高中三角函数

1、三角函数的六类问题方法谈摘要：针对目前高考的热点问题一一三角函数问题， 因其在高考中一般以中低档题出现， 对 学生来说，这些问题应该较易。 因次本文针对三角函数的六类重、 热点问题归纳总结， 以巩 固所学，提高能力，实现三角函数知识的升级.关键词：三角函数 问题 图象 正文三角函数是数学的重点内容，也是高考考查的着力点，其中三角函数的概 念与性质常以选择题、填空题的形式出现，三角包等变换常以解答题的形式出现， 它们多是容易题或中档题，是不应失分的题目.因为三角函数内容丰富、公式众 多，考查形式灵活，其题目也绚丽多姿.本文针对三角函数的六类重、热点问题 归纳总结，以巩固所学，提高能力，实现三角函

2、数知识的升级.一、单调性问题此类问题主要考查三角函数的增减性，各象限中各个三角函数值的符号等.很 多情况下，需要通过三角包等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的 形式来求解.例 1 (07 湖南文)已知函数 f(x) 1 2sin2 x 2sin x cos x .888求：函数f(x)的单调增区间.解析：f(x) cos(2x ) sin(2 x )44r-冗 冗冗Lv2 sin(2x )v2 sin(2 x)42 cos2x.4 42当 2k：t2x< 2k tt,即 k 冗< x < ku ( k Z )时，函数 f (x) & cos2x是2增函数，故

3、函数f(x)的单调递增区间是kukT (k Z).2点评：在求单调区间时，要注意利用诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、倍角公式、函数y Asin( x )的性质等基础知识，考查基本运算能 力.利用三角公式将所给函数化为一个角的三角函数。在求y Asin( x )的单调区间时还应注意的正、负，同学们可以自己求一下 y 2sin - 2x的单6调递减区问，并与本例所求得的区间对比一下.二、根据三角函数性质确定函数解析式问题这类问题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.关键是根据图象的位置求出相关参数A,，等。，一，一 ，、一 一、 ，一E 一、，兀一一L,，例2(江西)如图，函数y

4、2cos( x )(x R,> 0,0<0)的图象与y轴2相交于点(0,阴)，且该函数的最小正周期为.(1)求和的值；(2)已知点A -,0 ，点P是该函数图象上一点，点2Q(x0,义)是年的中点，当义屋2%时，求X0的值.解析：(1)将x 0, y J3代入函数y 2cos( x ) cos 白，因为0W W 所以由已知T冗，且 0,得 红红2 . T 冗(2)因为点 A ,0 , Q(x0, y0)是 PA 的中点，y0 22所以点p的坐标为2x0 -,73 .2. ,_.、>,>TT 一 一 0一 TT一又因为点P在y 2cos 2x 的图象上，且一Wx0Wjt,

5、所以62cos 4x0即x0m或x019冗iih/曰5冗11兀1、,从而得4x0 或4x06663兀一.413 7t6.解决本题的关键是在解析：本题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力于根据图象性质确定所给函数中的参数的值，根据题意图象与y轴相交于点(0,J3)建立等式关系凭借的限制条件就能确定的值；本题的第二问实际是已知三角函数值求角问题，利用中点公式借助点Q(x0, y。)将点P表示出来代入函数式，凭借特殊角的三角函数值求角即可.三、求值与证明问题此类题是高考中出现较多的题型，要求同学们掌握从题设条件入手、以题目 结论或要求为目标，正确运用各类三角公式，消除角的差异，实现函数名称的转

6、化，达到解(证)题的目的.深刻理解三角函数的概念，熟练掌握各类三角公式，熟悉三角包等变换的常 用思想方法和变换技巧，是解决问题的关键.例 3 (2007 四川)已知 coso=1，cos(3=14,且 0<3K2,(I)求 tan2a 的值；(H)求 0解析：(I )由 cos 1,0，得 sin工cos1 2 * 4- ,/1 (-)2 4-3 .72-77sin一tan cos于是tan 22 tan tan22 4.31 (4,3)28.347(H)由 0又cos()里，. sin(14仆2()口方3.314由 ()，得cos cos () cos cos()sin sin( )解

7、析：（I）设 ABC中角A, B, C的对边分别为a, b）, c,1贝U 由-bcsin3 , 00 bccos 0 6 ,可得 0 0 cot 0 1,TT TT4, 2,、2 Tt(H) f ( ) 2sin 一43 cos21 cos - 2 J3 cos22(1 sin2 ) <3 cos2sin 23 cos2 1 2sin 2. 冗冗冗 冗2冗.一,冗 /一, 一 ，2 一 一， ，. 2 0 2sin 211 0 3 .4 236 33即当时，f()max 3；当,时，f ( )min 2 .124点评：本题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的 性

8、质等基本知识，考查推理和运算能力.五、实际应用问题这类问题主要考查利用三角函数的性质及三角包等变换解决有关实际应用 问题.解题的关键是利用三角函数表示出各有关元素，从而建立起函数关系. 例5 （2007海南）如图，测量河对岸的塔高 AB时，可以选与塔底B在同一水平 面内的两个侧点C与D .现测得 BCD , BDC , CD s ,并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB .解：在 BCD中，CBD 冗由正弦定理得sin BDCsin CBD所以BCCD sin BDCsin CBDssinsin( )s tan sinsin( )在 RtzXABC 中，AB BC tan ACB点评：本题考查

9、正弦余弦定理应用及应用所学知识解决实际问题的能力.解三角 形应按照由易到难的顺序来求解， 选用边角时尽量避免复杂运算，有时需要对一 些复杂图形特殊处理，平面几何知识“功不可没” .六、图象变换问题三角函数的图象变换是一个重点内容.解这类问题，先通过三角包等变换将函数化为y Asin( x ) (A 0,0)的形式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的.特别需要注意的是：在图 象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均 对“x”而言.例6 已知函数y sin2x 2sin xcosx 3cos2 x 1, x R .该函数的图象可

10、由y sinx, x R的图象经过怎样的变换而得到？解： y sin2 x 2sin xcosx 3cos2 x 12sin 2x 2cos x sin 2x cos2x 1五sin 2x -1 .4将函数y sin x依次作如下变换：(1)把函数y sin x的图象向左平移-,得到函数y sin x -的图象；44(2)把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的-倍(纵坐标不变)，得到函数2y sin 2x 的图象； 4(3)把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的我倍(横坐标不变)，得到函数y 72sin 2x 的图象； 4(4)把得到的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数y V2sin 2x - 1的 4图象.综上得到函数y sin2 x 2sin xcosx 3cos2 x 1的图象.点评：由y sin x的图象变换得到y Asin( x)的图象，一般先作平移变换,后 作 伸 缩y sin x y sin(x ) y sin( x )变 换 ，即y Asin( x ).如果先作伸缩变换，后作平移变换，则左(右)平移时不是个单位，而是 一个单位，即y sin( x) y