高中数学对数、对数函数、幂函数单元教学设计

1、必修1对数、对数函数、募函数部分单元教学设计、教材分析1、本单元教学内容的范围第三章的主要内容是指数函数、对数函数和募函数这三种函数模型.本章共分四大节，共 14课时.第一大节3.1指数与指数函数分 2小节（3.11-3.12 ）共4课时.该节首先引入整数指数哥和分数指数哥的概念.在初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数哥、零指数、负整数指数哥的概念，并且复习了正整数指数塞的运算法则.有了这些知识，本章将指数塞的概念和运算性质逐步扩充到有理指数哥以及实数指数哥.接着通过两个具体的例子引入了指数函数，并对指数函数的图象和性质进行了研究.第二大节3.2对数

2、与对数函数分 3小节（321-323 ）,共5课时，该节首先学习对数和对数的运算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数与对数函数的关系的研究给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较第三大节3.3哥函数只安排了 1个课时.该节通过考查已经学过的函数，引出了募函数的概念， 然后研究了募函数的图象和性质.第四大节3.4函数的应用（II）也安排了1个课时，举例说明了指数函数、对数函数和募函数在经济学、物理学等领域中的应用.为了加强数学的应用意识，体

3、现函数作为刻画现实世界变量之间相互关系的数学模型的作用，在第四大节的“探索与研究”中安排了 “如何建立数学模型”的内容，在章末安排了 “实习作业”.另外，在本章内容的讲解过程中，特别注意通过一些社会生活中的实例来展示指数函数、对数函数和备函数作为 函数模型的广泛应用.为了体现数学文化的作用，本章安排了两个阅读材料，通过介绍对数方法产生的历史以及建立对数 与指数的联系的过程，引导学生体会数学与社会生产生活之间的紧密联系，认识对数在人类社会发展、科技进步中的作用，以及社会生产生活的需要对数学发展的促进作用.另外，通过介绍对数方法先于指数概念，对数的发明没有应用指数与对数的互逆关系这一历史，可以让学

4、生体会数学发展的不同轨迹，从而激发学生的学习兴趣指数指数与指数嘀蚁指数函数对敕函数稚的概念幕的运算法则对数的概念对数的谡算法则2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后的情况下，较为系统地研究指数函数、对数函数、塞 函数，它是函数内容学习的继续和深入（第二阶段）.基本初等函数（指数函数、对数函数、哥函数 ）是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要 模型，由于我们生活在充满变化的现实世界中，其中有一类具有重要的运动变化的关系，如GDP的增长问题、人口增长问题、细胞分裂、考古中所用的14C的衰减、药物在人体内残留量的变化等，结合实际问题，可以感受

5、观察、抽象概括并建立数学模型的过程和方法，通过计算工具，感知指数函数、对数函数 以及募函数增长的差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的函数类型增长的含义.体 会函数在数学和其他学科中的重要性，体现数学的应用价值.学生在以前学习中，已经经历过“数”的扩充过程，由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理 数到实数，从而形成一个优美的体系，本章继续体现这样扩充的思路，实现指数概念的扩充进而进一步 研究募函数概念，依据两个原则：数学发展的需要；基本运算能无限制地进行，把“指数函数、对 数函数、哥函数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化、系统化的精神.本章是在上一章学习函数及

6、其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、哥函数这三个高中阶 段重要的函数.这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识， 并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理 性.可以说这一章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，对学生掌握基础的 数学语言，学好高中数学起着重要的作用.3、本单元教学内容总体教学目标学生通过本章学习，可以了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、哥函 数的概念与基本性质，了解五种募函数，体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，同时会用它们解 决一些实际问题

7、.一知识目标1 .了解指数函数模型的实际背景2 .理解有理数指数哥的含义，通过具体实例了解实数指数哥的意义，掌握哥的运算性质.3 .经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，掌握对数的运算性质.4 .经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图象与性质得到对数函 数的概念、图象与性质的过程，并通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，掌握 指数函数和对数函数的概念、图象以及性质.5 .收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例，了解它们的广泛应用.6 .利用计算工具、比较指数函数、对数函数以及备函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、 对

8、数增长等不同函数类型增长的含义.7 . 了解指数y=ax（a>0,且awl）与对数函数y=log ax（a>0,且awl）的图象关系，初步了解指数函数和对 数函数互为反函数的关系.18 .通过特殊的哥函数 y=x, y=x2, y=x3, y=x2 , y=x 1 了解募函数9 .引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、哥函 数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.10 .鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题.例如，利用科学计算器、计算机画出指数函数、 对数函数和备函数的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质.

9、（二）能力目标1 .培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力.2 .培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力.3 .培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力.（三）价值目标1 .培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质.2 .培养学生观察分析、抽象概括能力，数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力.3 .学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学 的应用价值.4、本单元教学内容重点和难点分析重点：指数函数和对数函数的性质 .难点：无理指数哥的含义以及指数和对数的关系5、本单元内容新课标与大纲的比较（1）本单元内容新课标与大纲的目标

10、对比项目课标（14课时）大纲（24课时）必修1-3（上）第二章二（三）内容新课标的目标表述大纲的目标表述指数函数通过具体实例（如，细胞的分裂，考古 中所用的14c的衰减，药物在人体内残留量 的变化等），了解指数函数模型的实际背景 . 理解有理指数哥的含义，通过具体实例 了解实数指数哥的意义，掌握哥的运算.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 在解决简单实际问题的过程中，体会指 数函数是一类重要的函数模型（参见例2）.理解分数指数的概念， 掌握有 理指数嘉的运算性质，掌握指数 函数的概念、图象和性质对数函数理解对数的概念及其运

11、算性质，知道 用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发 现历史以及对简化运算的作用.通过具体实例，直观了解对数函数模型 所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概 念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 能借助计算器或计算机画出具体对数函数 的图象，探索并了解对数函数的单调性与特 殊点.知道指数函数y=ax与对数函数y=log a x理解对数的概念，掌握对数的 运算性质，掌握对数函数的概念、 图象和性质互为反函数(a > 0, aw1)哥函数通过实例，了解哥函数的概念；结合函1Q23o1, 一。数 y=x, y=x , y=x , y=x2 , y=x 的

12、图象， 了解它们的变化情况.无(2)变化之处1 .加强的内容(1)加强了函数模型的背景和应用的要求.了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长 等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集生活中普遍使用的函数模型实例体会函数模型应用的现实 意义.要求学生了解无理数指数哥的意义，感受用有理数指数哥逼近无理指数哥的过程，通过“过剩近似 值”与“不足近似值”两个方向逼近，认识无理指数哥是一个确定的实数，明确有理数指数哥的运算性 质在无理数范围内也是成立的，大纲只要求掌握有理数指数哥的运算.在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加

13、深学生对函数概念 的理解.新课标在指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别，新课标更侧重于指数型函数与对 数型函数的教学.(2)加强了信息技术整合的要求.明确指出了要运用信息技术进行教学，如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索 并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数 函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的近似解等.这都体现了加强与信息技术整 合的要求，加强了函数模型的背景和应用的要求.在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，有利于加深学生对函数概念的理解.2 .削弱的内容(1)削弱

14、了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练.(2)削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数y ax ( a 0,且a 1)与对数函数 y log a x(a 0 ,且 a 1)是互为反函数；不要求形式化的理解其概念，也不要求求已知函数的反函数 ，复合函数的概念仍放到“导数及其应用”的相关内容中.对于对数函数内容的要求也有所降低.这都是 为了尽可能地减轻学生的负担.1(1)增加了备函数(y=x, y=x2, y=x3, y=x2 , y=x 1)的内容；(2)换底公式又恢复为教学内容 .6.教学建议1 .指数函数、对数函数等有其丰富的实际应用价值，在教学中，应让学生充分感受指数函数

15、的应用，如通过GDP勺增长问题、14C的衰减，考古、地震、pH的测定等，体现数学的应用价值.2 .应强调在基本初等函数学习中所蕴涵的数学思想方法，如推广的思想(指数哥运算律的推广 卜逼近的思想（ 有理指数幂逼近无理指数幂） 、数形结合的思想（ 用指数函数、对数函数、幂函数的图象探究指数函数的性质） 、归纳思想、类比思想（ 如从指数的运算律类比对数的运算律） 等引导学生用类比的思想方法，将指数函数、对数函数、幂函数的研究方法统一起来，并加以归纳总结在本章教学中尤其应注意加强数形结合、几何直观等数学思想方法的学习要求，可先从分析具体的函数图象与性质入手，观察分析、体验探索、归纳概括，进而得到的基本

16、初等函数的图象与性质这是教学的重点之一，强调指数函数和对数函数的底数a 对函数值变化的影响，这是教学的难点，应注意贯穿分类讨论的思想方法，化解难点、突出重点3 教学过程中要注意发挥信息技术的优势，尽量利用计算机或计算器等创设教学情境，绘制指数函数、对数函数、幂函数的图象，为学生的数学探究与数学思维创设有利的环境和条件4 教材中对反函数的概念要求作了较大的调整和降低，只要求知道指数函数yax（ a0,且 a 1）与对数函数y log a x（ a 0,且 a 1 ）是互为反函数，对反函数的形式化的符号和推理不作一般性的要求。二、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述根据本单元教学内容的特

17、点，可以采用讲授式与自主探究相结合的教学方式，要重视章头故事在教学中的应用，要充分利用几何画板，科学计算自由软件（P120）等软件以及图形计算器等工具通过教师引导下的学生的自主探究，发现指数函数、对数函数、幂函数的若干性质，完成教学目标所确定的教学任务.三、本单元所需教学资源概述图形计算器，几何画板, 科学计算自由软件或其他软件平台，已经进入新课标的省份的高考试题.四、本单元学时建议§ 3.2.1 对数及其运算（共3课时）§ 3.2.2 对数函数（1课时）§ 3.2.3 对数函数与指数函数的关系（1课时）§ 3.3 幂函数 （ 1 课时）五、本章各节课教

18、学设计§ 3.2.1 对数及其运算（共3课时）一、教材分析1、本单元的教学内容的范围对数产生于17 世纪初叶，为了适应航海事业的发展, 需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17 世纪数学的三大成就，给予很高的评价.今天随着计算器的普及和电子计算机的广泛使用以及航天航海技术的不断进步，利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完成，已被新的运算工具所取代，因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减，但对数函数应用还是广泛的，后续的教学内容

19、也经常用到本单元对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数对数概念与指数概念有关，是在指数概念的基础上定义的，在一般对数定义10ga N （a>0,a wi）之后，给出两个特殊的对数：一个是当底数a 10时，称为常用对数，简记作lg N b ；另一个是底数a e （ 一个无理数） 时，称为自然对数，简记作InN b.这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学 习对数函数知识够用即可.依据课程标准及北京市教学指导意见，要求理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数 转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料了解对数的发展史及在简化运算中的作

20、用.理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则 的依据和过程；掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；能较熟练地运用法则解 决问题；渗透应用意识，培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力.从上图中的关系可以看出，对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的.它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为：当a 0,a 1时，logaN b ab N .所以指数式ab N中的底数，指数，哥与对数式log a N b中的底数，对数，真数的关系可以表示如下:本节的教学重点是对数的定义；对数作为一种运算，由

21、 ab N a 0,a 1引出，在这个式子中,已知一个数a和它的指数，求哥的运算就是指数运算；而已知一个数a和它的哥，求指数的运算就是对数运算(而已知指数和哥求这个数的运算就是开方运算)；所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一.恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成a和真数N的了对ab N的全面认识对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数要求；其次对于对数的性质loga1 0,loga a 1(a 0,a 1)及零和负数没有对数的理解，也可以通过指数式来证明、验证；在理解对数概念后能完成指数式和对数式的互化。

22、对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要 手段.对数作为一种运算，重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上 相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成 为本节的重点，特别予以关注.对于运算法则的探究，可以通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一 般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完 成，强化“用数学”的意识.对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的 条件是

23、保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围.最后还要让学生认 清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法, 显示了对数计算的优越性.3 .本单元的教学内容总体教学目标理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则 的依据和过程；掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；能较熟练地运用法则解 决问题；渗透应用意识，培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力.4 .本单元的教学内容重点和难点分析(1)重点是对数定义的理解；对数的运算性质和运算法则；理解对数换底公

24、式，掌握对数换底公式的 应用.(2 )难点是对数换底公式的理解和灵活应用.(3)在指数知识的基础之上，利用类比联想，互动探究的方式来引出对数定义.鼓励学生利用网络查 找知识背景，从学生的角度来提问题并在解决问题的过程中加深对知识的理解.引导学生初步认识数学 是一门严谨的科学并进一步理解数学中规定的合理性.a和真数N的5 .其它相关问题对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数要求；其次对于对数的性质loga1 0,loga a 1(a 0,a 1)及零和负数没有对数的理解，也可以通过指数式来证明、验证；在理解对数概念后能完成指数式和对数式的互化。对数的定义是对数

25、形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要 手段.仿照初中如何引入根式定义的方式来导入资料：布尔基与耐普尔数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰耐普尔(JohnNaeipr, 1550 1617)和瑞士的乔伯斯特布尔基(Jobst Bu rgi , 1552 1632).向普尔名的天文学家 并决定为他们 表.从原则上 非所给出的两 要乘的数在 斯大学的斯帕 自己的学布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著 开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况.他体察天文学家的辛劳， 提供简便的计算方法.布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数

26、说，史提非已经解决了将乘(除)运算转为加(减)运算的途径.但是史提个数列中的数字十分有限，它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有 内.耐普尔原是苏格兰的贵族.生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁 希杰尔学院学习.十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了 识.耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力.正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏. ”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”,而为制作对数表他花了整整20

27、年时间.对数产生于 17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据, 就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数.恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、 微积分学的创始并称为 17世纪数学的三大成就，给予很高的评价.二、与本单元的教学内容相适应的教学方式和教学方法概述1、充分利用信息技术和网络资源来学习知识；2、学生在一定的情境背景下，借助老师和学习伙伴的帮助下，利用必要的学习资料等学习环境要素充分 发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的; 3、由于对数与指数在概念上

28、相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了 指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注.4、对学生的学法指导：联想类比.数学是一门基础学科，数学的概念、性质抽象严谨，因此在学习过 程中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、类比发现新的知识，这有利于培养学生的数学情 感，提高学生的学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握.5、鼓励学生自主学习和协作学习.学生是在特定的学习环境进行学习.“水涨船高”，通过小组协商、 讨论；使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识逐渐变得明朗、一致，使问题顺利解决.鼓励学生利用 网络查询有关对数的相关信息.对数的应用学生感到数学是有

29、用的有趣的整合各学科知识为今后的学习 做准备.6、对于运算法则的探究，可以通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一 般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完 成，强化“用数学”的意识.7、对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的 条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围.最后还要让学生认 清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法, 显示了对数计算的优越性.8、可以采用讲授与学生探究相接合，帮助学生

30、理解对数与指数的关系，提升学生的学习兴趣。三、本单元所需教学资源的概述对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的.它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为：当a 0,a 1时，loga N b ab N .所以指数式abn中的底数，指数，塞与对数式loga N b中的底数，对数，真数的关系可以表示如下:本节的教学重点是对数的定义；对数作为一种运算，由abNa0,a1引出，在这个式子中,已知一个数a和它的指数，求哥的运算就是指数运算；而已知一个数a和它的哥，求指数的运算就是对数运算（而已知指数和哥求这个数的运算就是开方运算）；所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个

31、量，知二求一.恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对ab N的全面认识.对数作为一种运算，重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相 通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成为 本节的重点，特别予以关注.四、本单元学时建议本单元学时建议安排三学时，即对数的概念、对数的运算性质、对数的换底公式及其推论.例如：第一学时：对数的概念一、学习目标：I对方概念卜干嫩的性质丽书旨婀事攒式皎系I.常用对数，自厢蕨"口利硒蟠号及馔法1、理解对数的定义：log a N这一符号的含义，字母

32、 a,N的取值范围；2、理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想；3、根据对数的定义，归纳总结出对数的3条性质和对数恒等式 alogaN N （教材P96）,培养学生归纳猜想的能力；4、理解常用对数的概念；5、能够通过对数的概念求出比较简单的对数式的值；6、信息技术整合：使用科学计算器，求对数.二、重点内容安排：1、重点是对数定义的理解；2、在指数知识的基础之上，利用类比联想，互动探究的方式来引出对数定义。鼓励学生利用网络查找知识背景，从学生的角度来提问题并在解决问题的过程中加深对知识的理解。引导学生初步认识数学是一 门严谨的科

33、学并进一步理解数学中规定的合理性.三、教学内容安排：教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题为什么学习对数？由指数函数中的细胞分裂问题，引出细胞分裂第X次后，细胞的个数 y 2x；如果知道细胞分裂若叶次后的个数为y,如何求出分裂次数X ；这就是已知底数和哥，要求指数 的问题；网上查询 对数产生 的背景增加学生学习兴趣复习引入初中如何认识和学习根式由学生来 复习讲解发挥学生 的主动性概念形成(1)如果2(2>0且21)的b次哥等于 N,就是ab =N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN =b,其中a叫做对数的底数， N叫做真数.(2)对数的性质有：1)1的对数等于零；2)底的对

34、 数等于1; 3)零和负数没有对数.(3)通常将以10为底的对数叫做常用对数；以 e 为底的对数叫做自然对数，log 10N可简记为IgN, log eN简记为l nN.学阅的由己文以自课可生读讨义方定理的必合 生数的和 学对出性性 让解引要理概念深化式子名称abN指数式bmaN底数指数募值对数式loga N b底数对数真数(1)在对数定义中，为什么也要限定a>0且aw1?答：因为对数概念源出于指数，对数式 lOgaN =b是由指数式ab=N转化而来，对数的底数就是指 数的底数，而ab=N中要使它对任意实数 b都有意 义，必须a> 0且aw1,所以对数式中也必须要求 a >0

35、 且 aw1.(2)为什么1的对数等于零，底的对数等于 1,零 和负数没有对数？答：当a>0且awl时，a0 = 1,即a的零次 哥为1,所以0就是以a为底1的对数；a1= a,即 a的1次哥为a,所以1就是以a为底a的对数；在 ab=N中，对任意实数 b,都有ab>0,即N> 0,所 以不存在实数b,使abw0,即零和负数是没有对数 的.(3) log a N b和阿ab N的关系来问式 生疑方 学出论答 由提讨解化的 转生 终学力 最成能关模在于想帮旨教与晒的关总认识第数和对数之间的联系.时于数学中的式子它的成立是有员件的.对于这个对翻式来度.百先近毛皮使它戌立的条牛 即

36、日乂且HHl, “这样这人对 救哥甘力是有耳乂的其次老盅它的来，耳,福居对熟的定义，应有"-M却有了=队就有了 1%加瓦而I软卅_占就是J _出， 因此i/' = NA 1喳=N E是券价黄): 一个是，仃初磕下K 一4通用s 用N太示此对于两式甲子母用划=一字管，兄是在不同式子名卷 不同而己.旭所示|7®1T牌一1从图中瓦以发城，相强与濯数只是对同一字可正不同*H下的不同居称. 人理受一跳近当是回或可相就社是招致.对数式只是招数式的一和 政司 正因为西式中字母是同-4.所以字母圣侑艳郦也是柞同阿 有呷冠哪闻奉ft因则朝武维时,稀在，如“1镭/不存fc若广 ”不为：

37、三"不存区如历的：不存2L州为口可占可以为占裳止敷,是 色也即喑无段M若E。为1吐E不存在,如她产刊福上的时，4可妫画数是燃一的，即强啸磁 却值部便小；闻川，生干曲乩这是由干这翻胭利正数的任何收提都是万吃困而御的却总是正教一町国替耀标而负善撤应用举例地震级别定义，离子浓度，噪音分贝单位等学生上网 查询理解数学 的应用性归纳总结类比联想理解新知识讨论提升理解布置作业教材第97页练习A、练习B四、教学资源建议仿照初中如何引入根式定义的方式来导入资料：布尔基与耐普尔数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰耐普尔(JohnNaeipr, 1550 1617)和瑞士的乔伯斯特布尔基(Jobs

38、t Bu rgi , 1552 1632).布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天 开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况.他体察天文学家的辛劳，并决 们提供简便的计算方法.布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表.).说，史提非已经解决了将乘(除)运算转为加(减)运算的途径.但是史提非所给个数列中的数字十分有限，它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的 内.耐普尔原是苏格兰的贵族.生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大 帕希杰尔学院学习.十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自耐普尔文 定 原 出 数 学 己识.耐普尔虽不是专

39、业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代学家 为他 则上 的两在 的斯 的学 尽心尽力.正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏.”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整 20年时间.对数产生于 17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测 行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数.恩格斯曾把对数的发明与解 析几何学的产生、微积分学的创始并称为1

40、7世纪数学的三大成就，给予很高的评价.五、教学方法与学习指导策略建议：1、充分利用信息技术和网络资源来学习知识；2、学生在一定的情境背景下，借助老师和学习伙伴的帮助下，利用必要的学习资料等学习环境要素充分 发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的;3、教学方法与学习指导策略建议:对学生的学法指导：联想类比.数学是一门基础学科，数学的概念、性质抽象严谨，因此在学习过 程中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、类比发现新的知识，这有利于培养学生的数学情 感，提高学生的学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握.鼓励学生自主学习和协作学习.学生是

41、在特定的学习环境进行学习.“水涨船高”，通过小组协商、 讨论；使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识逐渐变得明朗、一致，使问题顺利解决.鼓励学生利用 网络查询有关对数的相关信息.对数的应用学生感到数学是有用的有趣的整合各学科知识为今后的学习 做准备.第二学时：对数的运算性质一、学习目标：1、理解对数的运算性质；2、通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识；3、通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系、相互转 化以及“特殊一一一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学

42、精神.二、重点内容安排：本节的重点是对数的运算性质的推导过程及其应用；难点为积、商、哥的对数的发现过程及其证明 三、教学内容安排教教学内容师生互动设计意图学环节练习:已知lg3 = n lg5解：lg3 = n lg5 = n巩固知识，确定教学起点复=n，求 10032n 的值.-10m= 3, 10n=5.习”-3m2n>2(3m 2n).100=10(引=106m+ 104n=入(10T+(10n)4= 36-54 =7296251.如果a>0且aw 1,师生讨论强调真数大于零M>0, N>0,那么1.对数运算性质的实质是使学生掌握对数运算性质和法则公log a(M

43、N=什么？说明：上述证明是运用转化的思想，式log aMI+ log aN;答：对数运算性质的实质先通过假设，将对数式化成指数式，形M是可以把乘、除、乘方、并利用哥的运算性质进行恒等变形；成(2)log a = N开方的运算转化为对数的然后再根据对数定义将指数式化成对及log aM- log aN;力口、减、乘运算，从而降数式.深(3)log aM=低了运算难度，加快了运简易语言表达：“积的对数=对数化nlog aM n C R).算速度，简化了计算方法.的和”2 .对数的运算性质用语2.运用对数运算性质时应有时逆向运用公式：如言叙述为：两个正数的注意什么？积的对数等于这两个正答:运算性质只有

44、当 M>10g10 5 10g10 210g1010 1数的对数的和；两个正0, N>0, a>0且 awl 时真数的取值范围必须是（0,）:数的商的对数等于这两/切思义，如 log 220 =个正数的对数的差：一log 2 ( 4)x( 5)1 是 成立的，但log 2 (log 2( 3)( 5) log 2( 3) log 2(5)个正数的n次哥的对数等于这个正数的对数的4) x ( 5) = log 2( 4)是不成立的n倍.+ log 2( 5)就不成立，这 是因为 log 2( 4)和 log 2( 5)没后思义.10g10( 10)2210g10( 10)是不成

45、立的.对公式容易错误记忆， 要特别注意： loga(MN) log a M log a N,loga(M N) log a M log a N .教 学 环 节例 1(1)用 lg2 和 lg3 表小lg75 .(2)用 log 水，log ay ,log az表示43；2, x qy zlOg a 丫一Jxyz3例 2求证:(1)lg5=1 lg2 ,(2)log ab log ba = 1(a>0 且 awl, b>0 且 bwi)解：(1)lg75 =lg(25 X3 ) =lg(5 2X3)= 2lg5 + lg3 =2lg "+ lg3 = 2(1 2lg2)

46、+ lg3 = 2 2lg2 + lg3(2) 原 式 =log a(x4 -3/y2z )log axyz3=4log ax+1log a( y2z)-3-log a( xyz3)2一,1 小，=4log ax十 一 (2log ay，、1 “+ log az) 一 一 (log ax +log ay+ 3log az)=7 log ax + 1 log ay 267 log az6证明:(1) ,. lg5 + lg2 =lg10 = 1.lg5 = 1 - lg2 .(2)设 log ab= p,则 ap= b1 a= b p.1 一 . 一 = log ba P1 . log ab -

47、 log ba = p用已知对数表示未知对数，就是把要 表示的对数的真数分解成已知对数的 真数的积、商、哥的形式，然后用对 数的运算性质.注意运算性质只有在 同底的情况下才能运算.第(2)题中没 后指明a、x、v、z的范围，这时我们 就认为是使每个对数符号都有意义的 a、x、y、z的最大范围，即a> 0且aw1, x>0, y>0, z>0.证明对数等式时，首先考虑运算性质， 如果/、能运用性质，则应考虑把对数 式化成指数式，然后用指数运算性质 变形后再化成对数式.=11、设 a>0 且 aw 1, M解析：运用哥的运算性质：强化公式及其应用>0 , N&g

48、t;0 , nC R 且1nw0,则下列等式正确log a nJM = log aM n =的是()A. log a( M+ N)= log aM+ log aN1log aM nB . log a(M-N)=log aM- log aNC - log a(MN =log aM- log aND . log a ni'M=应-log aM n用 举2、卜列各等式中正确运解析：lg( x2y Jz ) = lg x2例用对数运算性质的是1()+ lg y + lgz 2 = 2lg x +A. lg( x2y "z )=lg y+ 11gz 2(lg x)2+ lgy+ <

49、;lgzB. lg( x2y Jz )=(lg x)2+ lg y+21gzC. lg( x2y <z )=2lg x+ lg y-2lgz一一一，、54解析：（1）原式=log 3 D. lg( x2y Vz )=2=log 327 = 32lg x+ lg y+ -lgz 2(2)原式=3 2+1 (1) =33、求卜列各式的值一，、-1(3)原式=log 44 +(1)log 354 log 32 =；(2)lg1000 lg100 + 口 log 4 , -= - 1 +，43，“，1lg10 lg =10；3,2,3log 44=-1 一 一=2(3)log 4 1+ log

50、4 = 4852；(4) 原 式 =(4)log 24 - log 42=4、用 log 32 表小 log 96.5、已知 a+b=lg 32 + lg35 + 3lg2 Tg5 ,求 a3+ b3+ 3ab 的值.211log 22 log 44 2 = 2X _ 2=1.解：log 96= log 9(2 X3)门21=log 92 + log 99 2 = 一 十 2log 92令 log 92= b 则 9b=2,即(3b)2=2.-3 b =、/2,log 3412 = b,即 b =1 J 1 1 c log 32 2 = log 32.1 log 92 = b= log 32

51、2log 96 =+21 log 322解：a + b = (lg2 + lg5)(lg 22 lg2lg5 + lg 25) +3lg2 - lg5=lg 22 lg2lg5 + lg 25 + 3lg2lg5 = (lg2 + lg5) 2= 1.a + b + 3ab= (a+b)( a2 ab+ b2) + 3ab = a2.2_. . 2ab+ b + 3ab = (a+ b)=1.归 纳 总 结1 .准确地掌握对数的运算性质是正确地进行对数运算的前提，利用对数运算，可以把 通过乘、除、乘方、开方运算得到的积、商、哥的对数转化为对数的加、减、乘、除运算， 从而显示了利用对数计算的优越

52、性.2 .正确地进行对数运算，要注意底和真数的关系，将真数转化为积、商、哥，并注意 对数性质和对数的两个恒等式的运用.3 .掌握对数运算性质的正用、反用，了解运算性质的变形用法.布 置 作 业P107 习题 32B1、2巩固知识四、教学资源建议1、通过测试题检测学生已有知识结构，做好学生知识分析，确定教学起点；2、针对这一部分的特点，在教学中可以采用教师讲解，学生练习为主的方式进行教；3、由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了 指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注.五、教学方法与学习指导策略建议对于运算法则的探究，可以通过对具体例

53、子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一 般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完 成，强化“用数学”的意识.对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的 条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围.最后还要让学生认 清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法， 显示了对数计算的优越性.与旧教材相比，新教材增加了例题量和难度(如p99例5 (3) (4).在习题B中，第2题已知lg2求lg5的题目，第3题是配方，开方

54、，对数估值的综合题.这样的安排可以满足优秀学生的学习需要.第三学时：对数的换底公式及其推论 一、学习目标：1、利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法；2、理解数学符号"ln N"的含义；3、常用对数和自然对数的关系.二、重点内容安排：本节课的重点是换底公式的证明和应用；难点是领悟换底公式的基本作用；熟练掌握换底公式正逆两方面的应用.三、教学内容安排教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入(1)log a( MN = log aM+ log aN；(2)l0g a M- = lOg aMh lOg aN； N(3)log aM= nlog aM( n C R).学生回答调动学生参 与课堂教学 的主动性公式推导定义：一般地，如果 a a 0,a 1的b次帚等于N, 就是ab N ,那么数b叫做 以a为底N的对数，记作 log a N b ,