最新将军饮马问题讲义名师资料合集

1、将军饮马问题营地B唐朝诗人李顽的诗古从军行开头两句说:"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题 .如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下 的A点出发，走到河边饮马后再到 B点宿营. 请问怎样走才能使总的路程最短 ？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题将军每天从军营 A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距

2、离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼， 也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段a+b这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。2 .如图，直线l和l 在直线l上求作一点一.六大模型如图,直线l和l 在直线l上求作一点的同侧两点 A、P,使 PA+PBB, 最小。B3 .如图，点 P是/ MON 内的一点，分别在 OM , ON上作点 A, B。 使 PAB的周长最小.4 .如图，点 P, Q为/ MON内的两点，分别在 使四边形PAQB的周长最小。0B5.如图，点 A是/ MON 外的一点，在射线 ON

3、上作点 P, 使PA与点P到射线OM的距离之和最小6.1. 图，点A是/ MON内的一点，在射线 ON上作点 P,使PA与点P到射线 OM 的距离之和最小常见问题首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点， 即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连 线的点。1 .怎么对称，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或 者说只有定点才可以去作对称的。(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？ 一般而言都是动点所在直线。2 .对称完以后和谁连接？一句话：和

4、另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。3 .所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：4 .如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A (1, 0)、B (4, 0)、C (0, 3)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOM周长最小？若存在，求出四边形PAOCW长的最小值；若不存在，请说明理由.一一 ，一 3 【分析】(1)设交点式为y=a (x-1) (x-4),然后把C

5、点坐标代入求出a=,于是得到抛4物线解析式为y=gx2x+3;44(2)先确定抛物线的对称轴为直线x=&,连结BC交直线x=2于点P,如图，利用对称性22得至I PA=PB所以PA+PC=PC+PB=BC艮据两点之间线段最短得至ijPC+PAt短，于是可判断此时四边形PAOC勺周长最小，然后计算出 BC=5,再方f算OC+OA+B即可.【解答】解：(1)设抛物线解析式为 y=a (x-1) (x-4),把 C (0, 3)代入得 a? ( - 1) ? ( - 4) =3,解得 a=8,4所以抛物线解析式为 y= (x-1) (x-4),即y=3x2-竺x+3;444(2)存在.因为

6、A (1, 0)、B (4, 0),所以抛物线的对称轴为直线x=$,2连结BC交直线x=5于点P,如图，则 PA=PB PA+PC=PC+PB=BC匕时PC+PAt短,2所以此时四边形 PAOC勺周长最小，因为BC."-勺5,所以四边形PAOB长的最小值为3+1+5=9.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时

7、，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了最短路径问题.2. (2015?上城区一模)设抛物线 y=l (x+1) (x- 2)与x轴交于A、C两点(点A在 点C的左边)，与y轴交于点B.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)已知点D在坐标平面内， ABD是顶角为120°的等腰三角形，求点 D的坐标；(3)若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且 PQ=,求四边形 ABQ曲长的最小值.【考点】二次函数综合题.【分析】（1）令x=0,求出与y轴的坐标；令y=0,求出与x轴的坐标；（2）分三种情况讨论：当 AB为底时，若点 D在AB上方；若点D在AB下方；当AB为 腰时，A为顶点时，当 AB为腰

8、时，A为顶点时；仔细解答即可.（3）当AP+BQ1小时，四边形 ABQP勺周长最小，根据轴对称最短路径问题解答.【解答】解：（1）当x=0时，y=-V3；当 y=0 时，x= - 1 或 x=2;则 A （ 1, 0）, B （0,一如），C （2, 0）;（2）如图，RtABO 中，OA=1 OB=/5，AB=2 Z ABO=30 , / BAO=60 ,.ABD是顶角为120°的等腰三角形.当AB为底时，若点 D在AB上方，由/ ABOW BAD=30 , AB=2,彳导Q （0,一圭），若点 D在 AB下方，由/ BADW DBA=30 , AB=2 彳# D2 （ 1,一幺士

9、），3当AB为腰时，A为顶点时，. Z DAB=120 , / OAB=60 , AD=AB=2 点D在y轴或x轴上，若D在y轴上，得D3 （0, 英），若D在x轴上，得D4 （- 3, 0）;当AB为腰时，A为顶点时，若点D在第三象限， / DBO=150 , BD=2 彳# D5 （ - 1, 2日）；若点D在第四象限时， .DB/x 轴，BD=2,彳导 D6 （2,一 无），符合要求的点 D的坐标为（0,-亚），（-1, -2H）, （0,立），（-3, 0）, （ - 1,-332-/3）, （2,-瓜;（3）当AP+BQ1小时，四边形 ABQP勺周长最小，把点B向上平移全个单位后得到 B1 （0,-义!），33. BB1 / PQ 且 BB=PQ四边形BBPQ是平行四边形，BQ=BP,.AP+BQ=A+B1P,要在直线x二°上找一点P,使得AP+BP最小，2作点B1关