河北省保定市2020届高三数学上学期期末考试试卷理(含解析)

1、2019-2020学年度第一学期高三期末调研考试数学试题(理科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .若复数满足z2 = 5-i，则l ()A. 或-32B.32i 或-3 + 2i C. 一2或 1力 D. ±13【答案】A【解析】【分析】设2=2+加(a, bCR),利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a, b,则答案可求.【详解】设z=a+bi (a, bCR),由 z2= 5+12i ,得 a2 b2+2abi = 5+12i ,，解得或代二；.I 2ab = 12 b - 2 t

2、b - - 2z = 3+2i 或 z = - 3 2i .故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题.2 .函数y =Kq&K的零点所在的区间是()A. B.C.D.【答案】B【解析】【分析】X，由于连续函数f (x)满足f (1) <0, f (2) >0,从而得到函数y=x-4?(-)的零点所在区间.【详解】y = x-4? (；) x为R上的连续函数，且 f (1) =1 2v0, f (2) = 21>0, .f (1) ?f (2) v 0,(1, 2),故函数y = x-4? （1） *的零点所在区间为:2故选：B.【

3、点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题.3 .已知ib是两条不同的直线，也0是两个不同的平面，则a/b的一个充分条件是（）A. a/a, b/ct B. a/'/ct,山平C. a_Lu,b_Lp,a/p D. alp, ala,【答案】C【解析】【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在 C中，由线面垂直的性质可得a/b;在R D中，均可得a与b相交、平行或异面；【详解】由a, b是两条不同的直线，a , 3是两个不同的平面，在A中，H/a, b/a,则a与b相交、平行或异面，故 A错误；在B中，a/h,4平，则a与b相交、平行或异面，故 B错

4、误；在C中，由a -La, w邓，则又h_Lp,由线面垂直的性质可知,故C正确；在D中，a -L P, ala, b邓，则a与b相交、平行或异面，故 D错误.故选：C.【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.4.定义运算a,则函数不0= 1 0暇x的图像是（）【答案】C【解析】【分析】根据新定义可得函数 110g 2X就是取1与log 2X中较大的一个即可判断.【详解】从定义运算 ab=|上看，对于任意的 a、b, ab实质上是求a与b中最大的，1. 1log 2X就是取1与log 2X中较大的一

5、个，对于对数函数 y=1og 2X,当 x>2, 10g 2X>1,.当 0vxv2 时，f （x） =1.故选：C.【点睛】本题主要考查新定义，求函数的最大值，属于基础题.5.（1 2乂）T）的展开式中，T的系数是（）A.-160 B.-120 C. 40 D. 200【答案】B【解析】【分析】将问题转化为二项式（1-2X）5的展开式的系数问题，求出（1-2X）5展开式的通项，分别令r = 2, 3求出（1-2x） 5 （2+X）的展开式中X3项的系数.【详解】（1-2x） 5 （2+x）的展开式中X3项的系数是（1-2x） 5展开式中X3项的系数的2倍与（1 - 2X） 5展开

6、式中X2项的系数的和（1-2x） 5展开式的通项为 Tr+1= （- 2） Crxr令r = 3得到x3项的系数为-8G53= - 80令r = 2得到x2项的系数为4G2=40所以（1-2x） 5 （2+x）的展开式中X3项的系数是-80X2+40= - 120故答案为：B求二项展开【点睛】解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式.式有关问题的常见类型及解题策略：（1）求展开式中的特定项.可依据条件写出第r十I项，再由特定项的特点求出值即可；（2）已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r十I项，由特定项得出值，最后求出其参数.6 .某几何体的

7、三视图如图所示，则该几何体的体积是（）T 一 A. 36 B. 32 C. 30 D. 27【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图，判断该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个以 3为边长的长方形, 高为4,分别求出棱锥各个面的面积，进而可得答案.【详解】由已知中的该几何体是一个四棱锥的几何体，四棱锥的底面为边长为3和3的正方形，高为4,故S四棱锥1111=33ABE 1 7CBE * *DE 4 3AADE 4 * 四功形 ABCD 二M格+> , 5><3 5 5X5 /4><3+3><3 =36.故选：A.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求

8、表面积，其中根据三视图判断出几何体的形状，并找出各个面的棱长、高等关键的数据是解答本题的关键.7 .若双曲线C：-= 1的一个焦点与抛物线 /=舐的焦点重合，则双曲线C的离心率为 m 3( )3A. 4 B. 3 C. 2 D.2【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线 y2=8x的焦点坐标，由此得到双曲线C： -亡=1的一个焦点，从而求出am 3的值，进而得到该双曲线的离心率.【详解】抛物线 y2=8x的焦点是(2, 0),双曲线C： 之.匕=1的一个焦点与抛物线 y2=8x的焦点重合，m 3，c=2, b2=3, m= 1,c 2e = = =2.a 1故选：C.【点睛】本题考查双曲线的性质

9、和应用，解题时要抛物线的性质进行求解.8.在 3ABC 中，若& =(1一2),靠=(x>0),则当 BC 最小时，£ACE =()A. B.C. 4M D.【答案】A【解析】【分析】由已知晶=短一品可求品的坐标，然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求BC最小日的x,结合向量数量积的性质即可求解.【详解】_藐=(1, 2),羡=(x, 2x) (x>0),*1-'-BC = AC：-AB= L xT，2x- 2),I |.； x ' / 1一,：,二x ：'''：、 :'令 y=5x2-6x+5, x>

10、;0316根据二次函数的性质可知，当 x = -, ymin=w，此时BC最小,r 36r 一 m 8CA - CB = - x -5 5CE -(-50,C= 90°故选：A.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查了二次函数的性质的简单应用，考查运算求 解能力，是基础题.9 .已知函数Rx)=x9十2电(1)-2,且图像在点x = 2处的切线的倾斜角为a ,则7T3冗5in(一 + a)cos(aj 的值为2233A.B.1616【答案】DC.417D.417【解析】【分析】先对函数进行求导，求出 f(1),然后根据导数的几何意义求出切线斜率k=f ' ( 2) = t

11、an a ,然后根据诱导公式及同角基本关系可得sinacosa - tana=-cos a sin a = - - = -”代入可求.snra 卜 cos a 1 卜 tarTci【详解】f (x) =x3+2x2f' (1) +2, f ' ( x) = 3x2+4xf ' (1),.广(1) =3+4f' (1),即 f' (1) = - 1, f (x) = 3x2 4x,%3jesin ('4 a ) cos ( - a )，图象在点x= 2处的切线的斜率 k=f' (2) =4= tan a贝U sin a )3兀cos (y

12、- a )=cos a sin asinacosct 22sin a i- cos atana= tan-a4=17'故选：D.【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，诱导公式及同角基本关系的综合应用，属于基础知识的综合应用.10 .已知口是&铝。所在平面内一点，2?B + 3PC + PA = O,现将一粒红豆随机撒在内，记红豆落在内的概率为P&PBC，落在APAl：内的概率为P占PAC ,，则P4PBePapbaPapac N()1151A.B. C. D. 6121836【答案】D【解析】【分析】 根据2M+3J + p,；=£,计算出 PAB PA

13、C 4PBC面积的关系，求出概率，作积得答 案.【详解】如图，令PB = 2PB，PCi = 3PC，PA】=PA-则P为 ABC的重心，3 APAB = § 心 PA/=九 PB£ ,， _ 】， , _ 】， , _ , 而3 PAB = r*， SPAC = S&PU，' 4PBC = £$ PB,C, Z I 1J 1 1o 1. 1 2 S/PAB 3sA PAC 6S PBC,_ 1 _ 1 _ 1P&PAB = f，P&PAC=3，PaPBC = &.1 1 I贝U R PbCP PbAP PAC ： 一 K

14、1 N = 一.2 3 6 %故选：D.【点睛】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档.11 .数歹U 12122,1,2,221,22221,2,，其相邻的两个 1被2隔开，第n对1之间有n个2,则数列的前209项的和为（）A. 279 B. 289 C. 399 D. 409【答案】C【解析】【分析】根据题意，根据数列的性质，先把数列分组，每组中，第一个数为1,其他均为2,且第n组中，有n+1个数；得到209是前19行的和，进而得到所有项的和.【详解】根据题意，先把数列分组，第一组为1, 2,有2个数，第二组为1, 2, 2

15、,有3个数，第三组为1, 2, 2, 2,有4个数，第n组中，第一个数为1,其他均为2,有n+1个数，即每组中，第一个数为1,其他均为2,n(n 3)则前n组共有型个数，2当n=19时，恰好前19行有209个数，前19行有19个1,有209-19=190个2,则这些数的和为：19+190 >2 =的9,故答案为C.【点睛】本题考查数列的求和，注意要先根据数列的规律进行分组，综合运用等差数列前n项和公式与分组求和的方法，进行求和.兀冗 a R12 .已知邛E -且 I-I-H > 0 ,则下列结论正确的是()4 4cosf cosu.A. I二 k B. 1二 k C.D.【答案】A

16、【解析】【分析】将式子变形得到|ajcosct> |P|cos|3 ,因为余弦函数是偶函数，故 |a.cos|ct| > |p|cos|P| ,构造函数f(x) =,通过求导得到函数的单调性，进而得到结果 .【详解】|)"户0等价于邑>1，即网8411臼830，因为余弦函数是偶函数，故 cosp cosaco那cosa|o|cos|a| > |p|cos|p| ,构造函数f(x) = |x|cos|x| ,根据偶函数的定义f(x)=f(-x) 得到函数是偶函数，霭而 f(x)在他,力上,f(x) =xcosx,f(x) 二 cosx-xsinx >。,

17、故函数单调增，又因为f(|a|)>f(|PD,故 4/得到 .故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数的单调性的应用，通过研究函数的这些性质来比较函数的大小；比较大小常用的方法，除构造函数，研究函数性质得到结果，常用的有：做差和0比，做商和1比，不等式性质的应用等.二、填空题(每题 5分，茜分20分，将答案填在答题纸上)13 .已知集合M-1 匕1 , N = x <0,则C.Nh.(用区间表示)x-1【答案】(-1,0 )【解析】【分析】化简集合N,根据补集与交集的定义写出.【详解】M= x| Tvxv 1 = (- 1,1), N= x|-三 0 = 0

18、, 1),x- 1则？mN= ( 1, 0),故答案为：(-1, 0).【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.14 .元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，若最终输出的x= 0,则开始时输入的x的值为I开始t1=1曰+1/输 i X I1结束，1【答案】展 0【解析】【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为【详解】第一次输入 x= x, i = 1执行循环体，x=2x- 1, i =2,执行循环体，x= 2 (2x-1) - 1 = 4x - 3,

19、执行循环体，x= 2 (4x-3) - 1 = 8x - 7,7输出8x- 7的值为0,解彳导:x = -,8故答案为：S【点睛】解答本题，关键是根据所给的框图，0,由此关系建立方程求出自变量的值即可.i = 3,i =4>3,得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值. 本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题， 得出答案.x + y-2> 015.设实数满足K-2y+410 ,若w = kx-y的最大值为16,则实数k=.I2x-y-4 < 0【答案】3【解析】【分析】先画出可行域，得到角点坐标.再对k进行分类讨论，通过平移直线z=kx+

20、y得到最大值点A,即可得到答案.- x + y - 2 > 0【详解】实数x, y满足兰。的可行域如图:2x-y - 4< 0A (4, 4),同样地，得B (0, 2), z=kx+y,即 y= - kx+z,分 k>0, k<0 两种情况.当k>0时，目标函数z= kx+y在A点取最大值，即直线 z= kx+y在y轴上的截距z最大，即16=4k+4, 得 k=3;当k<0时,当k时，目标函数z=kx+y在A点（4, 4）时取最大值, 2即直线z = kx+y在y轴上的截距z最大，此时，l6 = 4k+4,故 k= 3.当k三时，目标函数z= kx+y在B

21、点（0, 2）时取最大值, 2即直线z = kx+y在y轴上的截距z最大，此时，16 = 0xk+2,综上，k=3.故k不存在.【点睛】本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.x29 yy16.已知过椭圆-;4三=上一点 小行比？的切线方程为I：- + 1 ,若分别交x、y轴a2 IT hr于A,B两点，则当|AB最小时，|OP| =. 9为坐标原点）【答案】【解析】y0=,结合基本不等式求得 b2【分析】 利用切线求得 A、B两点坐标，表示出|AB，再利用:b3|AB|3（a i b）3,再利用|AB最小时的条件求得x：= 一，嫄=

22、_ ,即可求解.Mb a + b【详解】因为点P(X0V/的切线方程为1：+=,若分别交x：y轴于AB两点，所以A (-,J b2与tr0), B (0,一)yo? 丁?2x- yx a又点P/，yq在椭圆不十，=la>b>01上，有二十1=1, / b2仅当，寸等号成立,5 a4 b4|AB| '二y014 2 4 2b 殉 a y0=(fT + + +) > (丁 十 b2- 2ab) = (a +,当且y0 .%ab解得铠不，必二R3.33 八371P j a口 a " 。：*> x门+ yn-=十=. I K . ab ,a+b a+b a+b

23、A |QP| -故答案为.【点睛】本题以过椭圆上点的切线为载体，考查了利用基本不等式求最值及等号成立的条件,考查了逻辑推理及运算能力，属于难题.三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在、工1九中，电膜分别是内角ABC的对边，且虹Ja =热1电十虹/C - minBiiinC.(1)求a；若；i = 3(1)b = 2,求3ABC的面积.2国3企-忑(2)32【解析】【分析】(1)由已知利用正弦定理可得：a2=b2+c2+bc.由余弦定理可得：c0sA结合范围A(0,(2)由已知利用余弦定理 c2+2c- 5=0,解得c的值，利用三角形面积公式即

24、可计算得解.【详解】(1)因为 sin'A = smB 十 sin'C - sinBsinC由正弦定理得再由余弦定理得85A = .1,2bc 2二 n又因为 AE(O,兀)，所以 A = w".二 7T(2)因为 a=3, b = 2, A = w代入 J = t? - c' - be得 J + 2c-S = Q,解得故4 ABC勺面积.22【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.18.设£ = (x、2), b =。，Rx) =a b,数列%的前n项和 Sn，点(nSJ

25、 (n W N * )均在函数 y =f(x) 的图像上.(1)求数列的通项公式；(2)设bn =, %是数列出j的前n项和，求满足T> (nEN )的最大正整数m.Vn+L21【答案】(1) an=6n 5 (mEN") (2) 8【解析】【分析】(1)根据 f (x) =3x22x,由(n, S)在 y=3x2 2x 上，知 S=3n22n.由此能求出数列 an的通项公式.33111(2)由 hl = r；-=小1、=<知_ 1 (bn - 5)(6n + I) 2 6n - 5 6n + I1111111111, , 11、mTn= -(斗一- )= 一( 1 -)

26、,根据 -u)> 一27 7 13 13 196n-5 6n + 126n+ 126n+ I 21(nWN )对11£N 恒成立，当且仅当三A1，由此能求出所有 nCN*都成立的m的范围.【详解】(1)因为 f(x) = a ti = 3x2 2x.又因为点(n,Sll)(nEN，)均在函数:y=：fg的图像上，所以Sn = 3n2-2n.当 n>2 时，an=SS1= ( 3n22n) - 3(n- I)' - 2(n - ) =6n5.2当 n= 1 时，a1=S = 3xi 2=1,所以，an= 6n 5 (n w N ).31 f (2)由(1)得知 b(

27、1 = =V*-4% + i 26n - 5 6n 4- I故 Tn=£bi|i = l ' L =-(1 一)，且Tn随着n的增大而增大26n+ 1Im*3 m因此，要使-(1) > (nEN )对11£>!恒成立,当且仅当n=1时Ti= > 26n+ 1217 21即m<9所以满足要求白最大正整数m为8.【点睛】本题考查数列与不等式的综合，综合性强，难度较大.易错点是基础知识不牢固, 不会运用数列知识进行等价转化转化.解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件.19.如图，正三棱柱ABC-%中，(底面为正三角形，侧棱垂直于底面)，侧棱长底

28、面边长AB = 1, 是CC的中点.(1)求证：平面ANB J平面AAFF ；(2)设M是线段AB1的中点，求直线与平面ABC1所成的角的正弦值.2399【答案】(1)见解析(2)而-【解析】【分析】(1)通过做平行线构造平行四边形，进而得到线面垂直，再由平形四边行的对边平行的性 质得到平面处第1内的线垂直于平面 M1BF内的线，进而得到面面垂直 ；(2)建立空间坐标 系，求直线gM的方向向量和面ABCj的法向量，进而得到线面角.【详解】(1)证明：取AB中点E,闻的中点为m,连结ME,CE , mn,则有ME / MC且ME = NC ，四边形MVCE为平行四边形，MV / CE儿4 1 面

29、 JBC，CEu 面48C1(E,又CE_LAB. CE L 平面 AAFF 故；.八；，平面 AABB .所以平面ANBi 1平面AABB(2)如图建立空间直角坐标系，则B(-，0，0)，A(,0，0)，匚工二：i 尺；子芯 因为V是线段AB1的中点，所以Mnj,O)所以-11 石设n = (x,yz)是平面ABC1的一个法向量，因为BA = (lA0)3Cl=(尹?(BA n = 0所以，由 由所以可取: sinO = |cos < Chl7n > | = |二4)4/419 乂7133【点睛】这个题目考查了面面垂直的证明，以及线面角的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直

30、线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空 间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。20.为了积极支持雄安新区建设，某投资公司计划明年投资1000万元给雄安新区甲、乙两家科技企业，以支持其创新研发计划，经有关部门测算，若不受中美贸易战影响的话，每投入100万元资金，在甲企业可获利150万元，若遭受贸易战影响的话，则将损失50万元；同样的情况，在乙企业可获利100万元，否则将损失 20万元，假设甲、乙两企业遭受贸易战影响的概率分别为 0.6和0.5.(1)若在甲、乙两企业分别投资500万元，求获利1250万元的概率；(2)若在两企业的投资额相差不超过3

31、00万元，求该投资公司明年获利约在什么范围内？【答案】(1)0.2(2)其获利区间范围为 335与365万元之间【解析】【分析】(1)由已知条件可知，在甲、乙两公司分别投资500万元的情况下欲获利 1250万元，须且必须两公司均不遭受贸易战的影响， 故可列出式子即可；(2)先求得投资100万元在甲公司 获利的期望30万，乙为40万，设在甲、乙两公司的投资分别为 x,(1000 x)万元，则平均 获利z=0.3x+0.4(1000 -x) =400 0.1x万元，根据 x的范围可得到 z的范围.【详解】(1)由已知条件可知，在甲、乙两公司分别投资500万元的情况下欲获利 1250万元，须且必须两

32、公司均不遭受贸易战的影响.故所求的概率为 P= (10.6) X (1 0.5) = 0.2.(2)设投资100万元在甲公司获利万元，则的可能取值为150和50万元.又甲公司遭受贸易战影响的概率为0.6故投资100万元在甲公司获利的期望为150X0.4 + ( 50) X 0.6 = 30万元.同理在乙公司获利的期望为100X0.5 + ( 20) X 0.5 = 40万元.设在甲、乙两公司的投资分别为x,(1000 x)万元，则平均获利z=0.3x+0.4(1000 -x) =400-0.1x 万元(其中 350MXM650).由于上述函数为减函数，所以其获利区间范围为335与365万元之间

33、.【点睛】这个题目考查了互相独立事件的概率的求法，以及离散型随机变量的均值的求法，即期望的求法；其中互相独立事件A和B, P(AB尸P(A)P(B).5 3321.设点pqq在以F?Q为焦点的椭圆*十%=101nb>0)上.(1)求椭圆C的方程;（2）经过反作直线m交C于两点AB ,交轴于h点，若寸A =%后上,5 = %*,且% = 1 ,求勺与七.【答案】（1） = 1 （2）, =, 工）=，或 = L % = = 310 6313【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义得到 2a值，由题干得到 c=2,进而得到方程；（2）设出A R M点的坐标，根据向量关系得到 A点坐标$ = ，%

34、=，代入椭圆方程得到关于 的方程，1 + % 1 + %同理得到关于修的方程，进而抽出 %、%是方程1260X4玉）.$¥； = 0的两个根，解出即可得到与%.【详解】（1）因为点P2二）在以Fi（-2mFaO）为焦点的椭圆（a>b>0）±,所以2 2Mb"5 a 9(i-2)+r又因为c=2,所以b = #ix2 v2所以椭圆C的方程为土 |匕=110 6（2）设A B、M点的坐标分别为 A （小，外），B （均，冷），M （0,冷）.(*, ¥-¥«)=%(2-/，-yj1 科 i汽？将A点坐标代入至厮圆方程中,得广一

35、文广 去分母整理得 ：1啊6cAl + 30 - 5y； = 0同理，由病=%而2可得：1叫'10+30-5次=0匕、是方程18十60入十30-5婷=0的两个根， ,1° 一% + %= - ,又看% 一 1二者联立解得.或所以7心=上生_又%三1 ,所以5丫； = 121 个 £所以上述方程即为所以.【点睛】这个题目考查了椭圆的方程的求法，还考查了向量在圆锥曲线中的应用，一般采用的是向量坐标化，得到点坐标间的关系，再通过题干列出相应的方程进行分析即可22.已知函数I (k-l)x3 I (k I 5)x + d.(1)若k = T,求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(0,3)上不单调，求实数L的取值范围；(3)求证：kH-2或kA7是函数f(x)在R上有三个不同零点的必要不充分条件.【答案】(1)函数I(x)的单调递增区间为(-甩+g),没有单调递减区间.(2)k