高数上册课件第一章课件

1、参考资料：1、高等数学典型题精解 解题思路、方法、技巧 同济大学数学教研室 陈兰祥主编2、高等数学第六版同步习题解答 中国矿业大学出版社第一章 函数与极限1-1 映射与函数一.集合(一)集合概念1.概念：把具有某种特定性质的事 物的全体称之为集合(简称集),把 组成集合的事物称为该集合的元 素(简称元)2、集合的表示法：(1)字母表示法集合通常用大写拉丁字母 表示,而用小写字母 表示集合的元素,如果 的元素,记作如果 不是集合A的元素,记作, ,A B C , , ,a b c aA是集合aAaaAaA或在表示数集的字母的右上角标上 ,表示在数集A内去掉元素0后，由其它元素组成的集合，标上“+

2、” 来表示该数集内排除 0与负数的集。A“ ”如（2）集合表示法列举法：把集合里的全体元素一一列举出来写在花括号内,每个元素仅写一次,不考虑顺序.描述法：若集合M是由具有某种性质 的全体所组成的，就可以表示成 px的元素Mx xp具有性质（3）几种特殊的数集表示法自然数集N 整数集Z 有理数集Q 实数集R 3、集合中元素的特性 （1）确定性 （2）唯一性 （3）无序性4、相关定义（1）有限集 无限集（2）子集、 真子集、 空集、 集合的相等子集：设 是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作 或,A BABBA集合相等：如果集合A 与集合B互为子集,即 且 ,则称集合

3、A与集合B相等,记作 。真子集：若 且 ,则称 的真子集,记作ABBAABABABAB是AB空集：不含任何元素的集合称 为空集 ，记作 空集 是任何集合A的子集。(二)集合的运算1、基本运算(1)并集(简称并)：设A,B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集,记作即(2)交集(简称交)：AB ABx xAxB或 ABx xAxB且(3)差集(简称差)： 余集或补集 有时,我们所研究某个问题限定在一个大的集合 中进行,所研究的其它集合A都是 的子集,此时,我们称集 合 为全集,或基本集称 为A的余集或补集,记作 A Bx xAxB且IIII ACA2、集合运算的运算律

4、(1)交换律：(2) 结合律： A BBA A BBAABCABCABCABC(3) 分配率： (4) 对偶律： A BCA CB CABCACBCCCCABABCCCABAB3、直积(或笛卡儿乘积) 设 是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素 ,在集合 B 中任意取一个元素 ,组成一个有序对把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记作 即AB、xy, x yAB( ,) ABx yxAyB且(三)区间和邻域1、 三种符号的意义 三种符号都表示某个变量取值的一种变化趋势 表示某个变量取正值而且越变越大; 表示某个变量取负值,而且绝对 值越变越大. 表示某个变量

5、即可取正值也可取 负值,但绝对值越变越大. ， 1 2 32、区间(1)有限区间开区间 闭区间 半开区间 ,|a bx axb,|a bx axb , )|a bx axb, |a bx axb(2)无限区间 ,)|ax xa ,)|ax xa (, |bx xb(, )|bx xb(,) (3)区间长度及区间的数轴表示 在三种有限区间中，称为有限区间的区间长度，无限区间的区间长度为正无穷大。ba3、邻域(1)定义：以点 为中心的任何开区间称为点 的邻域，记作aa U a(2)点 的 邻域 设 是任一正数,则开区间称为点 的 邻域,记作即点 称为这个邻域的中心, 称为这个邻域的半径。 ,)aa

6、(aU a， ,Uax axax x a aa(3)点 的去心 邻域 点 邻域去掉中心 后，称为点 的去心 邻域，记作 即 a的0U, a0U,0axxaaaa(4)点 邻域,点 邻域 把开区间 称为点邻域,把开区间 称为点 邻域。a的左a的右,aaa的左, a aa的右二、映射(一)映射概念1、定义(1)定义：设 X、Y 是两个非空集合,如果存在一个法则 ，使得对 X 中每个元素 ,按法则 ， 在 Y 中有唯一确定的元素 与之对应,则称 为从 X 到 Y 的映射，记作 fxfyf:fXY其中 称为元素 (在映射 下)的像,并记作： 即 ,而元素称为元素 (在映射 下)的一个原像,集合 X 称

7、为映射 的定义域,记作, 即 ,X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域，记作 。yxf f x yf xxyfffDfDXffRfX或(2)掌握定义注意的问题构成一个映射必须具备以下三个要素,集合X,即定义域 ,集合Y,即值域的范围, 对应法则 ,使对每个 有唯一确定的 与之对应。fDX,fRYfxX yf x对每个 , 是唯一的,而对每个 元素 的原像不一定是唯一的,映射 的值域的一个子集,即 ,不一定xXxy的像fyRyffRY是fRYfRY2、满射、单射、双射(1)满射：设 是从集合 X 到集合Y 的映射，若 即 Y 中每一个元素 都是 X 中某元素的像,则称 上的映射或满射。f

8、,fRYyfXY为 到(2)单射：设 是从集合的映射,若对 X 中任意两个不同元素 ,它们的像则称 的单射。fXY到集合12xx 12f xf xfX为 到Y(3)双射(一一映射)：若映射 即是单射,又是满射,则称 为一一映射（或双射）。ff(二)逆映射与复合映射1、逆映射（1）定义：设 的单射,则由定义,对每个 有唯一的 ,于是,我们可定义一个从 的新的映射 ,即 对每个 ,规定 这 这个映射 的逆映射,记作 其定义域fX是从 到YfyR f xyfRX到g:fg RXfyR g yx xf xy满足gf称为1f11,=fffRXD=R值域。,xX适合(2)注意： 只有单射才存在逆映射2、复

9、合映射(1)定义：设有两个映射其中 则由映射 可以定出一个从X 到Z的对应法则,它将每个 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射 构成的复合映射，记作 12:, :g X Y f YZ12YYgf和 .xXfg xZ映成gf和:oof gf g XZ即 of gxfg xxX=(2)注意：映射 构成复合映射的条件是： 必须包含在 的定义域 内,即 ,否则,不能构成复合 映射。映射 的复合是有顺序的, 有意义, 不一定有意义,即便有意 义, 也未必相同。gf和ggR的值域fDgR fgf和foggoffoggof与三、函数（一）函数的概念1、定义：设数集 ,则称映射 为定义在 上

10、的函数，通常简记为 其中 称为自变量， 称为因变量，D称为定义域，记作 ,函数定义中，对每个按对应法则，总有唯一确定的值 与之对应，这个值称为 处的函数值。DR:fDRD ,yf xxDxyffDDD即,xDyfx在记作 ，函数值 的全体所构成的集合称为函数 的值域， 记作 ,f xyf x即 f xf fDf D或 fRf Dy yfx xD即2、确定函数的两大要素：定义域对应法则 如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同.那么这两个函数是相同的;否则就是不同的.fDf3、函数定义域的求法(1)对有实际背景的函数，应根据变量的实际意义确定函数的定义域。(2)对抽象地用算式表达的函数，函数的定

11、义域是使算式有意义的一切实数组成的集合 例1已知求 并写出它的定义域。 210 xf xefxxx 且 x例设 的定义域为 ，则 的定义域为 （ ）。() ()() ()1f x0,0aa f x1,1a1,1a1,aa,1a a例设 的定义域为 ,求的定义域。 f x1,10f xaf xaa4、单值函数，多值函数(1)单值函数：在函数的定义域中,对每个 对应的函数值 总是唯一的,这样定义的函数为单值函数。,xDy(2)多值函数：定义：如果给定一个对应法则,按这个法则对应每个 ,总有确定的值 与之对应,但这个 不是唯一的,习惯上,我们称这种法则确定了一个多值函数。多值函数的单值分支 对于多值

12、函数,往往只需要附加一些条件就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.xDyy5、几种特殊的函数(1)绝对值函数定义域 值域0000 xxyxxx x,D 0,)fR (2)符号函数它的定义域 值域 10sgn0010 xyxxx,D 1,0,1fR (3)取整函数 设 为任一实数,不超过 的最大整数称为 的整数部分,记作把函数 称为取整函数,它的图像为阶梯曲线。xxx x yx（4）分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 分段函数表示的是一个函数，而不是几个函数。(二)函数的几种特性1、函数的有界性(1)定义：设函数 的定义域

13、为D,数集 ,如果存在数 ,使得 ,对任一 都成立,则称函数 在X上有上界,而 称为函数 在X上的一个上界。 f xXD1k 1f xkxX f x1k f x 如果存在数 ,使得 ,对任一 都成立,则称函数 在X上有下界,而 称为函数 在 X上的一个下界。 如果存在正数M,使得 ,对任一 都成立,则称函数 在X上有界,如果这样的 M 不存在,就称 在X上无界。 2fxk2kxX f x2k f x fxMxX f x f x例证明函数 ，在区间 上无界。 211sinfxxx(0,1(2)注意若 上有上界,有下界,有界,界不是唯一的.函数的有界性是对于数集而言的,不能离开数集去谈论函数的有界

14、性.函数 上有界的充分必要条件是它在X上既有上界,又有下界。 f xX在 f xX在（二）函数的单调性 设函数 的定义域为D，区间 ,如果对于区间 上任意两点 恒有 ，则称函数 在区间 上是单调增加的，如果对于区间 上任意两点 恒有 ， f xIDI1212,xxxx及当时， 12f xf x f xII1212,xxxx及当时， 12f xf x则称函数 在区间 上是单调减少的，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 f xI（三）函数的奇偶性1、定义：设函数 的定义域 D 关于原点对称，如果对于任意 恒成立，则称为偶函数。如果对于任意 恒成立，则称 为奇函数。 f x ,xD fxf x

15、 f x ,xD fxf x f x例证明：定义在对称区间 上的任意函数 可表示为一奇函数与一偶函数之和。, l l f x(四)函数的周期性1、定义：设函数 的定义域为D,如果存在一个正数 ,使得对于任一 恒成立,则称 为周期函数, 的周期,通常我们所说的周期函数的周期是指最小正周期. f xl xDx lD f x lf x有且 f x lf x称为例例6证明：函数 是周期为1 的周期函数。 f xxx例例7设对任何 ，存在 ,使 ,证明 是周期函数。,x 0c f xcf x f x2、注意：若 的周期,则 的周期。并非每个周期函数都有最小正周期 11fxnlfxnllfxnlfx= l

16、f x是 nlf x也是例8狄利克雷函数 证明任何一个正有理数都是它的 周期。 10CxQD xxQ（三）反函数与复合函数1、反函数（1）定义：设函数 是单射,则它存在逆映射 ,则称此映射 的反函数,而把原来的函数 叫做直接函数.:fDf D 1:ff DD1ff为函数 yf x(2)注意反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域。例9设 求 。 211424xxxf xxxx 1fx 与 表示同一函数。若 是定义在D上的单调函数,反函数 也是定义在 上的单调 函数。直接函数 和它的反函数 的图像关于直线 对称。 xyyD yxxDf1ff D yf x 1yfxyx2、复合函

17、数（1）定义：设函数 的定义域为 函数 的定义域为 且其值域 则由下式确定的函数 称为由函数 构成的复合函数，它的定义域为 ，变量u称为中间变量。 函数 构成的复合函数通常记为 。 yf u ug x,gfRD yfg x ug xyf u和函数gf与函数 oof gf gxfg x即,fDgDxDgD(2)注意： 不是所有函数都能构成复合函数, 能构成复合函数的条件是： 函数 的值域 必须含在函数 的定义域 内,即 ,否则不能构成复合函数。gf和ggRffDgfRD(四)初等函数 1、基本初等函数(1)幂 函 数：(2)指数函数：(3)对数函数：(4)三角函数： 等(5)反三角函数： uyx

18、uR 是常数01xyaaa且log01xyaaa且,sincostancotyx yx yx yxsin ,cosy arcx y arcx,cotyarctanx yarcx（2）初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。例10写出的复合过程。53lnarcsinytgx3、双曲函数与反双曲函数(1)双曲函数种类： 双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 2xxeeshx2xxeechxxxxxshxeethxchxee性态 函 数定义域奇偶性 单调性 R 奇在 内单调增加 R 偶在 内单调减少 在 内单调增加 R 奇在 内单调

19、增加yshxychxythx, ,00, 性质sh xyshx chychx shysh xyshx chychx shych xychx chyshx shych xychx chyshx shy22sh xshx chy222ch xch xsh x221ch xsh x01ch (2)反双曲函数种类：双曲函数的反函数依次记为反双曲正弦 反双曲余弦 反双曲正切 0yshx ychx xythx2ln1yarshxxx2ln1yarchxxx11ln21xyarthxx性态y arshxy archx1,)1,)yarthx1,1函数定义域奇偶性单调性 R 奇 在R内单调增加在 内单调增加

20、奇在 内单调增加1,11-2 数列的极限一、数列极限的定义(一)数列的定义：如果按着某一法则,对每个 ,对应着一个确定的实数 ,这些实数 按着下标n从小到大排列得到的一个序列 ,就叫做数列,简记为 数列中的每一个数叫做数列的项,第 叫做数列的一般项.nNnxnx123,nx x xx nxnnx项(二)数列的极限1、两个实例2、数列 的极限是 的特征(1) 的极限是 ,与前有限项 的取值无关,它刻划的是当 时, 的取值的变化情况。 nxa nxanxn nx(2) 的极限是 ,说明 时, 比较接近,即 ,把这一问题我们用 语言来描述。 对 ,总 正整数N,当 时,就有 成立,则 的极限是 。(

21、3) 语言的解释 nxan nxa与0nxaN0 nNnxa nxaN3、定义（ ）：设 为一数列，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （不管它多么小），总存在正整数N，使得当 时，不等式 都成立，-N语言 nxanNnxa那么就称常数 是数列 的极限,或者称数列 收敛于 ,记为 ,如果不存在这样的常数 ,就说数列 没有极限,或者说数列 是发散的,习惯上也说 不存在。 数列极限 的定义也可表示为 正整数N,当 时,有 .a nx nxalimnnnxaxa n或a nx nxlimnnxlimnnxalim0,nnxa nNnxa例1证明数列的极限是1。111 4 32,2 3 4nnn 4、

22、掌握定义及利用定义证明极限应注意的问题(1) 是任意给定的正数,只有这样,不等式 才能表达出无限接近的意思。(2)所取的 不同,找到的正整数N也不相同,N随着 的给定而选定,但即使是同一 ,N也可以是不同的。nxanxa与(3)利用极限的定义证明 的极限是 ,关键是对于任意给定的正数 ,能够找到定义中所说的正整数N,确实存在。 nxa(4)利用定义证明极限，我们经常采用放大技巧,有时还需加入限制条件 ,即:若小于某个量,那么当量 小于 时,必有 ,但通过放大后找到的N和不放大确定的N值 ,一般来说是不同的,我们的目标是找到这样的N,而不是去找最小的N。 nxaf ng n-nxa-nxa g

23、n例2已知证明数列 的极限是零。211nnxn nx例3设 ，证明等比数列的极限是零。1q 211, ,nq qq例4用数列极限定义证明2334lim029nnnn二、收敛数列的性质（一）（极限的唯一性）定理1： 如果数列 收敛，那么它的极限唯一。 nx例证明数列是发散的。111,2,nnxn （二）收敛数列的有界性1、定义：对于数列 ,如果存在正数M，使得对于一切 ,都满足不等式 则称数列 是有界的,如果这样的正数M不存在，就说数列 是无界的。 nxnxnxM， nx nx2、定理2（收敛数列的有界性） 如果数列 收敛，那么数列一定有界。 nx nx3、注意：(1)数列有界是数列收敛的必要条

24、件,收敛数列必有界,但数列有界却不一定收敛。(2)如果数列 无界，那么数列 一定发散。 nx nx（三）收敛数列的保号性1、定理3：如果那么存在正整数 时，都有 。lim00nnxaaa且或0,NnN当0,0nnxx或2、推论：如果数列 从某项起有 ，那么 。 nx0,0limnnnnxxxa或且0,0aa或(四)子数列1、定义：在数列 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列 中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列 的子数列（或子列） nx nx nx2、定理4（收敛数列与其子数列的关系） 如果数列 收敛于 ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 。 nxaa3、注意：如果数列 有两个子数

25、列收敛于不同的极限,那么数列 是发散的。 nx nx 1-3 函数的极限一、函数极限的定义(一)定义 在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近了某个确定的数,那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。(二)函数极限的两种不同情形1、自变量趋于有限值时函数的极限(1)定义：如果在 的过程中,对应的函数值 无限接近于确定的数值A,那么就说A是函数 当 时的极限。0 xx f x f x0 xx（2） 语言定义 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数 (无论它多么小),总存在正数 ,使得当 满足不等式 时,对应的函数值 都满足不等式 ， f x0

26、xx00 xx f x fxA那么常数A就叫做函数 当时的极限,记作 或 ,简记为: 时，有 。 f x0 xx 0limxxf xA f xA 0lim=0 xxf xA 0()xx当时00,x x 当0 fxA(3) 的几何解释。 0limnxf xA例证明： 此处C为常数。0limxxCC(4)利用定义证明极限注意的问题利用定义证明极限存在,关键是对 去找 ,使得当时,恒有 成立。,000 xx fxA例2证明：00limxxx x例3证明：1lim 211xx从定义 这一条不难看出,当 时, 有没有极限,与 在点 是否有定义无关.00 xx0 xx f x f x0 x例4证明：211

27、lim21xxx求函数的极限也往往采用放大技巧，或对自变量加入限制条件。例5证明：当 时，00 x 00limxxxx例6证明：2551lim2510 xxx(5)左极限，右极限（单侧极限）定义：有时也考虑 的方面趋于 或 的左侧趋于 ,记为 的情形，由此便得左右极限的定义。 当 时,有 当 时,有0 xx从大于0 x0 xx记为0 xx从0 x0 xx 00lim0 xxf xAf xA 或000 xxx fxA 00lim0 x xf xAf xA 或000 xxx fxA定理：注意:()若 有一个不 存在,则 一定不存在。 ()当 时,若 都存在但不相等,则 一定不存在。 000limx

28、xfxAfxfxA00f xf x或 0limxxf x0 xx 00f xf x及 0limxxf x例7证明函数： 当 时， 的极限不存在。 100010 xxf xxxx 0 x f x2、自变量趋于无穷大时函数的极限(1)定义:如果在 的过程中,对应的函数值无限接近于确定的数值A，那么A叫做函数 当时的极限。x f xx （2）定义（ ） 设函数 大于某一正数时有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数 （不论它多么小）总存在正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式 那么常数A就叫做函数 ，当时的极限记作：X语言 f xx当XxxX f x fxA f xx 。 li

29、mxf xAf xAx或当时可简记为： 当 时,有 lim0 xf xA 0XxX fxA(3) 函数 极限 的定义；() 当 时,有() 当 时,有 xx及 f x lim0 xf xA 0XxX fxA lim0 xf xA 0XxX fxA 例8证明：1lim0 xx(4)水平渐近线： 如果 ,则直线 是函数 图形的水平渐近线。 limxf xCyC yf x二、函数极限的性质(仅以 讨论)(一)函数极限的唯一性定理1：如果 存在,那么这极限唯一。 0limxxf x 0limxxf x(二)函数极限的局部有界性定理2：如果 ,那么存在常数M0和 ,使得当 时，有 。 0limxxf x

30、A000 xx fxM(三)函数极限的局部保号性1、定理3:如果 那么存在常数 ,使得当时,有 0lim,00 x xf xAAA而 且或000 xx 0(0)f xf x或2、定理 :如果 的某一去心邻域 当 时就有 . 0lim0 ,xxf xA A0 x那么就存在着00u x00 xu x 2Af x 33、推论:如果在 的某一去心邻域内 ,而且 ,那么 。0 x 00f xf x或 0limxxf xA00AA或(四)函数极限与数列极限的关系定理4:如果极限 存在, 为函数 的定义域内任一收敛于 的数列且满足 ,那么相应的函数值数列 必收敛,且 。 0limxxf x nx f x0

31、x0nxxnNnf x 0limlimnnxxf xf x 1-4 无穷小与无穷大一、无穷小(一)定义1、定义1 如果函数 当 时的极限为零,即那么称函数 为时的无穷小。 f x0 xxx 或 0lim0 xxxfx f x0 xxx或2、定义2 当 时,有xX或语言 0lim000 xxxfx （） 00 x x fx0X 或，xX或(二)注意1、零是可以作为无穷小的唯一常数2、除零外,无穷小不是一个很小的数,而是一个函数,在的过程中,这个函数的绝对值能小于任意给定的正数。0 xxx或(三)无穷小与函数极限的关系定理1：在自变量的同一变化过程 中函数 具有极限A的充分必要条件是 其中 是无穷

32、小。( 其中A为常数, 是某个变化过程中无穷小)0 xxx或 f x ,f xA 0()limxxxf xA f xA二、无穷大（一）定义1、定义1 如果当 时对应的函数值的绝对值 无限增大,就称函数 为当时的无穷大。0 xxx或 fx f x0 xxx或2、定义2：设函数 在 的某一去心邻域内有定义(或 大于某一正数时有定义),如果对于任意给定的正数M(无论它多么大),总存在正数 (或正数X),只要 适合不等式对应的函数值 总满足不等式则称函数 为当 时的无穷大.记作 。 f x0 xx f x fxM f x0 xxx 或 0()limxxxf x x00,xxxX或简记为 为当时的无穷大

33、， 当 时,有 : f x0 xxx或0M0X或00 xxxx或 f xM3、定义3当 时,有 01 lim000 x xxf xMX 或00 xxxX或 f xM (2) 当 时,有 0,lim000 xxxf xM 或X00 xxxX或 f xM 例1证明：11lim1xx (二)渐近线 如果 ,则直线是函数 的图形的铅直渐近线。 0limxxf x 0 xx yf x(三)注意1、无穷大量不是一个很大的数,它表 示变量的一种变化趋势。2、注意无穷大量和无界的区别,在某一区间里的无界量,不一定是自变量在该区间变化时的无穷大量。例2在区间 上,变量 是否有界,当时,这函数是否为无穷大。(0,

34、1211sinxx0 x（四）无穷大与无穷小之间的关系定理2：在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，则 为无穷小，反之，如果 为无穷小，且 ，则 为无穷大。 f x 1f x f x 0f x 1f x1-5 极限运算法则一、无穷小的性质定理(一)定理1： 有限个无穷小的和也是无穷小(二)定理2： 有界函数与无穷小的乘积是无穷小1、推论1： 常数和无穷小的乘积仍是无穷小。2、推论2： 有限个无穷小的乘积也是无穷小。二、函数极限的和、差、积、商的运算法则(一)定理3：如果 那么 lim,lim,fxAg xB 1 limlimlimf xg xf xg xAB 2 limlimlimf x

35、g xf xg xA B lim30limlimfxfxAg xg xB若又有B则2、推论1：如果 存在，而c为常数，则 即常数因子可以提到极限记号外面。3、推论2：如果 存在，而 n是正整数，则(二)定理4：如果 lim f x limlimcf xcf x lim fx limlimnnf xf x lim=xxxa而 lim= ,xbab那么三、数列极限四则运算法则定理5：设数列 如果 ,那么 。 ,nnxy和limlimnnnnxAyB 1 lim2 limnnnnnnxyABxyA B 301,2,0nynB当且时，limnnnxAyB例1求极限 1lim 21xx例2求 3221l

36、im53xxxx四、利用法则求极限的方法及注 意的问题(一)设多项式为有理整函数,则 101nnnf xa xa xa 00limxxfxfx(二)有理分式函数 极限其中 皆为有理整函数1、若 ,则2、若 ,则不能应用商的运算法则,此时应考虑将分子、分母的零因式约掉,或根据无穷小和无穷大的关系. 0limxxP xQ x ,P xQ x 0lim0 xxQ x 000limxxP xP xQ xQ x00lim0 xxQ x例3求233lim9xxx例4求 2123lim54xxxx(三)有理分式函数 的极限设其中 , 都是非负整数则 limxP xQ x 101mmmP xa xa xa 1

37、01nnnQ xb xb xb0000abmn和 00101101limlim0mmmnnxxnamnbP xa xa xamnQ xb xb xbmn当当当例5求 3232342lim753xxxxx例6求232321lim25xxxxx例7求 32225lim321xxxxx(四)根据无穷小的性质求极限例8求sinlimxxx例9已知 其中 是常数， 求 。2lim01xxaxbx, a bab与五、复合函数的极限运算法则1、定理6:设函数 是由函数 与函数 复合而成,在点 的某去心邻域内有定义,若 且存在 有 则 。 yfg x yf u ug x fg x0 x 000limlimxx

38、uug xuf uA00000,xu x当 0g xu 00limlimxxuufg xf uA例10求 lim 1 21 21nnn 2、推广(在上面定理中把 换成以下几种情况定理仍成立） 000lim,limxxuuxuf uA 01.limlimxxuxf uA 若 0limlimxxufxf uA则有 2.limlimxuxf uA 若 limlimxufxf uA则有 3.limlimxuaxaf uA若 limlimxuafxf uA则有1-6 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在的两个准则（一）准则：如果数列 满足下列条件： (1)从某项起,即那么数列 的极限存在且 ,nnnx

39、yz及 2 limlimnnnnyaza nxlimnnxa00,nNnn当时，nnnyxz有例1求22212lim12nnnnnnnn n 例2求 !limnnnn准则 ：如果 那么 存在,且等于A 。准则和准则称为夹逼准则 001,xU x rxM当或时， g xf xh x 002 limlimxxxxxxg xAh xA 0limxxxf x例3证明 0limcos1xx(二)准则1、单调数列 如果数列 满足条件 就称数列 是单调增加的,如果数列 满足条件 就称数列 是单调减少的，单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。 nx1231nnxxxxx nx nx1231nnxxxxx n

40、x2、准则： 单调有界数列必有极限，它包括两个方面：单调增加有上界的数列有极限。单调减少有下界的数列有极限例4设证明数列 有极限,并求出111112,3,1nnnxxxnx nxlimnnx例5设 证明： 111101,2,2nnnxxxnx limlimnnnnxx存在，并求3、数列收敛性与数列有界的关系(1)收敛数列必有界,无界数列必发散, 有界数列不一定收敛。(2)单调有界数列必收敛。 :设函数 在点的某个左邻域内单调并且有界,则 在 的左极限 必定存在.注：相应于单调有界数列必有极限的准则,函数极限也有类似准则,而且在自变量的不同变化过程( 准则有不同的成立形式)II二 准则 f x0

41、 x f x0 x0fx00 xxxxxx 二、两个重要极限(一) 时, ,则有0sinlim1xxx 0f x 0sin( )lim1xxxf xf x0 xxx 若或例6求 0tanlimxxx例7求201 coslimxxx例8求0arcsinlimxxx例9求 2352limsin53xxxx例1020lim lim coscoscos222nxnxxx（二） 时 则有 1lim(1),nnen1lim(1)xxex0 xxx 若或 f x 0( )()1lim (1)( )f xxxxef x例11求1lim 1xxx例12求 2lim1nnnn例13已知 求常数 。lim9xxxa

42、xaa1-7 无穷小的比较一、定义 设 都是在同一个自变量变化过程中的无穷小量,且1、如果 ,就说 高阶的无穷小,记作 。2、如果 ,就说 低阶的无穷小。及0lim=0是比 =0lim=是比3、如果 ,就说 是 同阶 无穷小 .4、如果 ,就说的 阶无穷小 。5、如果 ,就说 是 等价无穷小,记作lim=c0与lim=c00kk是关于klim=1与例1当 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量？（A） （B） （C） （D）0 x 2x1 cosx211xtansinxx例2证明：当 时0 x 111nxxn二、两个定理(一)定理1： 是等价无穷小的充分必要条件为(二)定理

43、2：设存在,则与 = +0 lim，且lim=lim三、使用定理2注意的问题1、应熟记一些等价无穷小尤其注意当 时,若则上式把 时仍成立sinarcsinxxxxtanarcnxxtaxxln 11xxxex211 cos112nxxxxn0 xxx或 0f x xf x换成2、求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可用等价无穷小代替. 例3求 0tan 2limsin 5xxx例4(1) 求(2) 求 30sinlim3xxxx123011limcos1xxx3、用等价无穷小代换，只能将分子或分母中的因式代换，而不能将和或差项中的某一项用等价无穷小代换，否则有可能导致错误。例530tansin

44、limsinxxxx例6求 22411limsinxxxxxx 例7求 1402sinlim1xxxexxe1-8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性(一)变量 的增量:设变量 从它的一个初值 变到终值 ,终值与初值的差 ,就叫做变量 的增量,记作uu1u2u21uu,21uuuu u(二)函数在点 连续的特征1、图像特征： 函数 处图像不间断,就说 处连续2、极限特点 10yfxx在点 10yfxx在点0000limlim0 xxyf xxf x 0 x(三)定义1、定义1：设函数 的某一邻域内有定义,如果 那么就称 连续。 在区间 内每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数,或者说函数

45、在该区间上连续 0yf xx在点0000limlim0 xxyf xxf x 0yf xx在点, a b例1证明函数 在区间 内连续。cosyx, 2、定义2:设函数 的某一邻域内有定义,如果那么就称 连续。 0yf xx在点 00limxxf xf x 0f xx在点3、定义3 在点 连续当 时，有 语言 f x0 x00 0 xx 0fxfx4、左连续、右连续（1）定义：如果 存在且等于 即 ，就说函数 左连续，如果存在且等于 ，即就说函数 右连续。 00limxxf xf x0f x 00limxxf xf x 0f xx在点 00limxxf xf x0f x00f xf x 0f x

46、x在点(2)在点 连续,左连续右连续的关系 函数 连续的充分必要条件是 即左连续又右连续。0 x 0f xx在点 0fxx在点例2设在 处连续，问常数的关系如何？ 20sin0abxxf xbxxx 0 x ab与(3) 在闭区间 上连续 如果函数 在开区间 内连续,在右端点 左连续,在左端点 右连续那么称 在闭区间 上连续。 f x, a b f x, a b f x, a bab二、函数的间断点（一）定义：设函数 的某去心邻域内有定义，在此前提下，如果有下列三种情形之一。（1）在 没有定义。 （2）虽在 有定义，但不存在。 0f xx在点 f x0 xx0 xx 0limxxf x(3)虽

47、在 有定义,且 存在但 则函数为不连续,而 称为函数 的不连续点或间断点.0 xx 0limxxf x 00limxxf xf x 0f xx在点0 x f x(二)间断点的类型1、第一间断点(1)定义：如果 的间断点,但左极限 及右极限 都存在,那么 的第一类间断点。 0 xf x是函数0fx0fx 0 xf x称为函数(2)类型可去间断点：若 的间断点,且 ,则称 的可去间断点。 0 xf x是函数00fxfx 0 xf x为函数例3对于函数是否为可去间断点。2cos211xyxxx，例4设函数 问 是否为可去间断点。 1112xxyf xx1x 跳跃间断点： 的间断点,但 ,即不存在。

48、0 xf x是00f xf x 0limxxf x例5设问 是否为跳跃间断点 10sgn0010 xf xxxx0 x 例6设 判断 处的连续性,若不连 续,指出间断点的类型。 1110110 xxexf xex 0f xx 在2、第二类间断点(1)定义:不是第一类间断点的任何间 断点称为第二类间断点。(2)常见类型无穷间断点:若 的间断点且 ,则称 的无穷间断点。震荡间断点: 间断点,且当时,函数值在两数之间变动无限多次. 0 xf x是 0limxxf x 0 xf x为0 x 为0 xx例7.求 在区间 内的间断点,并判断其类型。 tan4= 1+xxf xx0,21-9 连续函数的运算与初等函数 的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性定理1:设函数 连续,则它们的和(差) ,积及商 , 0f xg xx和在点fgf gfg000g xx当时 都在点 连续。二、反函数与复合函数的连续性(一)反函数的连续性定理2：如果函数 上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数 也在对应的区间 上单调增加(或单调减少)且连续。 xyf xI在区间 1xfy yxIy yf xxI（二）复合函数的连续性定理3：设函数 是由函数 与函数