向量中的共线问题

1、6共线问题1、例4如图，在 ABC中，点M是BC的中点，点 N在边AC上，且AN=2NC, AM与BN相交于点P, 求AP: PM的值.-f一.I二_ 一 士一一一 一解析 设 BM = e 1, CN = e2)则 AM = AC + CM = 3e2e1, BN = 2©1+%人=5L= 5F为BE与AC的交点.设AB=a,A、P、M和B、P、N分别共线，.存在实数 入 科使AP=汰M = 213。, BP=际=2四+ 吟，故 BA= BPAP=(入+ 2p)e1+(3X+ ) e2.计 2 尸 2而BA = BC+CA=2e1 + 3e2由平面向量基本定理，得 ，解得3壮尸34

2、故aP = §aM,故 AP PM = 4 2、13.如图，E是平行四边形 ABCD的边AD上一点，且AE=aDBc= b,若 BF = kBE, AF = hAC,则4 1,.一 fztL -解析AC=AB+BC=a+b答案5 5一 .仁 .一± 三. .AF = hAC= ha + hb, BF = BA+ AF = a+ ha+ hb= (h 1)a+ hb,一.二1k4J=5 ,解得ih=5又 BF = kBE = k(BA+ AE)= k( a+4 b) = ka+ 4 b,h 1 = 一 k显然a与b不共线， . 5 klh=43、15.在？ABCD中，设边 A

3、B、BC、CD的中点分别为 E、F、G,设DF与AG、EG的交点分别为 H、K,设 AB=a, BC=b,试用 a、b 表示 GK、AH., .一 -_. 11._. 7 1 7解析如图所不，GF = CFCG= -2b + 2a,因为K为DF的中点，所以GK = 2(GD + GF)1 ( 111 1 一： a 1=21 2a- 2b+ 2a 尸 - 4b-DF = CF - CD = - 2b+ a.因为A、H、G三点共线，所以存在实数 m,使AH=mAG=m jb+j a !；又D、H、F三点共线，所以存在实数 n,使DH = nDF = na-2b;因为AD+DH =AH,所以 1 2

4、 b+ na= mb+ ma1-2= m/、因为a、b不共线，所以,解得m = 5，即AH=4 b+a != ：(a+2b).ln = m4、16.如图，在 OAB中，延长 BA到C,使 AC=BA,在 OB上取点 D,使DB = 3OB, DC 与 OA 交于点 E,设OA=a, OB=b,用 a, b表示向量 OC, DC.分析将待求向量用已知向量、或与已知向量共线的向量、或能用已知向量表示的向量线性表示，逐 步化去过渡的中间向量.如待求O)C,已知0次、Ob,即知BA,因为BC可用BA线性表示，故可用 Ofe和BC来表示 公., 一,_. . 一. . . . 7 1 7 -L 一 .解

5、析因为A是BC的中点，所以OA = 2(OB + OC),即OC=2OA-OB = 2a-b.DC= OC - OD = OC- 3OB= 2ab条=2a 3b.5、18.在 AOAB 中，oC=4(OA, (OD = 1(OB, AD 与 BC 交于点 M,设 OA=a, OB=b,以 a、b 为基底 表不' OM.分析显然a、b不共线，故可设OM=ma+nb,由A、M、D三点共线及B、M、C三点共线利用向量共线条件求解.解析 设OM=ma+nb （m, nCR）,则AM = OM OA= （m1）a+nb,aD = 5D OA=1ba 因为 A、M、D 三点共线，所以 m =n，即

6、 m+2n=12 II2一 一一又 C M = OM-OC =cb = ob -OC=1 4a+b，1m4 n 一因为C、M、B三点共线，所以一丁=:即4m+n=1,4m + 2n= 1由,解得4m+ n= 11 m=73n=7,所以 OM = 1 a+3b.6、19.（本题满分12分）在?ABCD中，点 M在AB上，且 AM=3MB,点N在BD上，且BN=旧D, C、M、N三点共线，求入的值.解析设AB=e1，AD = %,则 BD = G2快,11BN= BD= 乂e1)，MB = 4AB=4e1，BC=AD = e2,.MC = MB+BC = 4e1+e2, MN = MB + BN

7、= 4e1+ Xe2-e1)= 6+e1,二一入. 4 入 1. M、N、C共线，MN与MC共线，: e1与e2不共线，=14，一、,一.、一、_ f it- .(2010 合肥市)如图， ABC 中，AD = DB, AE = EC, CD 与 BE 交于 F,设AB = a, AC= b, AF = xa+yb,则（x, 丫）为（）A.0Be|) C£D. 3答案解析设CF =AC、AB的中点,BE= BA+1 AE = a+ 2 b,BF=BC+(CF = (b-a)+ X2 a-b)= g 入1 ,a+ (1 - »b,.B E与B F共线,12 b1 1-入23&

8、#39;21 a+1b,故33A F = A C+ C F = b+ -C D = b + 2333,7、8.已知P是 ABC所在平面内的一点,CB=菽+PB,其中入e R,则点p一定在（）A. ABC的内部 B. AC边所在直线上C. AB边所在直线上D. BC边所在直线上答案B解析由cB=后A+PB得CBPB= 商，CP= 痴.则CP与PA为共线向量，又CP与PA有一个公共点 pC、P、A三点共线，即点 P在直线AC上.故选B.8、9. G 为 ABC 内一点，且满足 GA+GB+GC = 0,则 G 为 ABC 的（）A.夕卜心B.内心C.垂心D.重心解析由于GA+GB+GC=0反，长度

9、相等的向量.如图，以 GB答案D 所以GiA=（彘+ 虎），即反是与GB+GjC方向相GC为相邻的两边作 ？bgcd,则GD = GB+GC,所以GD = GA,在？bgcd中，设bc与gd交于点e,则BE = EC, Ge=Ed,故AE是 及9、10.（2010河北唐山）已知P、A、B、 一 f =L 二 fC是平面内四个不同的点，且 pa+pb+pc = ac,则（）A. A、B、C三点共线B.A、B、P三点共线C. A、C、P三点共线D.B、C、P三点共线 ABC中BC边上的中线且|GA|=2|gE|.从而点G是ABC的重心.选D.答案解析; AC= PC - PA，原条件式变形为：PB

10、=- 2PA, .PB/PA,，A、B、P三点共线.10、4.（2010湖南长沙）已知。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点 P满足OP=OA+ NAB+AC）,迁0,+8）,则点P的轨迹一定通过 ABC的（）A.夕卜心B.垂心C.内心D.重心答案D解析设AB+AC = AD,则可知四边形 BACD是平行四边形，而 AP= 就表明A、P、D三点共线.又D在BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过 ABC的重心.11、5. P 是 ABC 所在平面上一点，若 PA PB= PB PC=PC RA,则 P 是ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心答案D解析由RAPB =

11、PBRC彳#PB (PAPC)= o,即品 CA=o, pbca.同理 FABC, PCX AB,，P 为 ABC 的垂心.12、6,已知 ABC 中，若 AB2= AB aC + BA Bc+CA Cb,则 ABC 是()A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形D.钝角三角形答案C>2解析由AB AB AC=BA BC+CA CB,得AB (AB AC) = BC (BACA),即ABCB=BCBC, AB BC+BC BC=0, ，BC (AB+BC) = 0,则 BCAC=0,即 BCAC, 所以 ABC是直角三角形，故选 C. 一一. . f L f L 一 士一13、7.

12、若O为 ABC所在平面内一点，且满足(OBOC) (QB + OC2OA)=0,则4ABC的形状为()A,正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D. A、B、C均不是答案C一 一7一受解析由(OB OC) (OB+OC 2OA)= 0,得cb (ab+AC) = 0,又. CBmAB-AC,，(AB-AC) (aB+AC) = 0,即|aB|2-|AC|2=0.|AB|= |aC|. ABC 为等腰三角形.点评若设bc中点为d,则有AB+AC = 2AD,故由Cb (aB + AC)=0得CB aD = 0, CBXAD,AC= BC. 14、5.点O是 ABC所在平面内的一点，满足 OA O

13、B=OB OC = OC OA,则点O是 ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B,三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D,三条高线的交点答案D解析由OAOB=OBOC,得 OA OB OB OC=0,OB (OA-OC)=0,即 OB CA = 0.OB，CA.同理可证 OACB, OCX AB.OBXCA, OAXCB, OCXAB,即点 O是 ABC的三条高线的交点.15、1. （2013烟台*II拟）若M为 ABC所在平面内一点，且满足 （MB MC） （MB + MC 2MA） = 0,则4ABC 为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案B解析由

14、(MB -MC) (MB+MC2MA) = 0,可知 CB (AB + AC) = 0,设BC的中点为 D,则AB+AC=2AD,故CBAD=0,所以CBAD.又D为BC中点，故A ABC为等腰三角形.1.（2013济南一模）已知A, B,C是平面上不共线的三点，O是 ABC的重心，动点P满足OP = 3OA+OB +occ I则点P 一定为三角形 ABC的（）.2OCA . AB边中线的中点B. AB边中线的三等分点（非重心）C.重心 D. AB边的中点解析设AB的中点为- 11_ 1_ 12r 一一 一 一，则2OA + OB=OM, .OP = 3(OM+2OC) = 3OM+3OC,即

15、 30P=OM+2OC,也就是 MP = 2PC, P,C三点共线，且 P是CM上靠近C点的一个三等分点. 答案 B2.在 ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点 C不重合，若AO = x AB+（1-x）AC,则实数x的取值A .(巴 0)B. (0,)C. (-1,0)D. (0,1)解析 设BO=入 BC(X> 1),则 AO = AB + BO = AB+ 入 BC= (1 5AB + 入 AC,又 AO=x AB + (1 -x)AC,所以 x AB+(1-x)AC=(1-5AB+ 入 AC.所以入=1 - x> 1,得 x< 0.答案 A3.若点O是 ABC所在平面内的一点，且满足 |OB OC|=|OB+OC 2OA|,则 ABC的形状为解析 OB + OC-2OA=OB-OA+ OC-OA = AB+AC,OB OC=CB=AB AC, . |AB+AC|=|AB AC|.故A, B, C为矩形的三个顶点， ABC为直角三角形.答案直角三角形4.