近世代数试题库

1、近 世 代 数一、单项选择题1、假设 A=1, 2, 3, 5, B=2, 3, 6, 7,那么 Ac B=A 1 , 2, 3, 4 B 、2 , 3, 6, 7G 2,3 D >1,2, 3, 5, 6, 7答案：C2、循环群与交换群关系正确的选项是A、循环群是交换群B 、交换群是循环群G循环群不一定是交换群D 、以上都不对答案：A3、以下命题正确的选项是A、n次对换群a的阶为n! B 、整环一定是域G交换环一定是域D 、以上都不对答案：A4、关于陪集的命题中正确的选项是设H是G的子群,那么A、 对于?aH,bH ,有aH川=$或aH = bHB、 以上都对答案：D5、设A=R 实数

2、域,B=R+正实数域f :a - 10aa A那么f是从A到8的A、单射B、满射C、一一映射D、既非单射也非满射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都、无限、为1、无限、或素数或无限A、有限BG为零D答案：A7、整环域的特征为A素数BG有限D答案：D8、假设S是半群,那么A 任意 a'b,c匚 S,都有 abc=abc B 、任意 a,b= S,都有 ab=baG必有单位元D、任何元素必存在逆元答案：A9、在整环Z中,6的真因子是A ±1,站B、±2,_3C ±1,艾D、工3,土6答案：B10、偶数环的单位元个数为A、0个B、1个C 2个D、无数个答案：A

3、11、设A, A2,An和D都是非空集合,而 f是A1 M A2 MM An到D的一个映射,那么A、集合Ai,A2,An,D中两两都不相同;B、Ai,A2,An的次序不能调换；C、A MA2父MAn中不同的元对应的象必不相同;D、一个元a1,a2,an 的象可以不唯一.答案：B12、指出以下那些运算是二元运算A、在整数集Z上,a <b = ab;abB、在有理数集Q上,a叱=Jab；G在正实数集R +上,a"=alnb;D> 在集合 IwZn 之 0 上,a+b = a b.答案：D13、设.是整数集Z上的二元运算,其中a"=maxa,b即取a与b中的最大者,那

4、么,在Z中A、不适合交换律；B 、不适合结合律；C、存在单位元；D 、每个元都有逆元.答案：C14、设G为群,其中G是实数集,而乘法:a* = a + b + k ,这里k为G中固定的常数.那么群GJ中的单位元e和元x的逆元分别是A 0 和一x； B 、1 和 0; C 、 k 和 x 2k; D 、 一k 和一x + 2k.答案：D15、设a,b, c和x都是群G中的元素且x2a =bxc,acx =xac ,那么x =1 11 11-11A、bc a ; B 、c a ; C 、a bc ; D 、b ca.答案：A16、设H是群G的子群,且G有左陪集分类1H,aH,bH,cH h如果6,

5、那么G的阶|G = A、6;B、24;C、10;D、12.答案：B17、设f :Gi t G2是一个群同态映射,那么以下错误的命题是A、f的同态核是Gi的不变子群；B、G2的不变子群的逆象是Gi的不变子群;C、G1的子群的象是G2的子群；D、Gi的不变子群的象是G2的不变子群.答案：D18、设f : Ri t R2是环同态满射,f(a) = b ,那么以下错误的结论为(A、假设a是零元,那么b是零元；B、假设a是单位元,那么b是单位元；C、假设a不是零因子,那么b不是零因子；D、假设R2是不交换的,那么Ri不交换答案：C19、以下正确的命题是()A、欧氏环一定是唯一分解环；B、主理想环必是欧氏

6、环；C、唯一分解环必是主理想环；D、唯一分解环必是欧氏环.答案：A20、假设I是域F的有限扩域,E是I的有限扩域,那么()A、(E:I )=(E:I '(I:F);B、(F:E)=(I :F'j(E:I );C、(I : F )=(E : F F : I )；D、(E : F )=(E : I I : F )答案：D二、填空题1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和().答案：传递性2、设A,B都为有限集,且A =m,B =n,那么A'B =().答：mn3.设R是集合A= 平面上所有直线上的关系：1网2 0 1l / 12 或 1l =12 (Il-l2e A)

7、,那么 R ()等价关系.答：是4、设群G中的元素a的阶为m那么an =e的充要条件是(5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是(答：Va,b w H,有 ab,w H6、n次对称群&的阶是().答：n!7、设G是有限群,H是G的子群,且H在G中的指数为n,那么1Gl =().答：nH8、设G是一个群,e是G的单位元,假设awG,且a=a,那么()答：a=e9、最小的数域是().答：有理数域10、设集合 A=1,2,那么 AX A= () ,2A=().答：(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), ,1, 2, 1,211、设f是A的一个变换,SJ A,那么f,I

8、f(S)()f "(S).答：12、设R1,R2是集合A上的等价关系,RlR2 ()等价关系.答：是13、假设群G中每一个元素x都适合方程xn =e,那么6是()群.答：交换群14、n阶群G是循环群的充要条件是().答：G中存在n阶的元素15、设G,G1是有限循环群,G =m,G1 =n,那么gi是G的同态象的充要条件是(nm) O答：nm16、如果环R的乘法满足交换律,即Tab三R,有ab = ba,那么称R为()环答：交换环17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做()环.答：数环18、设有限域F的阶为81,那么的特征p=().答：319、群G中的元素a的阶等于50,那么a4的阶等

9、于().答：2520、一个有单位元的无零因子()称为整环.答：交换环a是一个国际标准书号,那么a= () o答：622.剩余类加群Z12有()个生成元.答：623、设群G的元a的阶是n,那么ak的阶是()答：n/(k,n)(k,n)表示k和n的最大公约数)24、6阶循环群有()个子群.答：326、模8的剩余类环乙的子环有() 个.答：627、设集合 A =-1,0,1; B=Q,2,那么有 BxA=().答:；1,-1, 1,0, 1,1 2, -1 , 2,0, 2,1328、如果f是A与A间的映射,a是A的一个元,那么ff(a)=().答:a29、设集合A有一个分类,其中 A与Aj是A的两

10、个类,如果 A # Aj ,那么A Q Aj =( ).31、凯莱定理说：任一个子群都同一个()同构.答：变换群32、给出一个5-循环置换n =31425,那么冗,=.答：1352433、假设I是有单位元的环R的由a生成的主理想,那么I中的元素可以表达为.答：v Xiayi,Xi,y R34、假设R是一个有单位元的交换环,I是R的一个理想,那么 %是一个域当且仅当I是 .答：一个最大理想35、整环I的一个元p叫做一个素元,如果.答：p既不是零元,也不是单位,且 q只有平凡因子36、假设域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域,如果.答：E的每一个元都是F上的一个代数元三、判断题1、设A与B都是非空

11、集合,那么 A= B = &xw A且xw B. X 2、设A、B、D都是非空集合,那么Am B到D的每个映射都叫作二元运算. X 3、只要f是A到A的映射,那么必有唯一的逆映射 f.V 4、如果循环群G=a 中生成元a的阶是无限的,那么G与整数加群同构.V 5、如果群G的子群H是循环群,那么G也是循环群.X 6、群G的子群H是不变子群的充要条件为 Vg WGNhW H;g,Hg J H. M7、如果环R的阶之2 ,那么R的单位元1 #0. V 8、假设环R满足左消去律,那么R必定没有右零因子.V 9、Fx中满足条件pa =0的多项式叫做元口在域F上的极小多项式. X 10、假设域E的

12、特征是无限大,那么E含有一个与 %p同构的子域,这里Z是整数环,p是由素数p生成的主理想.X 四、解做题1、A=数学系的全体学生,规定关系R:a,bw AaRbu a与b同在一个班级,证实r是a的一个等价关系.答案：自反性：自己与自己显然在同一个班级对称性：假设a与b同在一个班级,显然b与a同在一个班级传递性：假设a与b同在一个班级,b与c同在一个班级,显然a与c同在一个班级.2、在R中的代数运算是否满足结合率和交换率？a ：b=a+b +ab (等式右边指的是普通数的运算)答：由于对于 a,b,c£R,有(a"b)*c=(a+b+abc=a b ab c a b ab c

13、 = a b ab c ac be abc,根据实数的加法与乘法的运算率得a b c = a b c.又 a“b = a+ b+ab=b+a+ba=b°a.所以,R的代数运算既满足结合率,又满足交换率.3、设集合 A=ahGd,B = Gd£,求 aUB,AQB,A B,(AB)U(B A).答案.A Ub -lc,dJ,Ap|B - la,b,c,d,e：,4、.S34)')(3)( 3)( 3)(3 H41 )(12»,求G关于子群H的左陪集分 解.答：(1H =(12)H = H ,13 H =(123)H = ；13 , 123)(23 H =(1

14、32)H =23)(1321.因而,G关于子群H的左陪集分解为G = H 13 H (23)H o5、设半群(S)既有左单位元e,又有右单位元f ,证实e= f ,而且是S的唯一单位元.答：证实ef =e (13 f是右单位元),ef = f (因e是左单位元),得e= f ；假设S还有单位元e ,那么e = eei =G ,故e是S的唯一单位元.6、对于下面给出的z到z的映射f,g,h计算 f Og,g Of ,g Ch,h0g, f OgOh o答案：7、设H是G的不变子群,那么Va-G,有aHa,=H 0答：因H是G的不变子群,故对于VaeG ,有aH = Ha ,于是aHa 工=(aH

15、 a,=(Ha a,=H (aa,)= He = H o8、设0是环R的零元,那么对于VawR, 0,a=a,0 = 0.答：由于awR,有0 a =(0 0) a =0 a . 0 a由于R关于加法作成群,即R对于加法满足消去律,在上式中两边同时消去0总,得0 a =0.同理可得a.=0.19、如果半群G有一个左单位元e ,并且对于VaG,存在左逆元a G,使得a'a=e,那么G是一个群.11.答：ka匚G ,由条件知,有左逆兀a匚G ,使得a a = e ,而对于a在G中也存在左逆1兀a ,使得a a =e ,那么有一一 11所以,a的左逆兀a也是a的右逆兀,即a在G中有逆兀a ,

16、又由于ae=a(a4a )=(aa二a=ea=a,知e是G的单位元.故G是一个群.10、证实R为无零因子环的充分必要条件是在环 R中关于乘法左消去律成立.答：设环R没有左零因子,如果有ab = ac,那么有ab -ac = a(b -c) =0 ,当a#0时,由于R没有左零因子,得b-c = 0, 即b = c, R中关于乘法左消去律成立.反之,假设在R中关于乘法左消去律成立,如果a#.,有ab=O,即ab = 0 = a.0,左消去a得b=0,即R中非零元均不是左零因子,故 R为无零因子 11、假设",上是R的两个理想,那么11+12 = 0 +X2 X1三I 1, X2三1 2

17、)也是R的一个理想.答：Vx,y e |1 + |2,vr e R 那么有x =x +X2,y = yi +y2 ,(Xi,y w Ii；X2, y2三 I2),从而X-y=(X1-yi)+(X2-y2)£|1+I2；rX = r(X1 +X2)=rX1 + rX2w 11 + I2；Xr =(X1 +X2)r =X1r + x2r w I1 + 12 o所以,*十是R的一个理想.12、设G =S3 =(1),(12),(13),(23),(123),(132), H =( 1), (12),那么 h是 G的一个子群,写出 G 关于H的所有左陪集的分解.答案：H =(12)H =H

18、,(13)H =(13),(123) =(123)H ,(23)H =( 23),(132) =(132)H ,因而,G关于H的左陪集的分解为.13、在Q中的代数运算是否满足结合率和交换率？答：取 a =1,b =2,c = 3,贝(J(1.2 -3 =22.3 = 32 =9 , 1.(2 二3 ) = 1.32 = 92 = 81又 1'2=22 =4,2 力=12 =1.所以,Q的代数运算.既不满足结合率,又不满足交换率.14、',H41)(12,求G关于子群H的右陪集分解.答：H(1 >H (12) =(1,(12H(13)= H (132) 13,(132H(2

19、3)=H(123) =«23)(123»因而,G关于子群H的右陪集分解为G = H UH(13WH(23).15、设S是有单位元e的半群,aw S,假设a有左逆元ai ,又有右逆元a2,那么a是可逆元,且ai =也是a的唯一的逆元.答：证实由条件知, a1a =e,aa2 =0 那么有 a? =ea? =(aa a =a(aa2 )=ae= a1,假设b,c都是a的逆元,同理有b=be = b(ac)=(ba"ec = c故a有唯一的逆元.16、设 R是环,那么 Va,bwR,有(-a)b = a(-b) = -(ab).答：由(a)b+ab =(a+a)b =

20、0 b =0 ,得 (ab)=(a)b同理,由 a( -b) +ab =a(七+b)=a 0 = 0,得-(ab)= a(初.117、设H是G的子群,假设对于Va-G, Vh = H ,有aha w H ,那么H是G的不变子群.答：任取定a w G ,对于Vah w aH ,由于aha,w H ,那么存在几WH ,使得aha = % = ah = h1 a = Ha = aH 三 Ha .111、Vha w Ha ,由于 aha =a h(a ) = H ,故存在 h2 = H ,使得-1a ha = h2 = ha =ah2 匚 aH = Ha aH o因此,对于VaG ,有aH = Ha.

21、故H是G的不变子群.18、如果G是半群,那么G是群的充分必要条件是：Va,bWG,方程ax = b和ya = b在6中 有解.答：必要性.因G是群,那么 四三6在6中有逆元aj 那么b,ba_*WG ,分别代入方程 ax = bft ya=b,有aa"b=aa"b=eb=b ba'a=ba"a=be=b即a/ba分别为方程ax=n ya=b的解.充分性.因G是半群,那么是非空集合,取定 awG,那么方程丫2 = 2在6中有解3,即存在G中的元素e ,使得ea =a.下证e是G的左单位元.Va,bwG,方程ax = b和在G中有解c,即ac = b,于是eb

22、 = e(ac) = (ea c = ac = b ,那么e是G的一个左单位元.一 、. , 一 一 一一 ' - ' . ,. . 一 一又VaWG,方程ya =e在G中有解a ,即aa=e,得a是a的一个左逆兀.从而得 G中的每一个元素a都有左逆元.故G是群.19、证实R为无零因子环的充分必要条件是在环 R中关于乘法右消去律成立.答：设环R没有左零因子,那么也无右左零因子.于是由 ba = ca,得 ba -ca =(b -c)a ,当a#0时,由于R没有右零因子,得b-c = 0, 即b = c, R中关于乘法右消去律成立.反之,假设在R中关于乘法右消去律成立,如果 a#

23、0,有ba = 0,即ba = 0 = 0 a,右消去a得b=0,即R中非零元均不是右零因子,故 R为无零因子.20、设R为交换环,aw R,匕="三Rax=0),证实：%是R的理想.答：(1) Va,b w Ia ,那么 ax =0,bx =0 ,从而 ax-bx = 0, (a-b)x = 0即a 一产心.(2) Ma 三 la,VrER,有 ax=0,由于 R 为交换环,从而 rax = r0 = axr = 0r = 0 ,即ar,ra e I ao因此1a是R的理想.21、G = (z, +) , )G 规定结合法 “ 口aOb=a+b-2证实 9是一个群.证实：吧'为G的一个二元运算显然,设a,b,c是G中任意三个元,= a+(b