东南大学工程矩阵理论样卷及答案3

1、东南大学工程矩阵理论样卷及答案 3工程矩阵理论试卷样卷 10c一、矩阵 A = 1 、证明： V 是 C2 ? 2?11?2 ? 22? 2?, C 的子集 V =X AX =O , X C? -1-1 ?的子空间；2 、求 V 的一组基及 V 的维数；3 、证明A V ,并求A在上小题所提基下的坐标;2 ? 22 ? 2=V ® W =V ® W '的两个不同的子空间 W及W '解：1、设 x , y V ， k FA (x +y ) =Ax +Ay =O A (kx ) =k (Ax ) =O 所以， V 对加法和数乘封闭，故 V 是 C2 ? 2的子空

2、间。?a b ?2 、设 X = ?c d?11?11?a b ?a +c b +d ?X = ? ? -1-1 ? -1-1 ?c d ?-a -c -b -d?4 、试给出 C，使得 C?= ?=Ob ?a +c =0?a ?10?01? ?X = ?，所以 V 的基为 a 1= ?, a 2= ? ,2维。b +d =0-a -b -100-1?3 、 A =?11?10?01?=1?+1? ? ? , A 在 a 1, a2 下的坐标为(1,1)。? -1-1 ? -10?0 -1?丄2? 2=V ® W，那么有4、V实际为A核子空间，V =K (A )，令 W =V即可构成

3、C(此处概念有点不清楚，是否正确，请周老师W =V丄=K丄(A ) =R (A H ) =A H 的极大线性无关组。指教！) AH?1 -1 ?1?HA ，的极大线性无关组为 = ? ?。?1 -1 ?1?2a c ? ?二、假设3维线性空间V上的线性变换f在V的基a 1, a 2, a3下的矩阵为J = 02b ?。问：当 a , b , c , d00-1 ?200?满足什么条件时，存在 V 的一组基，使得 f 的矩阵是 K = 2d 0 ?？222 ?解：J 、K为同一线性变换下的矩阵，故J sK ,有相同的jordan标准形，相同的特征值，相同的迹，相同的秩。?200?K = 2-10

4、根据J、K迹相同即主对角元素的和相同得：d =-1 , 222 ?入-2入 I -K =-2-2000=入 +1入-2 2,入-2入+1-2?000? -100? ? ?入=2 时，r 21 -K =r -230?=2,求得 J K = 021-2-20 ? 002?入-2入 I -J =-a -c-b =入 +1入-2 2 入 +1入-2?0 -a -c ? ?入=2 时，r 2I -J =r 00-b?=2003 ?/ b 工0, a =c =0 或 b =0 , ac 工0三、设矩阵 A =?11? 2? 22? 2C f，上的变换定义如下：f (X ) =XA ,? X C ? -1-

5、1 ?1 、证明：f是线性变换；2、求f在C2 ? 2?10?01?00?00?的基 E 11= ?E 12= ?E 21= ?E 22= ?下的矩阵M ;00001001 ?3 、求f的值域R (f )及核子空间K (f )的基及它们的维数；4 、试求M的jordan标准形，并写出f的最小多项式；5、问：能否找到C 2? 2的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？解：1 、证明：设 x , y C 2? 2, k Ff (x +y ) =(x +y ) A =xA +yA =f (x ) +f (y ) f (kx ) =(kx ) A =k (xA ) =kf(x )故f关于加法和数乘封闭，f

6、为线性变换。2、f (X ) =XAf(E ) =? 11?10?10?11?01?0111?-1-1 ?00?= ?-10?f(E ?12)=? -1-1 ?00?= ?0-1 ? f (E ?11?00?10?11?21)=? -1-1 ?10?= ?-10? f (E 22)= ? -1-1 ? 00?01?=? 01?0 -1 ?1010?f (E E 0101?11E 12E 21E 22) =(11E 12 E 21E 22) ?=(E E E E ) M -10-10?11122122?0 -10-1 ?3、 R (f ) =L (f (E f (E?10?01?11), f (

7、E 12), f (E 21), 22)2 维。?，R (f ) 的基 ? -10 ?，? ?0 -1 K (f ) :M x=O ，K (f ) 的基? 10? -10 ?，?01?0 -1 ?， 2 维。?入-10-104 、入 I -M =0 入-10-110入 +10=入410 入 +1 ? 0100?J 0000 ?M =? m 0001?(入)=入2 ?0000?5 、不能找到四、求以下矩阵的广义逆矩阵：?111? ?1 、 A = 1-10 ?；000 ?111?102? ?解：A = 1-10 ?f 012?000 ? 000?-1? ? A 3 ? 3=B ? 3C 2? 2

8、=3 100 ?01?+HH -112? ?A =C (CC2、B = aT?1)B (B ) B =?0H-1H0122?H?1 (?0012? 102?11?11?-)1(-11-1 ? ? 00? 00?1?11 ?) 1 - ?1= 0?0?H卩，其中 a =(a 1a 2 ?a n )，卩=(b 1b 2 ?b n )。T解：r (B ) =r ( a3 ) =1故对B进行满秩分解，B n?n =M n?1N 1?n = a T 3A += 3 T ( 3 3 T )-1( a T ) T ?a T )-1 ?( a T ) T=3 T ( 33 T )- 1( a ? a T )

9、-1 ?aT T =3a =B五、矩阵A的特征多项式与最小多项式相等，均为(入-入0)，给出A , A , e , e 形。解：A :根据矩阵A的特征多项式与最小多项式相等，均为(入-入0) 4 ,可得42AA 2可能的 jordan 标准?入 0100?J 0 入 010 ?A =? 00 入 01 ? ?0A 2 s J 2A?2入010? X 0100?100?2J 2= 0 X 0?X 001?X010?入0? 0入22入01?A 00 入 01 ? ? 00入01?= 0 入 2?000 入? 00?00入？002 入?0?0? ?入 2?0?2入0*00 ?J = 0 入 20 ?

10、A 2? 00 入 2* ? ?00入 2?0?入20100?X22010 当入=000? ?入20=0, 那么 J 入 0A 200X21 ?或J 2= 0 0?A 00X2?00X 2? 00?令 f (x ) =e x， g (x ) =a +bx +cx 2+dx 3f 入 0 =g 入 0 e 入 0=a +b 入 0+c 入 230+d 入 0 f '入 0 =g '入 0 e 入 0=b +2c 入 0+3d 入 20 f '' 入 0 =g '' 入 0e 入 0=2c +6d 入 0 f ''' 入 0

11、=g '''入 0e 入 0=6d求出 a , b , c , d 代入，求出 f A =e A=g A =a +bA +cA 2+dA 3e A 2： 令 f x =e x 2，g x =a +bx +cx 2+dx 3f 入 0 =g 入 0 e入2=a +b 入 0+c 入 20+d 入 30f '入 0 =g '入 0 2xe 入 0=b +2c 入 0+3d 入 20 f '' 入 0 =g '' 入 02e 入 02 入 0+1 =2c +6d 入 00?0?0?入 2?0?f '''

12、入 020 =g ''' 入 04 入 0e 入2 入 0+2 入 0+1 =6d求出 a , b , c , d 代入，求出 f A =e A 2=g A =a +bA +cA 2+dA 3六、矩阵函数：?1、设 A = 100? 100?，求矩阵函数 e At ，并给出 e At的特征多项式。?011?解：求 eAt入-100入 I -A =-1入0=入(入-1) 20-1 入-10 ? r (I -A ) =-1仁2A J 00?0A =0-101 ? 1?00?1m A (入)=入(入-1) 2令 f (x ) =e xt， g (x ) =a +bx +cx

13、2f (0) =g (0) e 0=1=a f (1) =g (1)e t =a +b +c f '(1) =g '(1) te t =b +2ca =1b =2e t -te t -2c =te t -e t +1f (A ) =e At =g (A ) =aI +bA +cA 2=I +(2e t -te t -2) A +(te t -e t +1) A求eAt的特征多项式：A的特征值 入为0,1 , f (A )的特征值即为f (入)，故e At的特征值为e 0 ?t=1 ， e 1?t =e t 。?2、设 A = 000 ? -121?，试将 A 2e At 表示成

14、关于 A 的次数不超过 2 的多项式， 并求 A 2e A。?1 -10?100? ?2解：入 I -A =1 入-2- 1 =入(入-1)，当 入=1 时，r (I -A ) =r 1-1-1?=2-111? -11 入?000?J A = 011?001 ?令 f (x ) =x 2e xt入00m (入)=入(入-1) 2g (x ) =a +bx +cx 2 0=af (0) =g (0)f (1) =g (1)f '(1) =g '(1)e t =a +b +c2xe xt +x 2te xt =b +2cx2e xt +te t =b +2c求出 a , b , c 代入，求出 f (A ) =A 2e At =g (A ) =a +bA +cA 23七、设 R 的子空间 V =(x , y , z ) 2x -y +3z =0, n =(1,1,1)，求 n 0 V 使得-n 0=min - E。EV该题与“工程矩阵理论试卷样卷 10a 第三题类似，为找正投影问题。八、证明题：21 、证明：假设酉矩阵 A 满足 A -3A +2I =0 ，那么 A =I 。证明：令 f (x ) =x -3x +22f (A ) =A -3A +21 =0，二 f (x ) 为 A 的化零多项式，2 A的特征值一定是f (x ) 的根，入1=