基本初等函数讲义(超级全)

1、标准实用文案(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x) = ax2 bx c(a 二 0)顶点式：f (x) =a(x-h)2 k(a =0)两根式：f(x) =a(x-x1)(x-x2)(a = 0)(2)求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式.已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.若已知抛物线与 x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便.(3)二次函数图象的性质-.2 .一f (x ) = ax +bx + c(a#0)a > 0a < 0图像1x =J2c1rx =b 2a定义域(-0+ 30 )对称轴b

2、x = 2a顶点坐标<.2 、b 4ac - b ,12a 4a )文档值域24ac - b +od,4a4ac-b2 ”4a )递减O0, 2a递增单调区间b-，+ S ”'递增I 2a )匚_b_ , +a '递减I 2a )2 一 . b.一次函数f (x) = ax2 + bx + c(a 0 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x = -万丁顶点坐标是(4ac -b22a4a当a>0时，抛物线开口向上，函数在(_/, 2上递减，在_5，)上递增，当b , ,4ac - b2b 一x =时， Ui(x)=；当a <0时，抛物线开口向下，函数在 (一笛

3、，上递2a4a2a2增，在，-)上递减，当x =9时，fmax(x)= ac-.2a2a4a三、哥函数(1)募函数的定义一般地，函数y =x"叫做哥函数，其中 x为自变量，口是常数.(2)募函数的图象过定点：所有的哥函数在(0,也)都有定义，并且图象都通过点(1,1).四、指数函数(1)根式的概念：如果xn =a,aw R,xw R,n>1 ,且nw N+,那么x叫做a的n次方根.(2)分数指数哥的概念 m正数的正分数指数哥 的意义是：an =nam(a >0,m,n = N十，且n>l) . 0的正分数 指数哥等于0.m 1 m 1 一正数的负分数指数帚 的思义Z

4、E： a n =()n =n()(aA0,m,nw N+且n >1). 0 a a的负分数指数哥没有意义.(3)运算性质 ar as =ar*(a >0,r, sw R)(ar)s = ars(a a 0,r,sw R)(ab)r = arbr(a 0,b 0,r R)(4)指数函数函数名称指数函数定义函数y = ax(aA0且a#1)叫做指数函数图象a >10 < a <1V，y = 1Xx /y=a(0,1)Xx ' y = ay = iy(0,1)OxOx定义域R值域(0, f过定点图象过定点(0,1),即当x = 0时，y=1.奇偶性非奇非偶单调性

5、在R上是增函数在R上是减函数函数值的 变化情况ax >1 (x>0) ax =1 (x = 0) ax<1 (x<0)ax<1 (x>0) ax = 1 (x = 0) ax>1 (x<0)a变化对图象的影响在笫一象限内，a越大图象越局；在第二象限内，a越大图象越低.五、对数函数(1)对数的定义若ax = N(a a0,且a #1),则x叫做以a为底N的对数，记作x = loga N ,其中a 叫做底数，N叫做真数.负数和零没有对数.对数式与指数式的互化：x=logaNu ax = N(a >0,a =1,N >0).(2)几个重要的

6、对数恒等式loga 1=0, loga a =1, logaab = b.(3)常用对数与自然对数常用对数：lg N ,即logio N ；自然对数：lnN,即logeN (其中e = 2.71828).(4)对数的运算性质如果a >0, a=1,M >0,N >0,那么加法：loga M +loga N =loga(MN)减法：log a M - log a N = log aN数乘：nloga M =loga M n(n w R)alogaN=N log ab M n = n log a m (b = 0,n R) a b换底公式：10ga N u'logb-Nl

7、b >0,且b = 1)logba(5)对数函数函数 名称对数函数定义函数y = loga x(a a 0且a # 1)叫做对数函数图象a >10 < a <1i yix = 1；y= loga xJi yx x = 1y = loga xr；(1,0)O/；(1，0)xOKx定义域(0, )值域R过定点图象过定点(1,0),即当x=1时，y = 0.奇偶性非奇非偶单调性在(0, 卜8)上是增函数在(0,收)上是减函数函数值的 变化情况lOg ax >0 (x >1)lOg ax = 0 (x =1)logax <0 (0 < x <1)l

8、Og a x < 0 (x >1) lOga x = 0 (x = 1) log a x > 0 (0 < x <1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高.(6)反函数的概念设函数y = f (x)的定义域为 A，值域为 C ,从式子y = f (x)中解出x ,得式子x =平(y) .如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x 二中(y) , x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x =呼(y)表示x是y的函数，函数x = (y)叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f,(y),习惯上改写成y=f,(x).(7)反函

9、数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式y= f(x)中反解出x= f,(y)；将x = f(y)改写成y = f,(x),并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质原函数y = f(x)与反函数y = f,(x)的图象关于直线y = x对称.函数y = f (x)的定义域、值域分别是其反函数y = f,(x)的值域、定义域.若P(a,b)在原函数y = f(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y= f,(x)的图象上.一般地，函数 y = f (x)要有反函数则它必须为单调函数.例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线y =x2 -4x -4的顶点坐标是()A. (2,

10、0)B . (2, -2) C . (2, -8) D . (-2, -8)例2.已知抛物线的顶点为(-1, -2),且通过(1, 10),则这条抛物线的表达式为()A. y=3(x-12-2 B . y =3(x-1 /+2C. y=3(x+12-2 D.y =-3(x+1 2 -22例3.抛物线y=x -2mx+m+2的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是()A. m< 1 或 m> 2 B . m< 0 或 m> 1 C1vm< 0 D . m< 1例4.已知二次函数f (x)同时满足条件：(1) f (1+x )= f (1 _x); (2) f(x

11、)的最大值为15;(3) f (x )=0的两根立方和等于17求f (x)的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5.当2WxE2时，求函数y = x2 2x-3的最大值和最小值.例6.当xA0时，求函数y =x(2x)的取值范围.1 25例7.当t - x t 1时，求函数y = - x x - -的最小值(其中t为常数).22三、哥函数例8.下列函数在(皿,0 )上为减函数的是()1八3一2_32A. y=x3B. y=x c. y = x D. y = x例9.下列哥函数中定义域为 xx0的是()2323A. y=x3B. y=x2 c. y = x3 D. y = x22例10.讨

12、论函数y= x5的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图.例10.已知函数y=?15 2x- x2 .(1)求函数的定义域、值域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求函数的单调区间.1例11.计算-(工-2的结果是()2四、指数函数的运算1684A a b、 a c、 aa/b例 13.若 3a =8,3b =5,则 33五、指数函数的性质例 14. M = y 1y = 2 ，P =y | y =，x -1，贝u Mn P ()A. y|y>1 B. y|y4 C. y|y>0 D. y|y0例15.求下列函数的定义域与值域:42(1)y=2 (2) y=(R凶3例16.函

13、数y =a、2 +3(a >0且a #1的图像必经过点()A. (0,1) B .(1,1) C .(2,3) D . (2 , 4)例17求函数y= 21二！的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性2x 1五、对数函数的运算a例18.已知3 =2 ,那么log382log36用a表不是（）2A a -2 B 、5a-2 c 、3a (1 + a) d 、3a例 19. 2loga(M -2N) =loga M +loga N ,则 M 的值为()N1 _A、_B、4 C、1 D、4 或 141例 20.已知 log7110g 3(log2 x) =0,那么 x 2 等于()A、1 -

14、B>312,3C、11=D =2.23,32例21. loga <1 ,则a的取值范围是()32 21/2.0,-一士I 3j 13A f2 1I ,22:入/21cA、.0, U(1*)R .-，F C、. 一,1 ： DI3 ：13J13J五、对数函数的性质例22.下列函数中，在（0,2 ）上为增函数的是（）A y=log1(x 1)B、y=log2 x21 2,12C y = log 2 - D y = log 1 (x - 4x 5) x例23.函数y=lg i21 i的图像关于1 xA x轴对称 B y轴对称C原点对称Dk直线y =x对称 例23.求证函数f （x） =l

15、g（ Jx2 +1 x）是（奇、偶）函数。课下作业1.已知二次函数 y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的（）222 .对抛物线y=2（x2） 3与y=2（X2） +4的说法不正确的是（）A.抛物线的形状相同B.抛物线的顶点相同C.抛物线对称轴相同D.抛物线的开口方向相反23 .二次函数y= -x 2x+1图像的顶点在（）A.第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4 .如图所示，满足 a>0,b <0的函数y= ax2 +bx的图像是（）25 .如果抛物线y=x +6x + c的顶点在x轴上，那么c的值为（）A. 0

16、 B.6 C . 3 D .96.一次函数y=ax + b与二次函数y=ax2+bx + c在同一坐标系中白图象大致是 （）b7 .在下列图象中，二次函数y=ax2 + bx + c与函数y=（ a）x的图象可能是8.若函数f（x）=（a 1）x2+（a2 1）x+1是偶函数，则在区间0, 十°°）上 *）是（A.B.C.D.A.10、使AC1 , +8 ) B x2>x3成立的 x v 1 且 x w 0 x>1. 0,2C . 1,2 D x的取值范围是(ab11、若四个哥函数 y= x , y= xB、cx（一巴 2）0<x< 1xv 1d,y

17、= x在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是(A d>c>b>aB、a>b>c>dC、d>c>a>bDk a>b>d> c12.若哥函数f x 二在（0 ，+ 8）上是减函数，则（）a. m>iB.m<iC. m=iD.不能确定13.若点A（a,b）在募函数y = x （n' Q）的图象上，那么一F列结论中不能成立的是-La0A. b 0 B1b<°c.J_a : 0b 0 da : 0减函数增函数常函数可能是减函数，也可能是常函数9.已知函数y=x2 2x+3在闭区间

18、0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是（+ 0° )+ 0° )a的取值范围是（SnT 是（）14.若函数f（x）=log 1（x26x+5）在（a, +8）上是减函数，则2A. ( 8, 1 B . (3 ,C.(巴 3) D . 5 ,15、设集合 S=y|y =3x,xe RbT=y|y = x21,x R则A、0 B 、T C 、SD 、有限集16、函数 y =2+l0g2x（x） 1）的值域为（）A、（2*）B、，2） C 、Of D 、b，）17、设0.90.48yi =4 2 =82 1I2),则()A y3 > yi > y2B 、於小、

19、? C 、小叱於 D 、yi > y2 > y318、在bT°g(a/)(5-a)中，实数a的取值范围是()A、a >5 或 a <2 B 、2<a<3 或 3 < a < 5 C 、2<a<5 D 、3 < a < 419、计算(lg2)2 +(lg5)2 +2lg2lg5等于()A、0 B、1C、2 D 、320、已知 a=log32,那么 log38-2log36用 a表示是()A、5a -2 B 、a -2 c 、3aa)2D 、3a - a2 -121、已知哥函数f(x)过点(2, 孚)，则f(4)的值为()1 -A、1 B 、1C、2D、82二、填空题1 .抛物线y=8x2(m- 1)x+m-7的顶点在x轴上，则 m=.322 .函数y =x的定义域为.3 .设f (x ) = (m 2 )xm;如果f(x)是