吉林省2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题含解析

1、试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共12题）1、 已知直线 l 的方程为 ，则直线的倾斜角为（ ） A B 60° C 150° D 120° 2、 已知向量 ， 若向量 与向量 平行，则实数 m 的值是（ ） A 2 B -2 C 10 D -10 3、 抛物线 的一条焦点弦为 AB ，若 ，则 AB 的中点到直线 的距离是 A 4 B 5 C 6 D 7 4、 双曲线 的渐近线方程是（ ） A B C D 5、 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 与椭圆 有相同的焦距，且一条渐近线方程为 x 2 y 0 ，则双曲线 C 的方程可能为（ ）

2、 . A B C D 6、 已知圆 ： 与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线 的一条渐近线相切，则双曲线 的离心率为（ ） A 或 4 B 或 2 C D 2 7、 已知椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 交于 两点且线段 的中点为 ，则直线 的斜率为（ ） A B C D 8、 已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是 A 内切 B 相交 C 外切 D 相离 9、 已知命题 p ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则使命题 成立的充分不必要条件是（ ） A B C D 10、 关于空间向量，以下说法不正确的是（ ） . A 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共

3、面 B 若对空间中任意一点 ，有 ，则 、 、 、 四点共面 C 已知 是空间的一组基底，若 ，则 也是空间的一组基底 D 若 ，则 是锐角 11、 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，椭圆 的上顶点为 ，且 , 曲线 和椭圆 有相同焦点，且双曲线 的离心率为 ， 为曲线 与 的一个公共点，若 ，则（ ） . A B C D 12、 设 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上任意一点，过 作 平分线的垂线，垂足为 ，则点 到直线 的距离的最大值是（ ） . A 4 B 5 C 6 D 3 二、填空题（共4题）1、 抛物线 过点 ，则点 P 到抛物线准线的距离为 _ 2、 双曲线 的离心率为

4、 ，则其渐近线的斜率是 _ 3、 过圆 内的点 作一条直线 ，使它被该圆截得的线段最短，则直线 的方程是 _ 4、 已知椭圆的对称轴是坐标轴， O 为坐标原点， F 是一个焦点， A 是一个顶点，椭圆的长轴长为 6 ，且 cos OFA ，则椭圆的标准方程是 _. 三、解答题（共6题）1、 已知椭圆 C 的一个焦点 ，且短轴长为 . （ 1 ）求椭圆 C 的方程； （ 2 ）若点 P 在 C 上，且 ，求 的面积 . 2、 如图，在棱长为 的正方体 中，点 是 的中点 . （ 1 ）求证： 平面 ； （ 2 ）求直线 到平面 的距离 . 3、 己知过点 的抛物线方程为 ，过此抛物线的焦点的直线

5、与抛物线交于 ， 两点，且 . （ 1 ）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； （ 2 ）求 所在的直线方程 . 4、 已知动圆过定点 ，且在 轴上截得的弦长为 ，动圆圆心的轨迹方程为 ，过点 的直线与轨迹 只有一个公共点，求此直线方程 . 5、 已知抛物线 与直线 相交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点 . （ 1 ）求证： ； （ 2 ）当 时，求 的值 . 6、 已知点 A ( 1,0) ，点 P 是 B ： ( x 1) 2 y 2 16 上的动点线段 AP 的垂直平分线与 BP 交于点 Q （ 1 ）设点 Q 的轨迹为曲线 C ，求 C 的方程 （ 2 ）过 x 轴上一动点 R

6、作两条关于 x 轴对称的直线 与 ，设 M ， N 分别是 ， 与曲线 C 的交点且 M ， N 不关于 x 轴对称， MN 与 x 轴交于点 S ， 是否为定值？若是定值，请求出定值，若不是定值，请说明理由 =参考答案=一、选择题1、 C 【分析】 由直线方程得斜率，从而可得倾斜角 【详解】 由题意直线的斜率为 ，而倾斜角大于等于 且小于 ， 故倾斜角为 故选： C 2、 A 【分析】 利用向量共线定理即可得到 ，再进行向量坐标化，由向量相等得到参数值 . 【详解】 向量 ， ， ， 向量 与向量 ， ， 平行， 存在实数 使得 ，坐标化得到： ，解得 故选： A 3、 B 【分析】 设出

7、两点的坐标，根据抛物线方程求得 的值，利用抛物线的定义，求得 中点到直线 的距离 . 【详解】 设 ，抛物线方程为 ，故 . 根据抛物线的定义有 ，所以 中点的横坐标为 ，故 中点到直线 的距离为 ，故选 B. 【点睛】 本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦有关问题，属于基础题 . 4、 C 【分析】 根据双曲线的标准方程，即可直接求出其渐近线方程 . 【详解】 双曲线的标准方程为 ， 双曲线的焦点在 轴， ， ，且双曲线的渐近线方程为 ，即 . 故选： C. 5、 A 【分析】 根据题意求出双曲线的焦距，再结合渐近线方程，讨论焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况，进而建立 a , b

8、 的方程组，然后验证选项即可求得答案 . 【详解】 根据椭圆方程 得到双曲线的焦距为 ，则 ，而双曲线的其中一条渐近线方程为： . 若双曲线的焦点在 x 轴上，则 ，答案 A,B 中双曲线的焦点在 x 轴上，容易验证 A 正确， B 错误； 若双曲线的焦点在 y 轴上，则 ，答案 C,D 中双曲线的焦点在 y 轴上，容易验证都错误 . 故选： A. 6、 B 【分析】 分双曲线的焦点在 x 轴上和 y 轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径求解 . 【详解】 圆 ： 的圆心为 ，半径为 1 ， 当双曲线的焦点在 x 轴上时，其渐近线方程为 ， 由题意得 ，即 ， 所以 ， 所以 ， 当双曲线的焦点

9、在 y 轴上时， ， 则 ， 故选： B 7、 A 【分析】 可以从离心率条件求出 ，利用点差法推导出中点弦定理，即 ，从而求出直线 的斜率 【详解】 ，从而 ，设 ， ，因为点 在椭圆上，则 ，两式相减，得： ，即 ，所以 ，设原点为 ，则 ， ，则 ，因为 ，求得： 故选： A 8、 B 【详解】 化简圆 到直线 的距离 ， 又 两圆相交 . 选 B 9、 B 【分析】 若 表示焦点在 轴上的椭圆，可得 即可得 的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解 . 【详解】 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆， 则 ，解得： 所以 成立的充要条件是： 结合四个选项可知： 成立的充分不必要条件是 ， 故

10、选： B. 10、 D 【分析】 对 A ，根据空间向量共面定理即可判断； 对 B ，根据 即可判断； 对 C ，根据题意可知 不共面，进而判断答案； 对 D ，由 可得夹角的范围，进而判断答案 . 【详解】 对 A ，根据空间向量共面定理可知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 .A 正确； 对 B ，因为 ，且 ，所以 、 、 、 四点共面 .B 正确； 对 C ，因为 是空间的一组基底，所以 不共面，则 也不共面，而 ，则 也是空间的一组基底 .C 正确； 对 D ，若 ，则 .D 错误 . 故选： D. 11、 B 【分析】 根据 . 可得 ，可得 ，设 ， . 可

11、得 ，根据余弦定理化简，利用离心率计算公式即可得出 . 【详解】 解：如图所示，设双曲线的标准方程为： ，半焦距为 . 椭圆 的上顶点为 ，且 . ， ， . . 不妨设点 在第一象限，设 ， . ， . . 在 中，由余弦定理可得： . 两边同除以 ，得 ，解得： . , . 故选： B 12、 A 【分析】 根据双曲线的对称性，不妨设点 P 在双曲线的右支上，延长 交 于 N ，进而得到 ，结合双曲线的定义可知 ，设 ，根据题意得到点 N 的坐标，于是得到点 M 的轨迹方程，最后求得答案 . 【详解】 双曲线的方程为： ，可得 ，则 ，设 ，不妨设点 P 在双曲线的右支上，延长 交 于 N

12、 ，则 . 由题意， ，由双曲线的定义： ，则 ，于是， ，即点 M 在以原点为圆心， 2 为半径的圆上，而圆心（ 0,0 ）到直线 的距离为： ，该直线与圆相切，则点 M 到该直线的距离的最大值为： 2+2=4. 故选： A. 二、填空题1、 5 【分析】 根据点 为抛物线 上一点可求出 的值，即可知抛物线的准线方程，从而求出所求 【详解】 解： 点 为抛物线 上一点， ，解得 ， 抛物线方程为 准线方程为 ， 点 到抛物线的准线的距离为 故答案为： 5 2、 【分析】 由 ，结合 ，可得 ，即得解 【详解】 ，又 ， ，即 故答案为： 3、 【分析】 由已知得圆 的圆心为 ，所以当直线 时

13、，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程 . 【详解】 解：由 得 ，所以圆 的圆心为 ， 所以当直线 时，被该圆截得的线段最短，所以 ，解得 ， 所以直线 l 的方程为 ，即 ， 故答案为： . 4、 或 . 【分析】 确定 A 是短轴的端点，根据三角函数得到 c 2 ，考虑椭圆焦点在 轴的两种情况，得到答案 . 【详解】 因为椭圆的长轴长是 6 ， ，所以点 A 不是长轴的端点 ( 是短轴的端点 ). 所以 | OF | c ， | AF | a 3 ，所以 ，所以 c 2 ， b 2 3 2 2 2 5 ， 所以椭圆的方程是 或 . 故答案为： 或 . 【点睛】 本题考查了求椭圆的标准方

14、程，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于基础题型 . 三、解答题1、 （ 1 ） （ 2 ） 【分析】 （ 1 ）由题意求出 b ， c ，进而求出 a ，最后得到答案； （ 2 ）根据题意 轴，进而求出点 P 的坐标，即求得 的高 ，然后求出面积 . （ 1 ） 由题意， ，则椭圆 C 的方程为： . （ 2 ） 由已知， ， 轴，将 代入椭圆 C 的方程解得： ，于是， ，即 的面积为 . 2、 （ 1 ）证明见解析； （ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）连结 交 于点 ，进而证明 ，然后根据线面平行的判定定理证明问题； （ 2 ）由（ 1 ）可知，问题可转化为求点 到平面 的距离，进而

15、通过空间向量的方法求出点面距离 . （ 1 ） 连结 交 于点 ，连结 ，因为四边形 为正方形，所以 是 中点，又因为 是 的中点，所以 . 又因为 平面 平面 ，所以 平面 . （ 2 ） 由题意，以 为坐标原点，以 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，因为 平面 ，所以直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，所以 ，即 到平面 的距离为 . 3、 (1) 抛物线的方程为 ，焦点 ，准线方程为 ； (2) 或 . 【分析】 (1) 根据给定条件求出 p 值即可求解； (2) 设出直线 AB 的方程，与

16、抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得 . 【详解】 (1) 因点 在抛物线方程 上，则 ， 所以抛物线的方程为 ，焦点 ，准线方程为： ； (2) 显然，直线 不垂直 y 轴，设直线 方程为： ， 由 消去 x 得： ，设 ，则有 ， 于是得 ，解得 ，即直线 AB ： ， 所以 所在的直线方程： 或 . 4、 或 或 ； 【分析】 设圆心 ，过点 作 轴，垂足为 ，利用垂径定理可得 ，又 ，利用两点间的距离公式即可得出动圆圆心的轨迹方程，依题意 显然满足条件，再设直线方程为 ，联立直线与抛物线方程，消元，根据 得到方程，求出参数 的值，即可求出直线方程； 【详解】 解：如图设圆

17、心 ， ，圆 与 轴交于 、 两点，过点 作 轴，垂足为 ，则 ， ， ，化为 ； 即动圆圆心的轨迹 的方程为 ， 显然 过点 且与抛物线 只有一个交点，满足条件； 设过点 的直线方程为 ，联立方程得 ，消去 得 ，所以 ，解得 ，所以直线方程为 或 ，即 或 ， 综上可得直线方程为： 或 或 ； 5、 （ 1 ）证明见解析； （ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）假设 ，联立直线与抛物线方程并使用韦达定理可得 ，进一步得到 ，然后计算 即可得到结果 . （ 2 ）计算 ，然后根据 ， 代入计算即可 . （ 1 ） 联立方程 ，消去 得 ， 设 ，则 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 故 . （ 2 ） 由（ 1 ）可知： 所以 则 又 所以 所以 ，又 所以 所以 6、 （ 1 ） （ 2 ）是， 4. 【分析】 （ 1 ）利用椭圆的定义即得； （ 2 ）设 ，利用直线方