2021年江苏省常州市中考数学真题含详解VIP

1、试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共8题）1、 的倒数是（） A 2 B 2 C D 2、 计算 的结果是（ ） A B C D 3、 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A 正方体 B 圆锥 C 圆柱 D 球 4、 观察所示脸谱图案，下列说法正确的是（ ） A 它是轴对称图形，不是中心对称图形 B 它是中心对称图形，不是轴对称图形 C 它既是轴对称图形，也是中心对称图形 D 它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 5、 如图， 是 的直径， 是 的弦若 ，则 的度数是（ ） A B C D 6、 以下转盘分别被分成 2 个、 4 个、 5 个、 6 个面积相等的扇形，任意

2、转动这 4 个转盘各 1 次已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是 ，则对应的转盘是（ ） A B C D 7、 已知二次函数 ，当 时， y 随 x 增大而增大，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 8、 为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控该商品的价格 （元 / 件）随时间 t （天）的变化如图所示，设 （元 / 件）表示从第 1 天到第 t 天该商品的平均价格，则 随 t 变化的图像大致是（ ） A B C D 二、解答题（共10题）1、 计算： 2、 解方程组和不等式组： （ 1 ） （ 2 ） 3、 为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正

3、在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据 “ 厨余垃圾 ” 、 “ 有害垃圾 ” 、 “ 可回收物 ” 和 “ 其他垃圾 ” 这四类标准将垃圾分类处理调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图 （ 1 ）本次调查的样本容量是 _ ； （ 2 ）补全条形统计图； （ 3 ）已知该小区有居民 2000 人，请估计该小区对垃圾分类知识 “ 完全了解 ” 的居民人数 4、 在 3 张相同的小纸条上，分别写上条件： 四边形 是菱形； 四边形 有一个内角是直角； 四边形 的对角线相等将这 3 张小纸条做成 3 支签，放在一个不透明的盒子中 （ 1 ）搅匀后从中任

4、意抽出 1 支签，抽到条件 的概率是 _ ； （ 2 ）搅匀后先从中任意抽出 1 支签（不放回），再从余下的 2 支签中任意抽出 1 支签四边形 同时满足抽到的 2 张小纸条上的条件，求四边形 一定是正方形的概率 5、 如图， B 、 F 、 C 、 E 是直线 l 上的四点， （ 1 ）求证： ； （ 2 ）将 沿直线 l 翻折得到 用直尺和圆规在图中作出 （保留作图痕迹，不要求写作法）； 连接 ，则直线 与 l 的位置关系是 _ 6、 为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半， 20 吨水可以比原来多用

5、 5 天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？ 7、 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、 B ，与反比例函数 的图像交于点 C ，连接 已知点 ， （ 1 ）求 b 、 k 的值； （ 2 ）求 的面积 8、 通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是 “ 数形结合 ” 思想的典型应用 （理解） （ 1 ）如图 1 ， ，垂足分别为 C 、 D ， E 是 的中点，连接 已知 ， 分别求线段 、 的长（用含 a 、 b 的代数式表示）； 比较大小： _ （填 “ ” 、 “ ” 或 “ ” ）

6、，并用含 a 、 b 的代数式表示该大小关系 （应用） （ 2 ）如图 2 ，在平面直角坐标系 中，点 M 、 N 在反比例函数 的图像上，横坐标分别为 m 、 n 设 ，记 当 时， _ ；当 时， _ ； 通过归纳猜想，可得 l 的最小值是 _ 请利用图 2 构造恰当的图形，并说明你的猜想成立 9、 在平面直角坐标系 中，对于 A 、 两点，若在 y 轴上存在点 T ，使得 ，且 ，则称 A 、 两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点已知点 、 ，点 在一次函数 的图像上 （ 1 ） 如图，在点 、 、 中，点 M 的关联点是 _ （填 “ B ” 、 “ C ” 或 “ D ”

7、）； 若在线段 上存在点 的关联点 ，则点 的坐标是 _ ； （ 2 ）若在线段 上存在点 Q 的关联点 ，求实数 m 的取值范围； （ 3 ）分别以点 、 Q 为圆心， 1 为半径作 、 若对 上的任意一点 G ，在 上总存在点 ，使得 G 、 两点互相关联，请直接写出点 Q 的坐标 10、 如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 和二次函数 的图像都经过点 和点 B ，过点 A 作 的垂线交 x 轴于点 C D 是线段 上一点（点 D 与点 A 、 O 、 B 不重合）， E 是射线 上一点，且 ，连接 ，过点 D 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F ，以 、 为邻边作 （ 1 ）填空： _

8、 ， _ ； （ 2 ）设点 D 的横坐标是 ，连接 若 ，求 t 的值； （ 3 ）过点 F 作 的垂线交线段 于点 P 若 ，求 的长 三、填空题（共10题）1、 计算： _ 2、 计算： _ 3、 分解因式： _ 4、 近年来， 5 G 在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者截至 2021 年 3 月底，中国已建成约 819000 座 5 G 基站，占全球 70% 以上数据 819000 用科学记数法表示为 _ 5、 数轴上的点 A 、 B 分别表示 、 2 ，则点 _ 离原点的距离较近（填 “ A ” 或 “ B ” ） 6、 如图，在平面直角坐标系

9、中，四边形 是平行四边形，其中点 A 在 x 轴正半轴上若 ，则点 A 的坐标是 _ 7、 如图，在 中，点 D 、 E 分别在 、 上， 若 ，则 _ 8、 中国古代数学家刘徽在九章算术注中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法如图所示，在 中，分别取 、 的中点 D 、 E ，连接 ，过点 A 作 ，垂足为 F ，将 分割后拼接成矩形 若 ，则 的面积是 _ 9、 如图，在 中， ，点 D 、 E 分别在 、 上，点 F 在 内若四边形 是边长为 1 的正方形，则 _ 10、 如图，在 中， ， D 是 上一点（点 D 与点 A 不重合）若在 的直角边上存在 4 个不同的点分别和点 A 、

10、 D 成为直角三角形的三个顶点，则 长的取值范围是 _ =参考答案=一、选择题1、 A 【分析】 直接利用倒数的定义即可得出答案 【详解】 解： 的倒数是 2 ， 故选： A 【点睛】 此题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键 2、 B 【分析】 根据幂的乘方公式，即可求解 【详解】 解： = ， 故选 B 【点睛】 本题主要考查幂的乘方公式，掌握幂的乘方公式，是解题的关键 3、 D 【分析】 首先根据俯视图将正方体淘汰掉，然后根据主视图和左视图将圆锥和圆柱淘汰，即可求解 【详解】 解： 俯视图是圆， 排除 A ， 主视图与左视图均是圆， 排除 B 、 C ， 故选： D 【点睛】 此题

11、主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 4、 A 【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可 【详解】 解：脸谱图案是轴对称图形，不是中心对称图形， 故选 A 【点睛】 本题主要考查轴对称和中心对称图形，掌握轴对称和中心对称图形的定义，是解题的关键 5、 C 【分析】 先根据平角的定义求出 AOB ，再根据等腰三角形的性质求解，即可 【详解】 解： ， AOB =180°-60°=120° ， OA = OB ， = OBA = （ 180°-12

12、0° ） ÷2=30° ， 故选 C 【点睛】 本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等，是解题的关键 6、 D 【分析】 根据概率公式求出每个选项的概率，即可得到答案 【详解】 解： A 指针落在阴影区域的概率是 ， B 指针落在阴影区域的概率是 ， C 指针落在阴影区域的概率是 ， D 指针落在阴影区域的概率是 ， 故选 D 【点睛】 本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式，是解题的关键 7、 B 【分析】 根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解 【详解】 二次函数 的对称轴为 y 轴，当 时， y 随 x 增大而增大，

13、 二次函数 的图像开口向上， a -1 0 ，即： ， 故选 B 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键 8、 A 【分析】 根据函数图像先求出 关于 t 的函数解析式，进而求出 关于 t 的解析式，再判断各个选项，即可 【详解】 解： 由题意得：当 1 t 6 时， =2 t +3 ， 当 6 t 25 时， =15 ， 当 25 t 30 时， =-2 t +65 ， 当 1 t 6 时， = ， 当 6 t 25 时， = ， 当 25 t 30 时， = = ， 当 t=30 时， =13 ，符合条件的选项只有 A 故选 A 【点睛

14、】 本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的关键 二、解答题1、 【分析】 先算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及平方运算，再算加减法，即可求解 【详解】 解：原式 = = 【点睛】 本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及平方运算法则，是解的关键 2、 （ 1 ） ；（ 2 ） -2 x 1 【分析】 （ 1 ）利用加减消元法，即可求解； （ 2 ）分别求出各个不等式的解，再取公共部分，即可求解 【详解】 解：（ 1 ） ， + ，得 3 x =3 ，解得： x =1 ， 把 x =1 代入 得： y =-1 ，

15、方程组的解为： ； （ 2 ） ， 由 得： x -2 ， 由 得： x 1 ， 不等式组的解为： -2 x 1 【点睛】 本题主要考查解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，掌握加减消元法以及解不等组的基本步骤，是解题的关键 3、 （ 1 ） 100 ；（ 2 ）补全图形见详解；（ 3 ） 600 【分析】 （ 1 ）用较多了解的人数 ÷ 对应百分比，即可求解； （ 2 ）先算出完全了解人数，较少了解人数，再补全统计图，即可； （ 3 ）用 2000ד 完全了解 ” 的百分比，即可求解 【详解】 解：（ 1 ） 55÷55 =100 （人）， 故答案是： 10

16、0 ； （ 2 ）完全了解人数： 100×30 =30 （人）， 较少了解人数： 100-30-55-5=10 （人）， 补全统计图如下： （ 3 ） 2000×30 =600 （人）， 答：估计该小区对垃圾分类知识 “ 完全了解 ” 的居民人数有 600 人 【点睛】 本题主要考查扇形统计图和条形统计图，准确找出相关数据，是解题的关键 4、 （ 1 ） ；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）根据等可能事件的概率公式，直接求解，即可； （ 2 ）先画出树状图，再根据概率公式，即可求解 【详解】 解：（ 1 ） 3 支签中任意抽出 1 支签，抽到条件 的概率 =1÷3=

17、 ， 故答案是： ； （ 2 ）画出树状图： 一共有 6 种等可能的结果，四边形 一定是正方形的可能有 4 种， 四边形 一定是正方形的概率 =4÷6= 【点睛】 本题主要考查等可能事件的概率，熟练画出树状图是解题的关键 5、 （ 1 ）见详解；（ 2 ） 见详解； 平行 【分析】 （ 1 ）根据 “ SAS ” 即可证明 ； （ 2 ） 以点 B 为圆心， BA 为半径画弧，以点 C 为圆心， CA 为半径画画弧，两个弧交于 ，连接 B ， C ，即可； 过点 作 M l ，过点 D 作 DN l ，则 M DN ，且 M = DN ，证明四边形 MND 是平行四边形，即可得到结论

18、 【详解】 （ 1 ）证明： ， BC = EF ， ， ABC = DEF ， 又 ， ； （ 2 ） 如图所示， 即为所求； l ，理由如下： ， 与 关于直线 l 对称， ， 过点 作 M l ，过点 D 作 DN l ，则 M DN ，且 M = DN ， 四边形 MND 是平行四边形， l ， 故答案是：平行 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造平行四边形是解题的关键 6、 该景点在设施改造后平均每天用水 2 吨 【分析】 设该景点在设施改造后平均每天用水 x 吨，则原来平均每天用水 2 x 吨，列出分式方程，即可求解 【详解】 解：

19、设该景点在设施改造后平均每天用水 x 吨，则原来平均每天用水 2 x 吨， 由题意得： ，解得： x =2 ， 经检验： x =2 是方程的解，且符合题意， 答：该景点在设施改造后平均每天用水 2 吨 【点睛】 本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键 7、 （ 1 ） b =2 ， k =6 ；（ 2 ） 6 【分析】 （ 1 ）过点 C 作 CD x 轴，则 OB CD ，把 代入 得： b =2 ，由 ，得 ，进而即可求解； （ 2 ）根据三角形的面积公式，直接求解即可 【详解】 解：（ 1 ）过点 C 作 CD x 轴，则 OB CD ， 把 代入 得： ，

20、解得： b =2 ， ， 令 x =0 代入 ，得 y =2 ，即 B (0 ， 2) ， OB =2 ， ， OB CD ， ， ，即： DA =6 ， CD =3 OD =6-4=2 ， D (2 ， 3) ， ，解得： k =6 ； （ 2 ） 的面积 = 【点睛】 本题主要考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法以及函数图像点的特征，是解题关键 8、 （ 1 ） ， = ； ， ；（ 2 ） ， 1 ； l 的最小值是 1 ，理由见详解 【分析】 （ 1 ） 先证明 ，从而得 ，进而得 CD 的值，根据直角三角形的性质，直接得 CE 的值； 根据点到线之间，

21、垂线段最短，即可得到结论； （ 2 ） 把 m ， n 的值直接代入 = 进行计算，即可； 过点 M 作 x ， y 轴的平行线，过点 N 作 x ， y 轴的平行线，如图所示，则 A ( n ， ) ， B ( m ， ) ，画出图形，用矩形的面积表示 ，进而即可得到结论 【详解】 解：（ 1 ） ， ACD + A = ACD + BCD =90° ，即： A = BCD ， 又 ADC = CDB =90° ， ， ，即： ， ，即： （负值舍去）， E 是 的中点， = = ； ， ， ，即： 故答案是：； （ 2 ） 当 时， = = ， 当 时， = = ， 故

22、答案是： ， 1 ； l 的最小值是： 1 ，理由如下： 由题意得： M ( m ， ) ， N ( n ， ) ，过点 M 作 x ， y 轴的平行线，过点 N 作 x ， y 轴的平行线，如图所示，则 A ( n ， ) ， B ( m ， ) ， = = = （ 的面积 + 的面积） + 的面积 + （ 的面积 + 的面积） + （ 的面积 + 的面积 + 的面积 + 的面积） = （ 的面积 + 的面积） + （ 的面积 + 的面积） + （ 的面积 + 的面积） + （ 的面积 + 的面积） + 的面积 = (1+1+1+1+ 的面积 )1 ， l 的最小值是 1 【点睛】 本题主要

23、考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键 9、 （ 1 ） B ； ；（ 2 ） 或 ；（ 3 ） 或 【分析】 由材料可知关联点的实质就是将点 A 绕 y 轴上点 T 顺时针或逆时针旋转 90 度的得到点 故先找到旋转 90° 坐标变化规律，再根据规律解答即可， （ 1 ） 根据关联点坐标变化规律列方程求解点 T 坐标，有解则是关联点；无解则不是； 关联点的纵坐标等于 0 ，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可； （ 2 ）根据关联点坐标变化规律得出关联点 ，列不等式求解即可；

24、 （ 3 ）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点 E 坐标求出点 Q 坐标即可 【详解】 解：在平面直角坐标系 中，设 ，点 ，关联点 ， 将点 A 、点 、点 T 向下平移 个单位，点 T 对应点与原点重合，此时点 A 、点 对应点 、 ， 绕原点旋转 90 度的坐标变化规律为：点（ x ， y ）顺时针旋转，对应点坐标为（ y ， - x ）；逆时针旋转对应点坐标为（ - y ， x ）， 绕原点旋转 90 度的坐标对应点坐标为 或 ， 即顺时针旋转时， 解得： ，即关联点 ， 或逆时针旋转时， ，解得： ，即关联点 ， 即：在平面直角坐标系 中，设 ，点 ，关联点坐标为 或 ，

25、 （ 1 ） 由关联点坐标变化规律可知，点 关于在 y 轴上点 的关联点坐标为： 或 ， 若点 是关联点，则 或 ，解得： ，即 y 轴上点 或 ，故点 是关联点； 若点 是关联点，则 或 ，无解，故点 不是关联点； 若点 是关联点，则 或 ，无解，故点 不是关联点； 故答案为： B ； 由关联点坐标变化规律可知，点 关于点 的关联点 的坐标为 或 ， 若 ，解得： ，此时即点 ，不在线段 上； 若 ，解得： ，此时即点 ，在线段 上； 综上所述：若在线段 上存在点 的关联点 ，则点 故答案为： ； （ 2 ）设点 与点 是关于点 关联点，则点 坐标为 或 ， 又因为点 在一次函数 的图像上，

26、即： ， 点 在线段 上，点 、 ， 当 ， ， ， 或 ， ， 当 ； 综上所述：当 或 时，在线段 上存在点 Q 的关联点 （ 3 ）对 上的任意一点 G ，在 上总存在点 ，使得 G 、 两点互相关联， 故点 E 与点 Q 也是关于同一点的关联，设该点 ，则 设点 与点 是关于点 关联点，则点 坐标为 或 ， 又因为 在一次函数 的图像上，即： ， 点 ， 若 ，解得： ， 即点 ， 若 ，解得： ， 即点 ， 综上所述： 或 【点睛】 本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转 90° 的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解 10、

27、 （ 1 ） ， 1 ；（ 2 ） ；（ 3 ） 【分析】 （ 1 ）把 分别代入一次函数解析式和二次函数解析式，即可求解； （ 2 ）先证明 EF = ED ，结合 D ( t ， ) ， F ( t ， ) ，可得点 E 的纵坐标为： ，过点 A 作 AM EG ，延长 GE 交 x 轴于点 N ，由 ，从而得 ，进而即可求解； （ 3 ）先推出 ，由 FP AC ，得 ，结合 ，可得 DA = = ，结合 DA + OD =5 ，列出方程，即可求解 【详解】 解：（ 1 ）把 代入 得： ，解得： ， 把 代入 得： ，解得： b =1 ， 故答案是： ， 1 ； （ 2 ） 在 中，

28、， ， = ， EF = ED ， 设点 D 的横坐标是 ，则 D ( t ， ) ， F ( t ， ) ， 点 E 的纵坐标为：（ ） ÷2= ， 联立 ，解得： 或 ， A (4 ， 3) ， 过点 A 作 AM EG ，延长 GE 交 x 轴于点 N ，则 AEM = NEC = AOC ， ， 又 = ， ，解得： （舍去）或 ， ； （ 3 ）当 时，则 ， FP ， AB AC ， FP AC ， ， FDQ = ODH ， ， 又 DF = - = ， DQ = ， DA = = ， DA + OD =5 ， + =5 ，解得： 或 （舍去）， OD = = 【点睛】

29、 本题主要考查二次函数与平面几何的综合，根据题意画出图形，添加合适的辅助线，熟练掌握锐角三角函数的定义，平行四边形的性质，是解题的关键 三、填空题1、 3 【详解】 试题分析：根据立方根的定义，求数 a 的立方根，也就是求一个数 x ，使得 x 3 =a ，则 x 就是 a 的一个立方根： 3 3 =27 ， 2、 【分析】 先去括号，再合并同类项，即可求解 【详解】 解：原式 = = ， 故答案是： 【点睛】 本题主要考查整式的运算，掌握去括号法则以及合并同类项法则，是解题的关键 3、 【分析】 根据平方差公式分解因式，即可 【详解】 解： ， 故答案是： 【点睛】 本题主要考查因式分解，掌

30、握平方差公式是解题的关键 4、 8.19×10 5 【分析】 科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1| a | 10 ， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 10 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【详解】 解： 819000=8.19×10 5 ， 故答案是： 8.19×10 5 【点睛】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1| a | 10 ， n 为整数，表示时关键要

31、正确确定 a 的值以及 n 的值 5、 B 【分析】 先求出 A 、 B 点所对应数的绝对值，进而即可得到答案 【详解】 解： 数轴上的点 A 、 B 分别表示 、 2 ， ，且 3 2 ， 点 B 离原点的距离较近， 故答案是： B 【点睛】 本题主要考查数轴上点与原点之间的距离，掌握绝对值的意义，是解题的关键 6、 （ 3 ， 0 ） 【分析】 根据平行四边形的性质，可知： OA = BC =3 ，进而即可求解 【详解】 解： 四边形 是平行四边形， OA = BC =3 ， 点 A 的坐标是（ 3 ， 0 ）， 故答案是：（ 3 ， 0 ） 【点睛】 本题主要考查平行四边形的性质以及点的坐标，掌握平行四边形的对边相等，是解题的关键 7、 100 【分析】 先根据三角形内角和定理求出 A =80° ，再根据平行线的性质，求出 ，即可 【详解】 解