6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

1、6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课标要求素养要求掌握数乘向量的坐标运算法那么,理解用 坐标表示平面向量共线的条件,掌握三 点共线的判断方法.通过数乘向量的坐标运算,理解平面向 量共线的坐标表示形式,体会数学运算 及数学抽象素养.课前预习知识探究教材知识探究B情境粉贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地,依次经过B地、C地、D地,且相邻两地之间的距离均为 502 km.问从A地到E地的行程有多少 其解答方法是：国 八贝贝：502+502+502+ 502=1 004+ 502+502=1 506+ 502=2 008(km).晶晶：502X4 = 2 008(km).可以看出,晶晶的计

2、算较简捷,乘法是加法的简便运算,构建了乘法运算体系后, 给一类问题的解决带来了很大的方便.问题1当a/ b时,a, b的坐标成比例吗提示横纵坐标均不为0时成比例.问题2如果两个非零向量共线,你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗提示 能.将b写成2a形式,A0时,b与a同向,入0时,b与a反向.除新唠理1 .平面向量数乘运算的坐标表示设向量a=(x, y),那么有 电=(入x入),这就是说实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标.2 .平面向量共线的坐标表示利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快设a=(x1, y1), b= (x2, y2),其中bw0

3、.向量a, b(bw0)共线的充要条件是x1y2X2y1= 0.)3.中点坐标公式x1 + x2X=Q ,假设Pi,P2的坐标分别是(xi,yi),(x2,y2),线段PiP2的中点P的坐标为(x, y),x -2 ,_y1+y2y 2 ,那么此公式为线段P1P2的中点坐标公式.,教材拓展补遗微判断xi x21 .右向重 a=(x1,yi), b= (x2, y2),且 a/b,那么 口= £.(x )2 .假设向量 a=(xi,yi),b=(x2,y2),且xiyi x2y2= 0,那么 a/b.(X)3 .假设向量 a=(xi,yi),b=(x2,y2),且xiy2 x2yi =

4、 0,那么 a / b.(V)提小 1.当丫1/ = 0时不成立.两向量共线的坐标表示为xiy2 x2yi = 0,故2错,3正确.微练习1 .平面向量 a=(i, 2), b=(2, m),且 a/b,那么 2a+3b=()A.( -2, -4)B.(-3, -6)C.(-4, -8)D.(-5, 10)解析 由 a/ b 得到 m = 4,所以 b=(2, 4),所以 2a+3b= (2, 4)+(6, 12) = ( 4, -8).答案 C2 .向量 a=(2, 4), b=(i, 1),那么 2ab =.解析 2a- b=2(2, 4)-(-1, 1)=(5, 7).答案(5, 7)3

5、 .P(2, 6), Q(-4, 0),那么PQ的中点坐标为.解析 根据中点坐标公式可得,PQ的中点坐标为(一1, 3).答案 (一1, 3)微思考1 .向量(共线)平行的用途是什么提示 利用向量平行(共线)可以证实向量共线、三点共线,解决有关平行问题.2 .当两个向量共线时,如何利用向量的坐标运算求点的坐标提示当两个向量共线时,利用向量的坐标运算可求点的坐标.比方A, B, P三点共线且|动|=3|陌,如果知道点A, B的坐标就可以求出点P的坐标.事实上,由|茹|=3|m|且A, B, P三点共线,可知AP=3PB或AP= 3PB,这样根据向量 的坐标运算就可以求出点P的坐标.课堂互动能型剖

6、折H题型一 向量的坐标运算【例 11 a=(1, 2), b=(2, 1),求： (1)2a+3b; (2)a-3b;1 1(3)1a- 1b.可先进行数乘向量的坐标运算,再进行向量坐标加减运算2 3解 (1)2a+3b = 2(1, 2)+ 3(2, 1)=(2, 4)+(6, 3)=(4, 7).(2)a3b=(1, 2) 3(2, 1)=(1, 2)-(6, 3)=(7, - 1).2a H 1, 2) 一,2, 1)= -2, 1 二 二3' 37 2二6' 3 .规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法那么及数乘运算进行,解题时 要注意方程思想的运用及正确使用运

7、算法那么【练习 11(1)向量 a=(5, 2), b=(4, 3),假设 c 满足 3a 2b+c=0,那么 c=()A.(-23, 12)B.(23, 12)C.(7, 0)D.(-7, 0)(2) M(3, 2), N(-5, 1), IMP = 2MN,那么 P 点坐标为.解析(1)由 3a2b+c=0, .c= 3a +2b= 3(5, 2)+2( 4, 3)=( 23, 12), c=( 23, 12).13(2)设 P(x, y), a IMP=(x 3, y+ 2), MN = (8, 1),由MP=MN得 P 1,一.一、3答案(1)A (2)1, -2题型二 向量平行(共线

8、)的判定在利用向量共线的坐标表示进行判定时,易出现坐标之间的搭配错误而致误的情况【例2】(1)以下向量组中,能作为平面内所有向量基底的是()A.ei=(0, 0), e2= (1, 2)B.ei=(1, 2), &=(5, 7)C.ei = (3, 5), e2=(6, 10)13D.e1=(2, -3), 62= 2,41解析 A中向重e1为零向重,e1/e2； C中e1 = e2,e1 / e2； D 中 e1 = 4e2,e1 / e2,应选 B.答案 B(2)a=(1, 2), b = ( 3, 2),当k为何值时,ka+b与a 3b平行平行时它 们是同向还是反向解 ka+b=

9、k(1, 2)+(3, 2)=(k3, 2k+ 2),a 3b= (1, 2)-3(-3, 2) = (10, 4),ka+b 与 a3b 平行,. . (k 3)X(-4)-10(2k+ 2) = 0,-1解得k=-31 八 2 一 1此时 ka+b= -3-3, -3+ 2 =_3(a _ 3b),当k= 3'时,ka+b与a3b平行,并且反向.规律方法1.向量共线的判定方法利用向董并宣的电标表造 式“1厂10产H直接证实利用手歧向量定理,由 推出a/讷2利用向量平行的条件求参数值的思路(1)利用共线向量定理a= ；b(bw0)列方程组求解.(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.

10、【练习 2 假设a=(y/3,coso),b=(3, sina),且 a/b,那么锐角 后解析: a=(V3, cos o), b=(3, sin 虫,all b,3sin a 3cos a= 0,即 tan 货二 3,Pc冗工A冗又 0< 0<,故 a= 3.答案1 3题型三三点共线问题向量共线的坐标表示是解决点共线求参数问题中列方程的重要依据【例 3】(1)OA=(k, 2), OB=(1, 2k), OC=(1-k, 1),且相异三点 A, B, C共线,那么实数k=.解析 AB = OB OA = (1 k, 2k2), AC=OCOA= (1 2k, 3),由题意可 知A

11、B/AC,所以(一3)X(1 k)(2k2)(12k) = 0,解得 k= 4或卜=1,当 k= 1时,A, B重合,故舍去.1答案； A(-1, 1), B(1, 3), C(1, 5), D(2, 7),向量 AB与CD平行吗直线AB平行于直线CD吗解 由于茹=(2, 4), CD = (1, 2),又由于 2X2 4X1=0,所以AB/CD,由于AC=(2, 6), AB=(2, 4),所以 2X42X6W0,所以A, B, C三点不共线,所以直线 AB与直线CD不重合,所以AB/CD.规律方法三点共线的条件及判断方法(1)假设 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y

12、3),那么 A, B, C 三点共线的条件为(x2 x1)(y3 y1) (x3 X1)(y2 y1) = 0.(2)假设三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法：直接利用上述条件,计算(x2x1)(y3y.一 (x3x1)(y2 y1)是否为0;任取两点构成向量,计算出两向量,如 Afe, AC,再通过两向量共线的条件进行 判断.1【练习3】 A(1, 3), B 8, 2 , C(9, 1),求证：A, B, C二点共线.一 一1 一 7证实 AB= 8-1, 2 + 3 = 7, 2 ,AC=(91, 1 + 3)=(8, 4),v7X4-|x 8 = 0,.AB/AC,且丽,AC有

13、公共点A,.A, B, C三点共线.核心素养:至面提升IB i II i一、素养落地1 .通过数乘向量的坐标运算,培养数学运算素养.通过学习三点共线的坐标表示方法提升数学抽象素养.2 .两个向量共线条件的表示方法 a=(xi, yi), b=(x2, y2),当bw0时,a= /b.(2)xiy2 X2yi = 0.(3)当X2y2*0时,不=",即两向量的相应坐标成比例.X2 y23 .两向量共线的坐标表示的应用,可分为两个方面两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识,可以证实 三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、 平行.(2)两

14、个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹方程.要注意方程 思想的应用,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列方程的依据.二、素养练习1 .以下各组向量中,共线的是()A.a=( 2, 3), b=(4, 6)B.a=(2, 3), b=(3, 2)C.a=(1, 2), b=(7, 14)D.a=( 3, 2), b=(6, -4)解析 选项A中,3X 4-(-2)X60,那么a与b不共线；同理,B, C中的两向 量不共线；选项 D中,2X6( 3)X(4)=0,那么有a/b.答案 D2 .向量a=(2, 1), b=(x1, 2),假设a/b,那么实数x的值为()A.2B.-2C

15、.3D.-3解析 由于 a/ b,所以 2X2(1)x(x1)=0,彳# x= -3.答案 D3 .假设点 A(2, 0), B(3, 4), C(2, a)共线,那么 a =.解析AB=(5, 4), AC=(4, a),由于 A, B, C 三点共线,所以 AB/AC,故 5a ,1616 = 0,所以 a = 516答案旨54 .与向量a=( 3, 4)平行的单位向量是 解析 设与a平行的单位向量为e= (x, y),那么x2+y2=1,4x+3y= 0,3序4y53x= 5,4 v= -5.根底达标、选择题1 .向量 a=(3, 5), b=(cos a, sin o),且 a/A.|

16、b5B.3b,那么tan l等于( d.-!解析 由 a/ b,彳3 5cos a 3sin a= 0,即 tan a=53.答案 B2 .以下向量中,与向量A.(5, 4)c.3,1c=(2, 3)不共线的一个向量p等于()c /38. 1,万c 1 1D. 3' 2A中向量与c解析 由于向量c= (2, 3),对于A, 2X4 3X 5= 7W0,所以 不共线.答案 A 3.以下各组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是A.ei=(2, 2), e2=(1, 1)B.ei=(1, 2), &=(4, -8)C.ei = (1, 0), e2=(0, -1)1 .

17、D.e1=(1, 2), 62= 2,1解析 选项C中,a, e2不共线,可作为一组基底.答案 C4 .向量 a=(1, 2), |b|=4|a|, a/ b,那么 b可能是()A.(4, 8)B.(8, 4)C.(-4, -8)D.(-4, 8)解析由a/ b可排除A, B, C,应选D.答案 D5 .向量区=(k, 12), PB=(4, 5),比=(10, k),假设 A, B, C 三点共线,那么 k 的 值为()A.-2B.11C.2 或 11D.2 或 11解析 AB=PB-FA=(4-k, 7), BC=无一附=(6, k- 5),由题知丽/吃, 故(4k)(k5)(7)X6=

18、0,解得 k=11 或 k= -2.答案 C二、填空题6 .设向量a=(1, 0), b=(1, 1),假设向量2a+b与向量c= (6, 2)共线,那么实数 入=.解析2a+b=(入 0)+(1, 1) = (狂 1, 1),由于(a+b)/c,所以 2(狂 1) 6=0,解得人=2.答案 2., 一 1 7.A(2, 0), B(0, 2),假设AC = AB,那么点C的坐标是.3解析 设 C(x, y),那么AC=(x 2, y),丽=(2, 2),所以(x2, y)= I,弓,得 x=g, y=(,3 3334 2答案4, 2 3 38.设5A=(2, 1), OB=(3, 0), O

19、C=(m, 3),假设 A, B, C 三点能构成三角形, 那么实数m的取值范围是.解析 /A, B, C三点能构成三角形, aB, aC不共线.又. Afe=(1, 1), AC=(m2, 4),1X41X(m2)w0.解得mw 6.m的取值范围是m|m C R且mw 6.答案m|mCR 且 mw6三、解做题9 .如下图,在平行四边形 ABCD 中,A(0, 0), B(3, 1), C(4, 3), D(1 , 2), M,N分别为DC, AB的中点,求AM, CN的坐标,并判断AM, CN是否共线.5 53 1解由可得m 2,2,n 2,万,5 5-55所以aM= - 2 , CN= -

20、2,一万,5- 2X5- 22 =0,所以AM和CN共线.10 . A( 2, 4), B(3, 1), C(-3, 4)且CM = 3CA, CN=2CB,求点 M,N的坐标.证实 法一vA(-2, 4), B(3, 1), C(-3, 4), .CA=( 2, 4)-(-3, 4) = (1, 8),CB=(3, 1)( 3, 4)=(6, 3).v(CM = 3CA, CN = 2CB, .CM = 3(1, 8) = (3, 24), CN=2(6, 3) = (12, 6).设 M(xi, yi), N(x2, y2), .CMl = (xi + 3, yi + 4) = (3, 2

21、4),x2 + 3=i2, y2 + 4 = 6.x2=9,y2=2.CN = (x2+3, y2 + 4)=(12, 6),xi + 3= 3,yi + 4=24,xi = 0,解得 ccy1 = 20, .M(0, 20), N(9, 2).法二设O点为坐标原点, 那么由 CMl = 3CA, cN=2CB,可得 Om OC=3(OAOC),On-OC=2(oB-OC), OMl = 3OA 2Ot, ON = 2OB OC. OMl = 3(2, 4)-2(-3, 4)=(0, 20),ON = 2(3, 1)(3, 4) = (9, 2). .M(0, 20), N(9, 2).水平提

22、升111.平面上有A(2, 1), B(1, 4), D(4, 3)三点,点C在直线AB上,且AC = 21B C,连接DC延长至E,使|C EfE D|,那么点E的坐标为.解析.京=2吃, .A为BC的中点,AC = BA,设 C(xc, yc),那么(xc2, yc+1) = (1, 5),.C点的坐标为(3, 6),又|庭| = 4由|,且E在DC的延长线上,.CE=-1ED,4,设 E(x, y), 1,八、那么(x 3, y+ 6)= 4(4 x, -3-y),x3= 1(4 x),8得d解得3,1y+6= 4 (3-y) ,y= -7.故点E的坐标是I, 7 .38 答案 3, 一712