di dt ds dtsi i,i(0) t0s

10、i,s(0) s03(3)模型求解我们无法求出解析解,先做数值计算：设1 网0.02,s(0) 0.98,用matlAB软件编程:function y=illt, x a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2)'ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45('i11',ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)表1i(t),s(t)的数值计算结果t0123i(t)0.02000.03900.07320.1285s(t)0.9800

11、0.95250.90190.8169t9101520i(t)0.28630.24180.07870.0223s(t)0.14930.11450.05430.0434456780.20330.27950.33120.34440.32470.60270.54380.39950.28390.202725303540450.00610.00170.00050.000100.04080.04010.03990.03990.0398is图形相轨线4结果分析idt)的图形见左图,i s的图形见右图,称为相轨线,随着 t的增加,(s,i)沿轨线自右向左运动.由上图结合表1可知,乂劫由初值增长至约t 7时到达最

12、大值,然后减少,t ,t 0；s(t)那么单调减少 t ,s 0.0398.进展相轨线分析,可得：s i平面称为相平面,相轨线在相平面上的定义域(s)D为D (s,t)|s 0,i 0,s i 1在方程3中消去出,并注意到的定义,可得di 1(二一1 i |i 一dt s , |s so i0 4容易求出它的解为1 si(so io) s In -s0 5在定义域D,上式表示的曲线即为相轨线1 .不管初始条件比/°如何,病人终将消失,即i 06ds其证实如下,首先,由3,dt0、而 s(t)dr0故s存在；由2,出0,、 ,而r(t) 1 ,故存在,dr再由1,对于充分大的t有出2

13、,这将导致,与r存在相矛盾.2.最终未被感染的安康者的比例是,在5式中令i0得到,s是方程s0 i0 s 1ln 0 s0在(0,1/ )的根.在图形上,s是相轨线与s轴在(01/ )交点的横坐标.3 .假设s0 1/ ,那么i先增加,当s 1/时,i到达最大值1,、is0 i0 (1 ln s0)8然后i(t)减小且趋近于0, 那么单调减小至s .4 .假as01/ ,那么i(t)单调减少至0, s(t)单调减少至s .如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/是一个阈值,当s0 1/ 即 V%时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数,即提升阈值1/ ,使得s0 1/ 即1/s°,传染病就不会蔓延安康者比例的初始值s°是一定的,通常可认为 s0接近1.并且,即使So 1/ ,从7,8式可以看出, 减少时,s增加通过作图分析,im降低,也 限制了蔓延的程度,我们注意到,在/中,人们的卫生水平越高,日接触率 越小；医疗水平越高,日治愈率 越大,于是 越小,所以提升