全国高中数学联合竞赛模拟试题

1、全国高中数学联合竞赛一试模拟试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1 . 已知 A=x|x2 4x+3<0, x? R, B=x|2 1x+a < 0, x2 2(a+7)x+5 W 0, x? R若 A 二 B,则实数 a 的取值范围是2 22 .已知椭圆才1的左右焦点分别为Fi与F2，点p在直线1I PF"的值为PF2x-、. 3y 8八八0上.当.F1PF2取最大值时，比3 .设 f(x) =sin 4x-sinxcosx cos 4 x,贝 U f(x)的值域是 4. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为一.5. 函数y = x + Jx

2、2 3x +2的值域为.6. 已知正整数n不超过2000 ,弁且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是.7 .用x表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x Igx 2=0的实根个数是 .&各项均为实数的等比数列a n 前n项之和记为S n，若S0 = 10, S 30 = 70,贝U 9。等于二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. (本题满分16分)如图，有一列曲线P0, P1, P2,，已知P0所围成的图形是面积 为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到 的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外

3、作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,)，记Sn为曲线Pk所围成图形面积。求数列Sn的通项公式；求lim Sn。n -JpC10.(本题满分20分)如题10图,P是抛物线y2=2x上的动点，点B, C在y轴上，圆(x -1)2 y2=1内切于 PBC ,求 PBC面积的最小值解设 P(x0,y ),B(0,b),C(0,c)，不妨设 b c.直线PB的方程：yx,X0化简得（yo _b）x 一+？=0 .又圆心（1,0）到PB的距离为1,y -b7y0J)x022故(y -b) - x 0 =(y -b)易知x0 2,上式化简得22xDb(y -b) x b , (怡-2)

4、b2 ? 2y b-X。=0 ,同理有(xo -2)cA 2yocxo =0 .IO分2 2X0 -2Y 所以 b C = fS, bc,则(b-c)2"4"(xA-2) 2.9因P（xy。）是抛物线上的点,有 y =2x。,则"寺，b-C壬-4X5分、1所以 S PBC (b - C) x02x0 -2X。xa4，八，/4 2.4(x0 . 2) x 2 一0 .4=8 .焉一 2当（X0-2）2 =4时，上式取等号，此时20分因此S PBC的最小值为8.11.（本题满分20分)设 f(x) = x 2 a .记fl (xH f (x)=2,3,山，Ma ? R

5、对所有正整数n,f n(0)玄 2.证明：M1、填空题：本大题共【解】A=（1 , 3）;8小题,每小题8分，共64分.又,/?1 -xa<24<1?(一 a< 1.1,4),X2+5当 x? (1, 3)时，a> 2x7? (.5- 7,4).2、【解】由平面几何知，要使？ F1PF2最大，则过F1,F2,直线I相切于PAPFj =/AF2P,即点的圆必定和点。设直线I交x轴于A（-8 -2、，3,0）,贝U ?APFjL AF2P，即PF1AP(1)AF2( 1)PF2又由圆幕定理，AP =AFiAF2 (2),而Fi(-2 胎 0) , F2( 2 逅 0) ,A

6、 ( 8-2j3,0),PFiPF2一 8I.Vlo3、【解】f(x) =sin4 x有 AFi=8 ,AF2=8+4八3 。代入(1 ),4-2、3sin xcosx cos 4 x =1 4n 2x - dn2 2x。2 2f(x) =g(t) =1t -一 t 2 2 81 (tJ 1 因此 mnin g(tHg(1) = - i 9。即得 0< f(x) 9O8 8m 券 g(t) ugda 9一;2 8 24、【解】设球半径为R,其内接圆锥的底半径为r,高为h,作轴截面,h).1 V锥=3r=nh2(2R- h)=fh h(4R 2h)< nn4R/=27八冗n?所求比为

7、8 :3log _L x 2-2 或 log 1 x 0 或 log 1 x :27、 【解】I1一 +2 >3等价于±2 £或1 Io gx2, 一I 亨log; x 2日11 17即 一 一.一 一.log ; x 2 log x 22 此时 log 1 x : 0 .2 2 72二解为 x >4 或 0<x<1 或 1<x<27.6、【解】首项为a为的连续k个正整数之和为Sk二空上，一竺，2 27、由 Skw 2000 可得 60< k< 62.8、当 k=60 时)Sk=60a+30 X 59 由 Skw 2000 可

8、得 a<3 故 Sk=1830,1890,19509、当 k=61 时，Sk=61a+30 X 61 由 Skw 2000 可得 a<2 故 Sk=1891 , 1952;28、 当 k=62 时，Sk=62a+31 X 61 由 Skw2000 可得 aw故 Sk=1953.29、 于是，题中的n有6个.12、【解】令lgxd则得t2 2=t.作图象，知t= 1, t=2,及1<t<2内有解.当 1<t<2 时，t=1 , t= 3 .故得：x=10, x=100, x=10 3,即共有 3 个实 根13、【解】首 先 q 丰 1，于是，！(q101)=1

9、0, (q30 - 1)=70 ,20 10 10,q +q +仁 7. 二 q =2. (- 3 舍 ) S40=10(q40 1)=150 .二、解答题：本大题共3 小题，共56 分9、【解】对P）进行操作，容易看出 P0的每条边变成 R的4条边，故P1的边数为3 2X 4;同样，对P1进行操作，P1的每条边变成 P2的4条边，故P2的边数为3X 4,从而不难得到Pn的边数为3 X 4n 5分已知Pq的面积为Sq=1 ,比较P1与Po,容易看出P1在Pq的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而 Pq有3条边，故Si=SQ+3X,日+，32323再比较P2与P1,容易看出P2在P1的每

10、条边上增加了一个小等边三角形 ,而 P1 有 3 X 4 条边，故S2=S+3X 4 X 4=1+ + 3343 33类似地有:2S3=S2+3 X 4X厂 1+3+孑+? Sn=1=1 + 34 k10分下面用数学归纳法证明当 n=1 时，由上面已知假设当 n=k 时，有S<= - （4）k（八）式X）式成立,55 9n=k+1 时，易知第k+1 次操作后，比较Pk+1与Pk, Pk+1在Pk的每条边上增加了一个小等边1三角形，其面积为KT,而Pk有3 X 4k条边。故3k3+1 =3+3 X 4 X1 =8-|(9) k1尹 =55 9综上所述, 对任何 n? N, ( 式成立。8

11、=lim34 n 816分 ng- n H：():559510、【解】设P(XQ,yo),B(Q,b),C(Q,c) ，不妨设b e .直线 PB 的方程 ： yXQ化简得(y°_b) x _xoy ? Xob =0又圆心（1,0）到PB的距离为1,yo -b X ob|.(yo -b)2 -Xo故(yo -b)2 xf = (yob)2 2yb(y ob) xfb2,易知 xo 2,上式化简得 （X。2） b2? 2ybX。= o ,同理有-2)c2 ? 2yoc-xo =o .io分所以b c如，bc乞，贝U(b -02=咳运空.xo -2Xo -2(xo -2)2因P(xo,y

12、o)是抛物线上的点，有 y： =2x°,贝v(b-c)2 4xd2 , b -c= 2xo .岱分(xo -2)2Xo -2所以 S pBC =(b _c) x o =焉=(x o _2)44 _2 4 4 =8 .理 2X 2X 2 一当(xo- 2) =4时，上式取等号，此时 X =4,y o = 22 .因此S pbc的最小值为8.2o分11、【证明】（1）如果a £2,则f ）'牛a ?(5分)1(2)如果。1-2 _ a ,一 410 _a 时，设n =k -1时成 4由题意 flo)=a , f n(0)=(fn(0)2+a, n = 2,3,| .则,、1fn (°)( n -1).事实上，当 n =1 时，f (0) = a =2k - 2为某fk(0)兰 fko(0)2 +a当一 2兰a <0时，f n (0) <(_n 1).事实上,n = k -1时成立(k-2为某整k“ kJ22一|a| = a Af (0)= f (0) a 乞 a a.注意到当-2 乞 a :f (0) ga0时，总有a2二一 2a ,2a +aA a=|a|.从而有 fk（0）日a|.由归纳法，推出.2；(15 分)(3 )当 a14 时，记an=fn( 0 )对于anan 4 =