13年高考真题——理科数学(江西卷)

1、- -1 1 - -2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西)卷数学(理科)一 选择题(本大题共 1010 小题，每小题 5 5 分，共 5050 分。在每小题给也的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)1 1 已知集合M =：1,2,zi”i为虚数单位) )，N N3,4?，且M门N，则复数z=(=() )(A A)-2i(B B)2i(C C)-4i( D D)4i2 2.函数y = . xln 1 -x的定义域为()(A A)0,1( B B)0,1(C C)0,11(D D)10,113 3等比数列x,3x 3,6x 61的第四项等于()(A A)-24( B B) 0 0(C

2、 C) 1212(D D) 24244 4 总体有编号为01,02,111,20的2020 个个体组成。利用下面的随机数表 选取 5 5个个体，选取方法是从随机数表第 1 1 行的第 5 5 列和第 6 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 5 个个体的 编号为()(A A) 0808(B B) 0707(C C) 0202(D D) 01012_355 5.x -2x展开式中常数项为()()(A A) 8080( B B)-80(C C) 4040( D D)-40222126 6 .若3 =彳x2dx, S2 =打dx, S3二1exdx，则, S2,$的大小关系为()

3、()x(A A)S|S|: S2:S3(B B)S2: Sj：S3(C C)S2S3 S,S,(D D)S3：S2Sr78167816657265720802080263146314070207024369436997289728019801983204320492349234493549358200820036233623 4869486969386938748174818.8. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面:-上， 且AB/CD，正方体的六个面所 在的平面与直线CE,EF相交的 平面个数分别记为m, n，那么m n二()(A A) 8 8( B B) 9 9(C C) 10

4、10rc(D)11119.9.过点-2,0弓I直线l与曲线y二.1-x2相交于 代B两点，O为坐标原点，当AOB7 7阅读如下程序框图，如果输出i =5,那么在空白矩形框中应填入的语句为()()- -2 2 - -11.11._ 函数y=sin2x 2,3sin2x的最小正周期为T为_ 。-兀*片 片12.12. 设6为单位向量，且GG的夹角为一。若areWe?,b=2e!，则向量a在b3方向上的射影为_。、.xx.(X)在(0,母 内可导，且f (e ) = x+e，则f(1)=_2 21414.抛物线x2=2py p 0的焦点为F，其准线与双曲线 孑-吉=1相交于 代B两点，若MBF为等边

5、三角形，则P=_ 。三. 选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共 5 5 分）（x = t、,1515（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为2（t为参数），以直角坐ly = t标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为 _。1515（不等式选做题）在实数范围内，不等式|x-2| -1兰1的解集为_。四. 解答题（本大题共 6 6 小题，共 7575 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）f的面积取最大值时，直线丨的斜率等于（）（）（C C）3（ D D） 一、31010如图，半径为 1 1 的半圆O与等边=ABC夹在两平

6、行线-I?之间，丨li，l与半圆相交于F, G两点，与ABC两边相交于E, D两点，设弧FG的长为x 0：x：:，EB BC CD，若l从|1平行移动到12,则函数y = f x的图像大致是（）（）- -3 3 - -1616.（本小题满分 1212 分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosCcoA-i 3 siAn cBs。求角B的大小；若a，c = 1，求b的取值范围。- -4 4 - -1717.（本题满分 1212 分）正项数列CaJ前项和Sn满足：S2- n2n -1 Sn - n2 n产0。n +1求数列faj的通项an；令bn口，数列fbj的前n项和为Tn。

7、证明：对于任（n +2） a意的n N+,都有Tnv 5/64。U)1818.（本小题满分 1212 分）小波以游戏方式决定参加学 校合唱团还是参加学校排球队。 游戏规则为：以0为起点，再从A1, A2,Afe,A4,A5,A3,A7,A5（如图）这 8 8 个点中任取-1-1O1 1 ；两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X。若X =0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球-1血(XT)队。求小波参加学校合唱团的概率；求X的分布列 和数学期望。1919.（本小题满分 1212 分）如图，四棱锥P -ABCD中,PA丄平面ABCD,E为BD的中点，G为PD的中点，DAB三DCB,E

8、A=EB=AB=1,PA = 3 2，连接CE并延长交AD于F。求证：AD_平面CFG;2X2020.（本题满分 1313 分）椭圆C：2 a经过点P 1,3 2，离心率e=12，直线l的方程为x=4。求椭圆C的方程； AB是经过右焦点F的任一弦 （不 经过点P） ,设直线AB与直线丨相交于点M,记求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值。- -5 5 - -PA,PB,PM的斜率分别为 人山2水3，问：是否存在常数, 使得k1k k3?若存在求的值；若不存在，说明理由。f（x） = a 1-2以一丄|j, a为常数且a a 0。证明: 2丿函数f x的图像关于直线x = 12对称；若x0满足f

9、 f x0=x0，但f x（）= X），则称x0为函数fx的二阶周期点。如果f x有两个二阶周期点x,，X2，试确定a的取值范围；对于中的X1, X2和a,设X3为函数f f x的最大值点，A x1, f f X1,B x2,f f x2,C X3,0，记ABC的面积为S a，讨论S a的单调性。2121 .（本小题满分 1414 分）已知函数D- -6 6 - -2013 年普通高校招生全国统考数学试卷（江西卷）解答CBADCCBADC BCABDBCABD1111二;1212.5 2; 1313. 2 2； 1414. 6 6； 1515.T cos% - si nr - 0，1.0,4

10、11616.解：由题 cos A B cosAcosB3sin AcosB = 0,即即sin Asin B -3sin AcosB = 0。因sin A = 0,cosB= 0,故tanB二3。又0：B：二，故B = : 3；c 1一2丿1)1cosB =，故b=3a + 2I2丿42为0 :：: a：1,所以1/4 0，故Sn0，从而Sn= n2+ n。一口22于是an=Sn-Snj二n n - n - V -：；：n -1 =2n n一2。又=2，故an=2n；i i 2 2 2因b = a c -2ac cos B，且a c = 1,又因- -7 7 - -bnF24n (n +2)1

11、 J 11譽11-11111 ( 1 E 2_ J 21+2 2-2 . V1+16 z i16 yi=16l2(n+1 )(n+2)16 14丿角为直角有 8 8 种情形，故所求概率为P X-；287X的所有可能取值为-2, -1,0,1,X二-2时有 2 2种情形，X -故X的分布列如右表所示，且X-2-10 01 1P1/145142727EX=-2丄_1 0 -1 -141477141919.解：由题EA =EB二ED = AB =1，故.BAD = 90,- ABE二AEB二60。因DAB三DCB，故EAB三ECB，从而/FED ZBEC AEB =60，所以FED FEA，有EF

12、_ AD,AF =FD。又PG =GD，故FG / PA。因PA_ 平面ABCD，故GFAD，从而AD平面CFG；以A为原点建立如图（略）所示坐标系，则A 0,0,0,B 1,0,0,C 3 2,门2,0,D 0, 3,0,P 0,0,32，故BC 12/. 3 2,0,CP二-3 2, - 3 2,3.；2,由题，故Tn=bi=丄 *16 n(n +2)一z i二16i56421818.解：从 8 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法有C8= 28种，X =0时两向量夹i 2- -8 8 - -CD=（/2, J3/2,0卜设&=（1y忆）是平面BCP的法向量，则J3 433y1Z

13、12 22解得y -3 3日=2/3故ni=h,樋23 3。设巳=1, y2, Z2是平面DCP的法向量，则3232 23.3y2-032Z2=0解得3，故压h1,-、3,2。从而所求夹角的余弦值为Z2二2cos V二2020解：由题 A Aa92 2 2 22= 1，又因a = 2c，故b = 3c，从而可解得c -1，a 4b2 22x yb2=3。因此椭圆C的方程为1设B x0,y0 x0=1，则CF:yx-1。令x =4可求得M i 4,旦0-沧 一1I x01丿，从而kPM2y01。将CF的方程代入C的方程可解得A2 x0-15xo-8 3y,2Xo 5 2x（）5，故可kpA =

14、ki2yo-32y2x05，kPB二k2二2y0一3。因此k1k2y0 x T = 2k3，从而存2 x0-12 x0-1x-1在常数=2符合题意。2121.解：因fp+x12丿= a1-2|x|二f丄-x，故f x的图像关于x=丄对称;12丿2当0：a14a2x （x兰1/2）时，f f X： 2，故f f x：0只有一个解4a （1 - x XXA1/2）1x=0。又f 0=0，故 0 0 不是二阶周期点。当a时f f x二2Xx2，所以1 -x x 12f f x =x有解集：x|x1.2：1。又当x12时f x =x，故：x|x/.2中所有点都不nM=4g|门2134- -9 9 - -x汀4a1 4 a :：xH2八 丿，所以2a 1 -2a 4a2x 1 2：x _ 4a -14a门4a2- 4a2xx、 4a -11 4ai1 1 + 42i1 + 424a -13和丄， |时s(a洋调递增，当 3 兰，址 时S(a )单调递减；当x3=时I22丿I2丿4a时S a单调递增。rA24a x12a-4a2xa，时f (f(x)是二阶周期点；当f f xHx有四个解0,2a21 4a22a