高一数学必修1各章知识点总结

1、高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由 HAPPY的字母组成的集合H,AEY元素的无序性：如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示：如：我校的篮球队员, 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R列举法：a,b,c描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x

2、R|x-32 ,x| x-32语言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn 图：4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1 .“包含”关系一子集注意：A B有两种可能（1） A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2 .“相等”关系：A=B （55,且 50,则 M 与 N 的关系是4 .设集合A= x1 x 2 , B=虫a ,若A B,则a的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得

3、正确得有31人，两种实验都做错得有 4人，则这两种实验都做对的有人。/6 .用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.o7 .已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0,/若Bn CW，An C= ,求m的值二、函数的有关概念1 .函数的概念：设 A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合 A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A-B为从集合A 到集合B的一个函数.记作： y=f(x), xC A.其中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函 数的定义域

4、；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xCA 叫做函数的值域. 注意：1 .定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义相同函数的判断方法：表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)；定义域一致(两点必

5、须同时具备)(见课本21页相关例2)2 .值域：先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3 .函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xCA)中的x为横坐标，函数值 y为纵坐标 的点P(x, y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x A)的图象.C上每一点的坐标(x, y)均满足函数 关系y=f(x),反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y为坐标的点(x, y),均在C上. (2)画法描点法：图象变换法常用变换方法有三种平移变换伸缩变换对称变换4 .区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数

6、轴表示.5 .映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合 A中的任意一个元素X,在集合B中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应f: A B为从 集合A到集合B的一个映射。记作“ f (对应关系)：A (原象)B (象)”对于映射f： A- B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合 B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6 .分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况.(3)分段函数的定义域是

7、各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.补充：复合函数如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x C A),则 y=fg(x)=F(x)(x C A) 称为 f、g 的复合函数。二.函数的性质7 .函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 x1, x2, 当x1x2时，者B有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增 区间.如果对于区间 D上的任意两个自变量的值x1, x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意

8、：函数的单调性是函数的局部性质；(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3) .函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：任取 x1, x2 D,且 x11,且neN*.负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 0,记作V0 0。n n当n是奇数时，Vaa ,当n是偶数时,nan |a|a (a0)a (a0)2 .分数指数哥正数的分数指数哥的意义，规定：0, m,n*N ,n 1)mn 11m n m*a 下m(aa n Ja (a 0, m

9、, n N ,n 1)a n a0的正分数指数哥等于 0, 0的负分数指数哥没有意义3 .实数指数哥的运算性质(a 0,r,s R).(ar)sars(a0,r,sR)；r r s_(3)(ab)a a(a0,r,sR).(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数y a (a 0且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量, 函数的定义域为 R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1.2、指数函数的图象和性质a10a0值域y0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0, 1)函数图象都过定点(0, 1)注意：利用函数的单调性，结合图象还可以

10、看出：(1)在a, b上，f(x) ax(a 0且 a 1)值域是f(a),f(b) 或f(b),f (a)；(2)若x 0,则f(x) 1, f(x)取遍所有正数当且仅当x R;(3)对于指数函数f(x) ax(a 0且a 1),总有fa;二、对数函数(一)对数1,对数的概念：一般地，如果ax N (a 0,a 1)，那么数x叫做以a为底N的对数,记作：x log a N (a底数，N真数，10g a N对数式)说明：O注意底数的限制a 0,且a 1；ax N log a N x；ogaN 二3注意对数的书写格式.两个重要对数:ln Nd常用对数：以io为底的对数lgN ； 自然对数：以无理

11、数e 2.71828为底的对数的对数 指数式与对数式的互化 募值loga N = b底数指数对数的运算性质对数如果a 0,且a 1,M 0,N 0,那么:1 lOga(M.N ) log a M + log a NM loga - N3 logaMnn log a M (nR)注意：换底公式.log c blog a blog c a （a 0 ,且利用换底公式推导下面的结论0,且c1;b 0).logam bn logab(1)m ；lOgablogb a（二）对数函数D叫做对数函数，其中 x是自变量,y 210g 2 x1、对数函数的概念：函数y log a x（ a 函数的定义域是（0,

12、 +）.注意：O 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如:, xy log 5 -5都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.对数函数对底数的限制：（a 0,且a 1）2、对数函数的性质：a10a0定义域x0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1,0）函数图象都过定点（1,0）（三）骞函数1、哥函数定义：一般地，形如 y x （a R）的函数称为哥函数，其中为常数.2、哥函数性质归纳.（1）所有的哥函数在（0, +8）都有定义并且图象都过点（1, 1）；（2）0时，哥函数的图象通过原点， 并且在区间0，）上是增函数.特别地，当 1时，哥函数的图象下凸；当 01

13、时，哥函数的图象上凸;（3）0时，哥函数的图象在区间（0， ）上是减函数.在第一象限内，当X从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限例题：1.已知a0,地逼近x轴正半轴.a0,函数y=ax与y=loga（-x）的图象只能是251og 5 27 21og 5210g 3 22.计算： 10g 27 64 2410g23 =17410.064 3 ( -)0 ( 2)3 3 16 0.75 0,01283 .函数y=log (1)40,方程 ax bx c 0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2(2)4=0,方程 axb

14、x c 0有两相等实根，二次函数的图象与 x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)4vo,方程ax2 bx c 0无实根，二次函数的图象与 x轴无交点，二次函数无 令点.5.函数的模型收集数据 (2x2-3x+1)的递减区间为4 .若函数f(x) loga x(0 a 1)在区间自冽上的最大值是最小值的3倍，则a=1 xf (x) log (a 0且a 1)、第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y f(x)(x D零点。2、函数零点的意义：函数 y 的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x) 0有实数根5.已知 a1 x, (1)求f(x)的定义域(2)求使f(x) 0的x的