Ch53-4(刚体的角动量定理与动能定理)

1、FrM 复复 习：习： iiirmJ2 dmrJ2二、二、 转动惯量转动惯量三、三、 转动定律转动定律 JM 外外 JM 外外大大小小： 一、力矩一、力矩nLLLL 21 niiipr1 对于对于 n 个质点的质点系，其角动量等于各个质点个质点的质点系，其角动量等于各个质点对同一参考点的角动量之和对同一参考点的角动量之和nnprprpr 22115-3 刚体的角动量与角动量守恒定律刚体的角动量与角动量守恒定律（ Angular momentum of rigid body ） 刚体是一个特殊的质点系，即在刚体上任意两刚体是一个特殊的质点系，即在刚体上任意两质点之间的距离保持不变，其角动量等于各

2、个质元质点之间的距离保持不变，其角动量等于各个质元对同一参考点的角动量之和。对同一参考点的角动量之和。对对 O 点的元角动量点的元角动量 iiiivmR)(质元质元im 刚体对某点刚体对某点 O 的角动量的角动量 iiiivRm iioLLiiiivRmL coscosiiiiizvRmLL )cos( iiiRvmiiivrm 2iirm iiivRm)cos( OLiRo iriL izL z im 一、定轴转动刚体的角动量一、定轴转动刚体的角动量刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量izzLL )cos( iL )(2iirm 2 iirmJ 其其中中刚体刚体对对 z 轴轴的的转动惯量转动

3、惯量上式可写为：上式可写为： JLz JLz大小：大小：刚体刚体对对 z 轴轴的的角动量角动量方向：方向： 的方向。的方向。与线量比较：与线量比较： JLvmpz)(转动惯性转动惯性转动惯量转动惯量J)(平平动动惯惯性性惯惯性性质质量量m二、刚体的角动量原理和角动量守恒定律二、刚体的角动量原理和角动量守恒定律刚体刚体 质点系（连续体）质点系（连续体）刚体的角动量原理刚体的角动量原理 质点系的角动量原理质点系的角动量原理dtLdM 外外 21ttdtML外外即即，（一）刚体的角动量原理（一）刚体的角动量原理即，作用在刚体上外力矩的矢量和等于刚体角动量即，作用在刚体上外力矩的矢量和等于刚体角动量对

4、时间的变化率。或作用在刚体上外力矩的冲量矩对时间的变化率。或作用在刚体上外力矩的冲量矩等于刚体角动量的变化。等于刚体角动量的变化。由转动定律：由转动定律：dtdJJM 外外（二）刚体的角动量守恒定律（二）刚体的角动量守恒定律常常矢矢量量。则则，若若外外 JLLM ,0 0注意：注意： (1) 定轴转动时，定轴转动时，J = 常量，则常量，则 不变，即刚体不变，即刚体保持静止或匀角速转动。保持静止或匀角速转动。(2)0 iF0 iM 0 iF0 iM0 iF0 iM例：例：(i)1F2F(ii)1F2F直升机直升机直升机直升机直升机直升机跳台跳台跳水跳水旋进旋进陀螺仪陀螺仪翻空翻空筋斗筋斗244

5、322487ddMlxlMxmrJll (2) 碰前棒作平动，对碰前棒作平动，对 O 点的角动量按质心处理。故有点的角动量按质心处理。故有MlvlMvL414 解：解：(1) 细棒绕细棒绕 O 点的转动惯量点的转动惯量(3) 设碰后的角速度为设碰后的角速度为 。碰撞中外力矩为零，角动。碰撞中外力矩为零，角动量守恒，所以量守恒，所以 JMlv 41vl712 vlO4l例题例题1 光滑的水平桌面上有一个长为光滑的水平桌面上有一个长为 l，质量为，质量为 M 的均匀细棒，以速度的均匀细棒，以速度 v 运动，与一固定于桌面上的钉运动，与一固定于桌面上的钉子子 O 相碰，碰后细棒绕相碰，碰后细棒绕 O

6、 点转动，试求：点转动，试求： (1) 细棒绕细棒绕 O 点的转动惯量；点的转动惯量；(2) 碰前棒对碰前棒对 O 点的角动量；点的角动量；(3) 碰后棒转动的角速度碰后棒转动的角速度。例题例题2 一棒长一棒长 l，质量，质量 m，其质量分布与，其质量分布与 O 点距离点距离成正比，将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕成正比，将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕 O 点点转动，如图，棒的初始角速度为转动，如图，棒的初始角速度为 0 ，棒与桌面的摩，棒与桌面的摩擦系数为擦系数为 。求：。求：(1) 细棒对细棒对 O 点的转动惯量。点的转动惯量。(2) 细细棒绕棒绕 O 点的摩擦力矩。点的摩擦力矩。(3)

7、 细棒从以细棒从以0 开始转动到开始转动到停止所经历的时间。停止所经历的时间。O0 Z解：解：? , )1( drdm取微元取微元则则：设设 kr rlmmklkrdrdrll22002 21 dm2024302202122mllmrdrrlmdmrJllm 细棒上距细棒上距 O 点点 r 处长处长 dr 的线元所受的摩擦力和对的线元所受的摩擦力和对 O点的摩擦力矩：点的摩擦力矩：方方向向为为正正）选选zdrrlgmrdfdMrdrlmgdrggdmdf(22222 mgldrrlgmdMMlM 3222020 （3）由角动量原理）由角动量原理02002132 mlmgltJJMdtt glt

8、 430 ,1096. 681mR )(102 . 23600243 .2561sT 自转角速度自转角速度 112T 转动惯量转动惯量 21152mRJ 22252mRJ 解：解：已知已知由角动量守恒得由角动量守恒得 2211 JJ 1121221221101.5 RRJJ )(1022.11 51212sTT 例题例题3 太阳半径为太阳半径为 6.96108 m，自转周期为，自转周期为 25.3 天，若在演化过程中最后缩为半径天，若在演化过程中最后缩为半径 5 km 中子星，而中子星，而无质量损失，试估算其新的自转周期。无质量损失，试估算其新的自转周期。设收缩后的角速度为设收缩后的角速度为

9、2 ，转动惯量为，转动惯量为222212121mvvmvmEiiiiik 平平22221)(21 Jrmiii 5-4 力矩的功力矩的功 刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理 iiiiiiikrmrmE22221)(21 转转1. 纯平动纯平动2. 纯转动纯转动 LJJEk2121212转转JLJJJEk2)(2121222 转转一、刚体的动能一、刚体的动能221 JEk 转转222121 JmvEEEkkk 转转平平3. 平面运动平面运动 = 质心的平动质心的平动 + 绕质心轴转动绕质心轴转动二、力矩的功二、力矩的功 rdFdsFrdFdAcoscos 设力在转动面内设力在转动面内090

10、 由由于于，xOP dsd F rzv sincos rdFdsFrdFdAcoscos 力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。称为力矩的功。称为力矩的功。 MddA 090 由由于于， sincos cossinFrFrM 又又由由于于， MMdA 0 xOP dsd F rzv功率：功率： MdtMddtdAN ddtdJ 即为：即为：三、定轴转动的动能定理三、定轴转动的动能定理 dJMdAdtddJ dJ )21(2 J )21(2 JEMdAk 转转定轴转动的动能定理（转动能定理）定轴转动的动能定理（转动能定理）力矩对刚体的功等

11、于刚体转动的动能增量。力矩对刚体的功等于刚体转动的动能增量。例题例题1 冲床的飞轮冲床的飞轮 m = 600 kg，飞轮半径，飞轮半径 r = 0.4 m，正常转速为，正常转速为 n1 = 240 rev/min。冲一次孔转速减低。冲一次孔转速减低 20%。求冲一次孔冲头做的功。求冲一次孔冲头做的功。解：解： 冲孔前后的角速度分别表示为冲孔前后的角速度分别表示为1 和和2 60211n 1120.8= )2 . 01( (J)1045. 521213212212 JJEEAkk 例题例题2已知棒已知棒 L，M 可绕杆上端水平轴可绕杆上端水平轴 O 点转动，一点转动，一质量质量 m 的泥团以速度

12、的泥团以速度 v0 打杆的中部并粘住。打杆的中部并粘住。求：求：(1)杆刚开始摆动时的角速度及可摆动的最大角度。杆刚开始摆动时的角速度及可摆动的最大角度。 (2)使杆上横向力为零的位置使杆上横向力为零的位置(打击中心）打击中心）解：解：泥团与杆碰撞，角动量守恒泥团与杆碰撞，角动量守恒 4312220LmMLLmvmLMLLmv346 0 泥团与杆一起摆动，机械能守恒泥团与杆一起摆动，机械能守恒)cos1(2)(43121222 LgmMLmMLLgmMmMmvc)34)(31os 20 0vO 小小 结：结：1. 角动量定义：角动量定义：vmrPrL 3. 角动量定理：角动量定理：FrM 2. 力矩定义：力矩定义：dtLdM niiiprL1dtLdM 外外 niiiFrM1)( 质点质点质点