八年级上数学-全等三角形典型例题(一)

1、全等三角形典型例题:例1:把两个含有45°角的直角三角板如图证：AF ± BE.ECA练习1:如图，在 ABC中，/ BAC=90 °,AB=AC , AE是过点A的直线,BD± AE, CEXAE,1放置，点D在BC上，连结BE, AD , AD的延长线交 BE于点F.求如果CE=3, BD=7,请你求出 DE的长度。 CMN等边三角形；（4）例2: DAC, EBC均是等边三角形， AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,求证：(1) AE=BD (2)CM=CN; (3)例3: （10分）已知， ABC中，/ BAC = 90 : AB = AC,

2、过A任作一直线1,作BDl于D, CEl于E,观察 三条线段BD, CE, DE之间的数量关系.如图1,当1经过BC中点时，DE = （1分），此时BD CE （ 1分）.如图2,当1不与线段BC相交时，BD, CE, DE三者的数量关系为 ,并证明你的结论.（3分）如图3,当1与线段BC相交，交点靠近 B点时，BD, CE, DE三者的数量关系为 .证明你的结论（4分），并画图直接写出交点靠近 C点时，BD, CE, DE三者的数量关系为 . （1分）练习1:以直角三角形 ABC的两直角边 AB BC为一边，分别向外作等边三角形4 ABE和等边/ BCF连结EF、EG试说明：（1） EF=

3、EC （2） EB± CF练习2:如图（1） A E、F、C在同一直线上， AE=CF过 E F分另1J作 DEI AC, BF± AC若AB=CD G是EF的中点吗？请 证明你的结论。若将 /ABC的边EC经AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？BC例四：如图 1,已知，AC ± CE, AC=CE ,/ABC=/CDE=90 ° ,问 BD=AB+ED 吗？分析：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90。角，得到一组等量关系；（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系;（3）由全等得到

4、边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：如如图6,除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD。解答过程：得到 ABCCDE之后，可得到 BC=DE, AB=CDBC+CD=DE+AB （等式性质） 即：BD=AB+DE变形1:如图7,如果 ABCA CDE ,请说明AC与CE的关系。注意:两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）位置关系（垂直，平行之类）变形2:如图，E是正方形 ABCD的边DC上的一点，过点 A作FAXAE交CB的延长线于点 F,求证：DE=BF分析:注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。变形 3:如图 8,

5、在 ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC , AE 是过点 A 的直线，BD ± AE , CE XAE ,如果CE=3 , BD=7 ,请你求出 DE的长度。所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt全等（如于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC ,直角=直角，再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。解：由题意可得：在 RtAABD中，/ 1 + /ABD=90 °又 /BAC=90° （已知）,即/1 + /CAE=90/ABD=/CAE （等角的余角相等）故在4ABD 与4CAE中，/ BDA= / AEC=90 ° （垂直

6、定义）1/ABD=/CAE （已求）、AB=AC （已知）AABDA CAE （AAS）AE=BD=7 , AD=EC=3 （全等三角形的对应边相等DE=AE -AD =7 -3=49A>c图8（直角三角形的两个锐角互余） ° A :C）分析:说明相等的边所在的三角形全等，题中 “ AB=AC "，发现：AB 在 RtAABD 中，AC 在 RtA CAE 中，/d（1）当直线MN绕点C旋转到图（2）当直线MN绕点C旋转到图（3）当直线MN绕点C旋转到图M7AB图109的位置时， ADCACEB,且 DE=AD+BE 。你能说出其中的道理吗？10的位置时， DE =A

7、D-BE 。说说你的理由。11的位置时，4问DE, AD , BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。：4b a4b11E12ACB= 90 > AC=BC ,直线 MN 经过点 C,且 ADXMNNN图14等腰三角形、等边三角形的全等问题必备知识:如右图，由/1 = /2,可得/ CBE=/DBA;反之，也成立例五：已知在 ABC中，AB=AC ,在 ADE中，AD=AE ,且/ 1 = /2,请问BD=CE吗?分析这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边，题目中所给的 ABC与4ADE是用来干扰你的思路的，

8、应该去想如何把两组相等的边联系到一起,加上所求的 “BD=CE"，你会发现 BD在4ABD中，CE在4ACE中，这样一来，"AB=AC ”可以理解为：AB在4ABD中，AC在 ACE中，它们是一组对应边;“AD=AE ”可以理解为：AD在4ABD中，AE在 ACE中，它们是一组对应边;所以只需要说明它们的夹角相等即可。关键还是在于：说明相等的边（角） 所在的三角形全等解： /1=/2 （已知）/ 1 + / CAD= Z 2+Z CAD （等式性质）即：/ BAD= / CAE在4ABD 与4ACE中,AB=AC （已知）< ZBAD= / CAE （已求）AD=AE

9、AABD ACE （SAS）BD=CE （全等三角形的对应边相等）变形 1:如图 14,已知/ BAC=/DAE, / 1 = /2, BD=CE ,请说明 ABD0ACE.吗？为什么？SAS说明全等,分析:例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用此题是两组角相等，那么该如何做呢变形2:过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接 BD, CE,请说明它们相等。分析:此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把BD看成在4ABD的一边，CE看成 ACE的一边，自然就得到了证明的方向。cAB=AC , AD=AEA153:如图1618,还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化连接BD, CE,请说明它们AB=AC , AD=AE1617AD=AE ABD ACE (SAS)1618的类型，请同学们自己去完成60。换成直角了，思路一样变形4:如图，四边形 ABCD、DEFG都是正方形，连接 AE、CG, AE与CG相交于点 M, CG与AD相交于点N.求证：AE =CG ;分析:和上面相比，只不过等边三角形换成正方形,例六： 如图， ABC中，/ C=90 , AB=2AC , M是AB的中点，点 N在BC上，MN XAB.求证：AN平分/ BAC.分析:要说