工程流体力学5理想流体

1、机械工程学院装备系机械工程学院装备系5.1 理想流体运动方程理想流体运动方程 假设存在一种流体，其粘度为零，假设存在一种流体，其粘度为零，该流体称为理想流体。客观上是不存在该流体称为理想流体。客观上是不存在这种流体的，但当流体的粘度非常小且这种流体的，但当流体的粘度非常小且对运动过程的影响可以不考虑时，可以对运动过程的影响可以不考虑时，可以把它当理想流体处理。把它当理想流体处理。 理想流体的运动方程：理想流体的运动方程： 通常将理想流体的运动方程称为欧拉方程。在通常将理想流体的运动方程称为欧拉方程。在直角坐标系中有：直角坐标系中有： pFdtud xpFzuuyuuxuutuxxzxyxxxy

2、pFzuuyuuxuutuyyzyyyxyzpFzuuyuuxuutuzzzzyzxzpFuutu 例：例： 巳知流体流动的速度为：巳知流体流动的速度为： 质量力仅有重力，求流体质点在（质量力仅有重力，求流体质点在（2，3，1）位置上的压力梯度。采用位置上的压力梯度。采用=1000kg/m3, g9.8m/s2。 xyxux2322236yzxyyuy23xyzuz 由欧拉法描述流体运动时，我们知道由欧拉法描述流体运动时，我们知道其加速度为：其加速度为： 现在为了将现在为了将 用另一种形式表示，用另一种形式表示，首先讨论以下形式：首先讨论以下形式：uutudtuduuba ba aaaaa22

3、1aaaaaaaa222121当当 时，有：时，有： ababbabaababbababababaccccccuuutuuutudtud221故加速度可表示为故加速度可表示为这就是兰勃这就是兰勃- -葛罗米科形式的加速度表达形式。葛罗米科形式的加速度表达形式。当当 时，有：时，有：uauuuuu221pFuuu21tu2这就是这就是理想流体运动方程理想流体运动方程的兰勃的兰勃- -葛罗米科形式。葛罗米科形式。一、伯努里方程一、伯努里方程 当理想流体的密度仅与压强有关时，我当理想流体的密度仅与压强有关时，我们称它为理想们称它为理想正压正压流体。理想正压流体在有流体。理想正压流体在有势质量力的作用

4、下，其运动方程在定常及无势质量力的作用下，其运动方程在定常及无旋两种特殊情况下可以积分出来。理想流体旋两种特殊情况下可以积分出来。理想流体兰勃兰勃- -葛罗米科形式运动方程：葛罗米科形式运动方程： pFuuutu1212当理想流体为正压流体时，则：当理想流体为正压流体时，则： 当质量力有势时，则：当质量力有势时，则： 运动方程具有以下形式：运动方程具有以下形式： p1VF0212uuVutu 当流体为理想、正压、质量力有势且运动为当流体为理想、正压、质量力有势且运动为定常时，上式变为：定常时，上式变为： 将等式两端点乘流线的切线单位矢量将等式两端点乘流线的切线单位矢量 ，得：得： 0212uu

5、Vuuus02102122VusuusVus 沿流线积分得：沿流线积分得： C C为积分常数，沿同一流线取相同值，不同流线为积分常数，沿同一流线取相同值，不同流线取不同的值，这就是伯努里方程。对不可压缩取不同的值，这就是伯努里方程。对不可压缩均质流体：均质流体： 伯努里方程写成：伯努里方程写成：CVu212 pdp 1gzV 122221CgpzguCpgzu 当流体为理想、正压、质量力有势且定常当流体为理想、正压、质量力有势且定常且无旋时，运动方程写成：且无旋时，运动方程写成： 积分得：积分得： C C为积分常数，在整个流场中取同一值。为积分常数，在整个流场中取同一值。 0212VuCgpz

6、gu22 上式表明单位重量流体的总能量（动能、上式表明单位重量流体的总能量（动能、势能和压能的总和）在同一流线上守恒，如图势能和压能的总和）在同一流线上守恒，如图示。示。 例例1: 已知一救火水龙带，喷嘴和泵的相对位置如图所示。已知一救火水龙带，喷嘴和泵的相对位置如图所示。dA= dB求：求：Vc？Q？pB？ ？ ？ ？ ？ zA、 pA、 VA； zB、 pB、 VB； zC、 pC、 VC（1）一般水力计算问题）一般水力计算问题 例例2: 有一喷水装置如图示。有一喷水装置如图示。已知已知h10.3m，h21.0m，h32.5m，求喷水出口流速，求喷水出口流速及水流喷射高度及水流喷射高度h（

7、不计水头（不计水头损失）。损失）。 例例3 3：一水槽在同一：一水槽在同一侧面有两个大小相同的侧面有两个大小相同的孔口，上面的孔口离水孔口，上面的孔口离水面面2m2m，下面孔口离水面，下面孔口离水面4m4m，试求两孔射流为定，试求两孔射流为定常运动时，在哪一点相常运动时，在哪一点相交。交。例例4: 设管径为设管径为 D，孔板孔径为，孔板孔径为 d，11 断面处速度为断面处速度为 V1， 22 断面处速度为断面处速度为 V2，孔眼处速度为，孔眼处速度为 V。取取12断面列能量方程和连续性方程断面列能量方程和连续性方程)2() 1 (2gV2gV221121222211VAAVAVhppw212p

8、pgAQ理论pgAQ2对于液气压差计对于液气压差计 hp21p对于水汞压差计对于水汞压差计 hpHg1p21 例例5 5：液体自下而上液体自下而上流动，如图示。液流动，如图示。液体的密度为体的密度为，测，测压计的流体密度为压计的流体密度为m m ，试求管中液，试求管中液体流量。体流量。 例例6: U形水银压差计连接形水银压差计连接于直角弯管，已知：于直角弯管，已知：d1300mm， d2100mm， 管中流量管中流量Q100L/s时，时， 试问：压差计读数试问：压差计读数h等等于多少？（不计水头于多少？（不计水头损失）损失）例例7: 7: 常用皮托管测量流常用皮托管测量流速，皮托管测速原理速，

9、皮托管测速原理如图示，如果被测流如图示，如果被测流体为不可压缩流体体为不可压缩流体。（3 3）皮托管皮托管(测速管测速管)原理原理 根据伯努里方程有：根据伯努里方程有： 式中，式中，z z1 1=z=z2 2，且在第，且在第2 2点处点处u u2 2=0=0。根据静压平。根据静压平衡原理，有衡原理，有 ，故：，故：2222112122zgpguzgpgughppm12ghppum22121（4） 流动吸力流动吸力喷射泵喷射泵 原理：利用喷嘴处高速水流造成的低压将液箱内原理：利用喷嘴处高速水流造成的低压将液箱内的液体吸入泵内与主液流混合。的液体吸入泵内与主液流混合。分析：分析： ？ AA、 pA

10、、 VA； AC、 pC、 VC则则A-C列能量方程可求列能量方程可求 PC . 例例9 图示为一抽水装置，利用图示为一抽水装置，利用喷射水流在吼道断面上造成的喷射水流在吼道断面上造成的负压，可将负压，可将M容器中的积水抽容器中的积水抽出。出。 已知：已知：H、b、h（不计损失），（不计损失）， 求：吼道有效断面面积求：吼道有效断面面积A1与喷与喷嘴出口断面面积嘴出口断面面积A2之间应满足之间应满足什么样的条件能使抽水装置开什么样的条件能使抽水装置开始工作？始工作？一、拉格朗日积分一、拉格朗日积分 当流体为理想、正压、质量力有势且无当流体为理想、正压、质量力有势且无旋流动时，兰勃旋流动时，兰勃

11、- -葛罗米科形式运动方程变为：葛罗米科形式运动方程变为： 式中式中 为势函数。为势函数。02102122VutVut 积分上式得：积分上式得： C(t)C(t)为积分常数，仅与时间有关，同一时刻取为积分常数，仅与时间有关，同一时刻取同一常数值，这就是拉格朗日积分。同一常数值，这就是拉格朗日积分。 对不可压缩均质流体：对不可压缩均质流体： tCVut212pdp1gzV 拉格朗日积分写成：拉格朗日积分写成： 当流体为理想、正压、质量力有势、无旋且定当流体为理想、正压、质量力有势、无旋且定常时，拉格朗日积分改写成：常时，拉格朗日积分改写成： tCpgzut221Cgpzgu22 旁管出流的不定常

12、旁管出流的不定常过程如图示。旁管为等直过程如图示。旁管为等直径的水平管，水箱很大，径的水平管，水箱很大，近似认为出流不影响液面近似认为出流不影响液面高度，水平管内的流动近高度，水平管内的流动近似认为一维流动。根据无似认为一维流动。根据无旋流动，有：旋流动，有： xxdxtutudxxu000 根据连续性方程，有：根据连续性方程，有： 在在X X段内，段内，u u仅是时间的函数，即：仅是时间的函数，即： tCuxu0 xdtdutdxdtdutx0在同一时刻，在同一时刻，A A、B B 两点的关系：两点的关系： 0202puldtdughp2221ughldtdudtlghduughugh221

13、21积分得：积分得：当当t=0t=0时，时，u=0u=0，C=1C=1。因此：。因此：tlghCeughugh22211222tlghtlgheeghu 当当 时，时， tghu2例例2 2：已知不可压缩流体作平面势流流动，：已知不可压缩流体作平面势流流动，在在X X方向上的速度分量为方向上的速度分量为 ，且在，且在x xy y0 0 处，处，u ux x=u=uy y=0=0，p pp p0 0。试求。试求t t0 0 时流场的压力分布。时流场的压力分布。xytux 解：流体为不可压缩流体，根据质量守恒解：流体为不可压缩流体，根据质量守恒方程，有：方程，有： 根据势流流动条件，有：根据势流流

14、动条件，有： ),(10txcyuxuyuyuxuyxyyx tcxttxctxcyuxuxy1,00 由于由于x xy y0 0 处处u ux x=u=uy y=0=0条件，得条件，得C C1 1(T)=0(T)=0，所以所以 。求势数：。求势数： xtyuytycxxytxytuxx,2122tcytycyycxtyuyy322221,所以所以: :由拉格朗日积分得：由拉格朗日积分得： tcxyxyt3222121 tCpxtyxyttcxytCput22322121 当当x xy y0 0 处，处，u ux x=u=uy y=0=0，p pp p0 0。故：。故： tCptco30322

15、321ptcpxtyxyttcxy2200222121xtyxytxyppppxtyxytxy当当t t0 0 时，有：时，有： 2220212yxyxxypp一、动量守恒方程一、动量守恒方程 根据动量守恒原理，动量对时间的变化根据动量守恒原理，动量对时间的变化率等于流体质点受到的作用力。因此，对控率等于流体质点受到的作用力。因此，对控制体系统内任一质点的受到的作用力求和可制体系统内任一质点的受到的作用力求和可表示为：表示为： SVVdtvduvudtdvudtdR其中：其中： dtvduvudtdVVVzyxVzyxvzuyuxuuvuzuuyuuxuut因此，动量定理可以写成下列表达式：因

16、此，动量定理可以写成下列表达式： SVVzyxVzyxVzyxsnuuvutvuuzuuyuuxutvzuyuxuuvuzuuyuuxuutR 上式就是动量守恒方程。动量守恒方程在直角上式就是动量守恒方程。动量守恒方程在直角坐标系下，有：坐标系下，有： 的动量流量净流出控制体对时间的变化率控制体内的动量RSzVzySyVyySxVxxsnuuvutRsnuuvutRsnuuvutR 当动量守恒方程应用于流管时，动量守恒当动量守恒方程应用于流管时，动量守恒方程右边第一项的存在阻碍了应用动量方程的方程右边第一项的存在阻碍了应用动量方程的积分。因为要求右边第一项的积分，必须知道积分。因为要求右边第一

17、项的积分，必须知道V V内的各点的详细流动状况。这就是为什么在内的各点的详细流动状况。这就是为什么在不定常运动时通常不应用动量方程的原因。当不定常运动时通常不应用动量方程的原因。当定常时，上式变为：定常时，上式变为： ssdQusnuuR 对于流管（如图示），对于流管（如图示），除流管两端面除流管两端面dQdQ不为不为零外，其余为零。流零外，其余为零。流管外的流体对流管的管外的流体对流管的作用力：作用力： 11112222sssdQudQudQuR常用过流常用过流截面上截面上平均速度平均速度代替代替u u，这时：，这时： 在三个坐标上的分量为：在三个坐标上的分量为： 1112221111222

18、2QQdQudQuRss111222QQRxxx111222QQRyyy111222QQRzzz 对不可压缩均质流体，对不可压缩均质流体，Q Q2 2=Q=Q1 1=Q=Q，2 2=1 1=。则：则： xxxQR12yyyQR12zzzQR12 二、动量方程的应用二、动量方程的应用 解题步骤：解题步骤： （1）选研究对象（控制体内的流体）选研究对象（控制体内的流体）1-12-2断面断面+固体壁面固体壁面 （2）选取适当的坐标系）选取适当的坐标系 （3）对控制体内的流体进行受力分析）对控制体内的流体进行受力分析 重力重力G（水平放置的管路不考虑：与管壁的（水平放置的管路不考虑：与管壁的支撑力相抵

19、消）支撑力相抵消） 两断面的压力两断面的压力 （表压；注意方向）（表压；注意方向） 边界对液流的作用力边界对液流的作用力R （4）速度分析：分量方向）速度分析：分量方向（5）应用动量方程）应用动量方程 说明：液流对边界的作用力说明：液流对边界的作用力R与与R是作用是作用力与反作用力。力与反作用力。反实际方向与假设方向相同实际方向与假设方向相未知，假设方向求解00RRR例例1 射流的背压射流的背压(反推力反推力) 容器在液面下深度等于容器在液面下深度等于h 处有一比液面面积微处有一比液面面积微小得多的出流孔，其面积为小得多的出流孔，其面积为A。在出流孔微小的前。在出流孔微小的前提下，假使只就一段

20、很短的时间来看，那出流过提下，假使只就一段很短的时间来看，那出流过程就可以当作近似的稳定流动。程就可以当作近似的稳定流动。 理想流体的出流速度：理想流体的出流速度： 这一瞬刻在容器内的流体，它在水平这一瞬刻在容器内的流体，它在水平方向的动量变化将方向的动量变化将 决定于单位的时间决定于单位的时间内内容器流出来的动量：内内容器流出来的动量： ghV22AVQVhAAghAVF222 例例2 2：在水平平面上的：在水平平面上的45450 0弯管（如图示），入口弯管（如图示），入口直径为直径为d d1 1=600mm=600mm，出口直，出口直径为径为d d2 2=300mm=300mm，入口表压，

21、入口表压强强p p1 1=1.4bar=1.4bar，出口表压强，出口表压强p p2 2=0=0，流量，流量Q=0.425mQ=0.425m3 3/s/s，不考虑摩擦，试求液体对不考虑摩擦，试求液体对弯管的作用力。弯管的作用力。 例例3: 自由射流对挡板的压力（水平）自由射流对挡板的压力（水平） 射流从喷咀以速度冲向水平挡板，射流冲击射流从喷咀以速度冲向水平挡板，射流冲击挡板后将沿挡板表面分成两股射流，速度分别挡板后将沿挡板表面分成两股射流，速度分别为为u1，u2，流量从，流量从Q0分成分成Q1和和Q2。由于射流。由于射流的冲击作用，在挡板上产生一个作用力的冲击作用，在挡板上产生一个作用力R。

22、（设（设A1=A2）例例4: 一个水平放置的一个水平放置的90弯管输送水弯管输送水 已知：已知：d1150mm，d275mm p1 2.06105Pa，Q0.02m3/s 不计水头损失不计水头损失求：水流对弯管的作用力大小和方向求：水流对弯管的作用力大小和方向 例：例： 水从水头为水从水头为h1大容器通过小孔流大容器通过小孔流出出(大容器的水位可以认为是不变的大容器的水位可以认为是不变的)，射流，射流冲击在一块大平板上，它盖住了第二个大容冲击在一块大平板上，它盖住了第二个大容器的小孔，该容器水平面到小孔的距离为器的小孔，该容器水平面到小孔的距离为h2 ，设两个小孔的面积都一样。若设两个小孔的面

23、积都一样。若h2给定，求射给定，求射流作用在平板上的力刚好与板后的力平衡时流作用在平板上的力刚好与板后的力平衡时h1为多少？为多少？ 例：例：水平面上自由水平面上自由射流与平板相遇，如图所射流与平板相遇，如图所示。已知射流速度示。已知射流速度V1=20m/s，总流量，总流量Q1=24L/s及及Q2=8L/s ，=1000kg/m3，不计水的，不计水的粘性，并假定流动定常，粘性，并假定流动定常，在足够远处在足够远处V2和和V3均匀。均匀。求求Q3、V2、V3和和；平板上所受到的力。平板上所受到的力。 例：例： 如图所如图所示，水从示，水从3m宽的矩宽的矩形水渠阀门流下，形水渠阀门流下，流量为流量

24、为13m3s，闸，闸门前后的水位分别门前后的水位分别为为2m和和lm（为一维（为一维流动）。试求作用流动）。试求作用在闸门上的力，并在闸门上的力，并指出在闸门上的压指出在闸门上的压力分布是否符合静力分布是否符合静压分布规律。压分布规律。一、动量矩方程一、动量矩方程 动量对某一参照点的矩称为动量矩。因此，动量对某一参照点的矩称为动量矩。因此，对控制体系统内任一点的动量对某一参照点的对控制体系统内任一点的动量对某一参照点的矩求和可表示为：矩求和可表示为： T snuurutrudtdrs 同动量方程的原因一样，动量矩方程只同动量方程的原因一样，动量矩方程只用于定常流动，这时上式变为：用于定常流动，

25、这时上式变为： snuursT离心泵叶轮离心泵叶轮r1r2u2u1u1eu2ru1ru2e对于某一流道（如图示），除两过流截面有流对于某一流道（如图示），除两过流截面有流体流入和流出外，无流体穿过叶片表面。故流体流入和流出外，无流体穿过叶片表面。故流道内的动量矩可表示为：道内的动量矩可表示为： 21 12111222SSSsnuursnuursnuurT常用平均速度常用平均速度代替代替u u，这时：，这时：当为不可压缩均质流体时，当为不可压缩均质流体时，Q Q2 2=Q=Q1 1=Q=Q，2 2=1 1=。则则 111122221111122222QRQRdQurdQurTss QRRT1122二、动量矩方程的应用二、动量矩方程的应用 例例1：离心泵叶轮如图示，已知：离心泵叶轮如图示，已知Q，R1，R2，求牵连速度、相对速度、绝对求牵连速度、相对速度、绝对速度和单位重量流体所获得的能量。速度和单位重量流体所获得的能量。 进出口子午面流速：进出口子午面流速： ， 。其中其中 ， 。 圆周速度：圆周速度： ， 2 2）求绝对速度）求绝对速度C C1 1和和C C2 2 22AQun11AQun1112b