弹塑性力学的平面问题实例

1、弹塑性力学的平弹塑性力学的平面问题实例面问题实例均布载荷作用下简支梁弹塑性分析目录1知识回顾2梁和梁的纯弯曲3应力函数法在纯弯曲中应用4均布载荷作用下梁的弹塑性弯曲基本理论方程7弹塑性力学与材料力学的区别8均布压力作用下简支梁ANSYS实例分析5LOREM IPSUM DOLOR9平面问题实例总结6实例：梁在均布载荷作用下的弹塑性弯曲分析知识回顾 -赵玉01弹塑性力学平面问题基本理论弹塑性力学的平面问题实例知识回顾知识回顾知识回顾知识回顾求解平面问题的基本方程求解平面问题的基本方程1 1、平衡微分方程、平衡微分方程2 2、几何方程、几何方程3 3、物理方程、物理方程 平面应力问题的基本方程平面

2、应力问题的基本方程平衡微分方程几何方程物理方程 平面应平面应变变问题问题的基本方程的基本方程平衡微分方程几何方程物理方程知识回顾知识回顾平面边界问题理论平面边界问题理论1 1、位移边界条件、位移边界条件2 2、应力边界条件、应力边界条件3 3、混合边界条件、混合边界条件知识回顾知识回顾按位移求解平面问题按位移求解平面问题位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：知识回顾知识回顾按压力求解平面问题按压力求解平面问题相容方程（变形协调方程相容方程（变形协调方程）：）：边界条件：边界条件：yYxXxyyx)1()(2222YlmXmlsxysysxysx)()()()(知识回顾知识回顾

3、弹塑性力学的平面问题实例均布载荷作用下简支梁弹塑性分析梁和梁的纯弯曲 -刘欣02在建筑学中，我们把由支座支承，承受的外力以横向力和剪力为主，以弯曲为主要变形的构件称为梁。什么是梁什么是梁静定梁，指几何不变，且无多余约束的梁超静定梁，指几何不变，且有多余约束的梁从受力角度将梁分类从受力角度将梁分类A工业通用技术与设备B建筑工程C汽车工业D机械工业梁的应用梁的应用 简支梁桥是梁式桥中应用最早，使用最广泛的一种桥型。建筑工程上的简支梁建筑工程上的简支梁简支梁桥简支梁桥由一根两端分别支撑在一个活动支座和一个铰支座上的梁作为主要承重结构的梁桥。属于静定结构。 外形简单，制造方便，横向横隔梁联结，整体性也

4、较好。 在多孔简支梁桥中，相邻桥孔各自单独受力，便于预制、架设，简化施工管理，施工费用低。 但相邻两跨之间存在异向转角，路面有折角，影响行车平顺。 简支梁桥抗震力较弱，若搭在超高墩台上，在超外力作用下，安全储备则较低。简支梁桥的特点简支梁桥的特点简支梁桥的结构图JQ900A型架桥机JQ900A型架桥机架梁作业为跨一孔简支式架梁简支梁冲压试验机试验仪器中的简支梁试验仪器中的简支梁 XJJ-5指针式简支梁冲击试验机用于测定硬质塑料、纤维增强复合材料、尼龙 、玻璃钢、陶瓷、铸石、塑料电器绝缘材料等非金属材料的冲击韧性。是科研机构、大专院校、有关厂矿进行质量检验的常用设备。简支梁冲压试验机简支梁冲压试

5、验机简支梁冲压试验机 XJJY-5液晶式简支梁冲击试验机用于测定硬质塑料、纤维增强复合材料、尼龙 、玻璃钢、陶瓷、铸石、塑料电器绝缘材料等非金属材料的冲击韧性。是科研机构、大专院校、有关厂矿进行质量检验的常用设备。 FR-1808B-50电脑显示冲击试验机。该仪器人机对话方便，精度高，自动显示冲击能，自动算取冲击强度，并可自动算取整组试样冲击强度平均值，并可任意删减数据。配有打印机。电动释放锤体。整机钢性好，经时效处理后无应力变形。简支梁冲击试验机简支梁冲击试验机梁的纯弯曲 若梁在某段内各横截面上的剪力为零，弯矩为常量，则该段梁的弯曲为纯弯曲。 梁发生纯弯时，其横截面上只有弯矩一种内力。梁的纯

6、弯曲平面假设梁的纯弯曲平面假设梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍垂直于挠曲后的梁轴线。梁的纯弯曲问题应怎样解决？问题来了！问题来了！应力函数法在纯弯曲中的应用 -涂少伍03什么什么是应力函数法是应力函数法 在弹性力学中，为方便求解，常把应力或位移用几个任意的或某种特殊类型的函数表示，这些函数通常叫作应力函数或位移函数。 应力函数应满足相容方程即变形协调方程，由求出的应力分量在边界上还应当满足应力边界条件。均布载荷作用下简支梁应用实例均布载荷作用下简支梁应用实例NoImage解得：y( )yf y22( )f yx 则1( )( )xf yf yx212( )( )( )2xf yxf y

7、fy （a)a)（b)b) 现在要考察的是，上述应力函数是否满足相容方程。为此，对求四阶导数：将以上结果代入相容方程 得：相容条件要求此二次方程有无数的根(全梁内的 值都应该满足它),所以,它的系数和自由项都必须等于零。442422244424124444( )0,( )( )( )2d f yxxydyd f yd fyx d f yxydydydy 4220 44422124442( )( )1( )( )202d f yd fyd f yd f yxxdydydydy即：前面两个方程要求：第三个方程要求：4414442242( )( )0,0,( )( )20d f yd f ydydy

8、d fyd f ydydy32321( ),( )f yAyByCyD f yEyFyGy4224254322( )( )-2-12Ay-4B( )106d fyd f ydydyABfyyyHyKy (c)(c)(d)(d)将式（将式（c c）和（）和（d d）代入式（）代入式（b b），得），得应力函数应力函数：相应的应力分量为：(f)(f)(g)(g)(h)(h)232325432()()2106xABAyByCyDx EyFyGyyyHyKy 223222322222(62 )(62 )22622(32)(32)xyxyxAyBxEyFAyByHyKyAyByCyDxxAyByCEyF

9、yGx y (e)(e) 将上式代入应力分量表达式，三个应力分量变为： 上式中共有六个待定常数，利用应力边界条件求出xyxy232322(62 ) 22622(32)xyxyxAyBAyByHyKAyByCy Dx AyBy C（一）考察上下两边的边界条件整理，得：由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得：222()0,(),()0yhyhxyhyyq 3232220842842304304hhhABCDhhhABCDqh AhBCh AhBC (i)(i)将上面所得常数代入应力分量表达式（i），得：（二）考察左右两边的边界条件 由于对称性，只需考虑其中的一边

10、。考虑右边：(m)(m)323,0,22qqqABCDhh 2333332364622322632xyxyqqx yyHyKhhqqqyyhhqqxyxhh 22()0hhxxldy(j)(j)(k)(k)(l)(l)将上面所得常数代入应力分量表达式（i），得：323,0,22qqqABCDhh 2333332364622322632xyxyqqx yyHyKhhqqqyyhhqqxyxhh (j)(j)(k)(k)(n)(n) 将式（j）代入式（m），得：积分，得： 将式（j）代入式（n），得： 积分，得：220hhxx lydyNoImage0K 2323324( 66)0hhqlqyyH

11、y ydyhh2310qlqHhh 另一方面，在梁的右边剪应力满足：将式 （l）代入，上式成为：22333364635Xqqqlqx yyyyhhhh(p)(p)22()hhxyx ldyql 223263()2hhqlqlydyqlhh 满足。将式 （p）、（k）、（L）整理，得应力分量：各应力分量沿铅直方向的变化大致如下图所示。22232222363()(4)52(1)(1)26()4xyxyqyylxyqhhhqyyhhqhxyh (q)(q)均布载荷作用下梁的弹塑性弯曲基本理论方程 -李洪峰04（1）梁材料为弹性完全塑性，无论梁处于弹性阶段或是弹塑性阶段，都假定截面保持为平面。梁截面经

12、过变形后仍然与轴线垂直。基本假设基本假设基本假设基本假设（3）假定物体内部各点以及每一点各个方向的物理性质相同。基本基本方程方程基本方程基本方程基本方程基本方程基本方程基本方程基本方程基本方程2.本构关系 由弹塑性理论可知图所示矩形截面梁的本构关系为： 基本方程基本方程基本方程基本方程4.屈服条件 根据梁内任一点的应力状态可得此时的Mises屈服条件和Tresca屈服条件分别为基本方程基本方程实例：梁实例：梁在均布载在均布载荷作用下的弹塑性荷作用下的弹塑性弯曲分析弯曲分析-刘增辉0606受受均布均布载荷作用下的简支梁其截面载荷作用下的简支梁其截面上的应上的应力力分布分布以及以及梁梁的变形的变形

13、。q平截面假设：在变形过程中，变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且与变形后梁的轴线垂直。纵向纤维互不挤压：不计挤压应力，横截面上只有正应力。三个基本假设三个基本假设xy( , ),0 xyzxyyzzxx y小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微小量，可用变形前梁的尺寸进行计算EIxMdxwd)(122 应力分析应力分析zqlNoImageyoyh2b2x材料力学：2222dxvdEydxvdyxxv：梁在：梁在y方向上的位移方向上的位移NoImage曲率曲率 h=IMyxEIMyxI：截面惯性矩：截面惯性矩334bhI得：22dxvdEIM屈服条件屈服条

14、件zqlNoImageyoyh2b2x由Mises屈服条件可得00,zxyzxyzyxkkJ3312612222其中sk31或者skk3s可得或等你看看材料力学就都会了弹性极限载荷弹性极限载荷zqlNoImageyoyh2b2x随着均布载荷q的增加，梁中间截面上下点最先屈服中点处的弯矩：NoImagesmax令可得弹性极限载荷selbhq2238弹塑性分析弹塑性分析llqss y随着随着q的增大，塑性区将自梁中间上下两边开始对称的增大，塑性区将自梁中间上下两边开始对称地扩大。弹塑区的地扩大。弹塑区的分界面分界面随随x的不同而不同。的不同而不同。,sssssssshyyyyyyyyyh ssss

15、yyyyyy应力分布情况：其中：截面上应力对中性轴的矩00022022242433sshhhAyyyhsysyssysMy dybdbydybydydb hyy梁中间截面恰好屈服时梁中间截面全部屈服22248,33sesesbhyh Mbhql22240,2spspsbhyMbhql对于梁任意的截面x222xlqMx22222323ssqlxbhy22222222322sssyqlxqlbhbhhl 整理得可得别看我，看公式该公式可改写为222211344sssyqlxqlhbhlbh 令可得2shlmqn，b4mn-1lxn-hy3122s1xln-1n-yhn-131222s2即因此我们可

16、以看出，这是一个双曲线方程，说明交界处的曲线就是双曲线。）0b，0a（1bx-ay2222令1-n=0，即n=1，可得渐近线方程：0lx-hy3122sxx 0sy syxqNoImage224lbhqSP5 . 1ePqq可知s s s z问题来了！比较材料力学和弹塑性力学，两者有什么区别？掌声有请下一位同学弹塑性力学与弹塑性力学与材料力学的区别材料力学的区别-李栋0707弹塑性力学是变形固体力学的一个分支，是研究可变形固体受到外载荷、温度变化等原因而发生的应力、应变和位移及其分布规律的一门学科。根据变形的特点，变形固体在受载过程中呈现出两种不同而又连续的变形阶段：前者为弹性变形阶段，后者为

17、弹塑性阶段。弹塑性力学介绍弹塑性力学介绍在满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法。研究可变形固体在外部因素（如外力、温度变化等）作用下的应力和变形分布规律。弹塑性力学与材料力学的基本内容弹塑性力学与材料力学的基本内容假设条件的比较假设条件的比较假设条件纵向线段平面假设连续性均匀性各向同性小变形弹塑性力学连续性均匀性各向同性小变形物理假设假设条件材料力学纵向线段平面假设均匀性各向同性小变形连续性均匀性各向同性小变形物理假设几何假设材料力学的假设多余弹塑性力学，以就导致了前者的计算结果误差会更大各种假设的简单介绍与简单例子各种假设的简单介绍与简单

18、例子连续性假设：连续性假设：认为组成固体的固体的体积物质不留空隙地充满认为组成固体的固体的体积物质不留空隙地充满了了均匀性均匀性假设：认为在固体内部导出具有相同的力学性能假设：认为在固体内部导出具有相同的力学性能各向同性各向同性假设：认为无论沿任何方向，固体力学性能都是相同的假设：认为无论沿任何方向，固体力学性能都是相同的小小变形假设：固体在外部因素作用下所产生的变形远小于其自身的几何尺寸变形假设：固体在外部因素作用下所产生的变形远小于其自身的几何尺寸平面平面假设：变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形假设：变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形

19、后的梁轴线。后的梁轴线。纵向纵向线段：设想梁由平行于轴线的众多纵向线段所组成，变形过程中，纵向线段间线段：设想梁由平行于轴线的众多纵向线段所组成，变形过程中，纵向线段间无正应力。无正应力。各种假设的简单介绍与简单例子各种假设的简单介绍与简单例子图1图2材料力学的研究对象是固体，基本为各种杆体，即物体的长度远大于其厚度和宽度的所谓一维空间问题主要方法：试验法、截面法、微元体法弹塑性力学的研究对象也是固体，但是能解决材料力学所不能解决的问题（如有孔杆，孔边应力集中问题，非圆截面等直杆的扭转问题），以及如板、壳、块体等二维或三维空间更广泛的问题。主要方法：试验法、微元体法、数值法、试验与数值法结合等

20、研究研究对象对象两者分析问题的基本思路两者分析问题的基本思路(1) (1) 受力分析及静力平衡条件受力分析及静力平衡条件 ( (力的力的分析分析) )对于一点单元体的受力进行分析。对于一点单元体的受力进行分析。物物体受力作用处于平衡状态，应当满足体受力作用处于平衡状态，应当满足的条件是什么？（静力平衡条件）的条件是什么？（静力平衡条件）( (2) 2) 变形的几何相容条件变形的几何相容条件 ( (几何分析几何分析) )材料是均匀连续的，在受力变形后仍材料是均匀连续的，在受力变形后仍应是连续的。固体内既不产生应是连续的。固体内既不产生“裂裂隙隙”，也不产生，也不产生“重叠重叠”，此时材料，此时材

21、料变形应满足的条件是什么？（几何相变形应满足的条件是什么？（几何相容条件）容条件）(3) (3) 力与变形间的本构关系力与变形间的本构关系 ( (物理分物理分析析) )固体材料受力作用必然产生相应的变固体材料受力作用必然产生相应的变形。不同的材料，不同的变形，就有形。不同的材料，不同的变形，就有相应不同的物理关系。相应不同的物理关系。则对一点单元则对一点单元体的受力与变形间的关系进行分析，体的受力与变形间的关系进行分析，应满足的条件是什么？（物理条件即应满足的条件是什么？（物理条件即本构方程）本构方程）材料力学材料力学研究问题的基本研究问题的基本方法方法变形之前，变形之前，在构件表面在构件表面

22、绘出标志线；绘出标志线；变形后，观变形后，观察构件表面察构件表面变形规律变形规律选定一维构选定一维构件，将其整件，将其整体作为研究体作为研究对象对象做出平截面做出平截面假设，经分假设，经分析解决问题。析解决问题。弹弹塑性力学研究问题的基本方法塑性力学研究问题的基本方法以受力物体以受力物体内某一点内某一点（单元体）（单元体）为研究对象为研究对象单元体的受单元体的受力力应力理论；应力理论；单元体的变单元体的变形形变形几何变形几何理论；理论；单元体受力与单元体受力与变形间的关变形间的关系系本构方程本构方程建立普遍适建立普遍适用的理论与用的理论与解法解法计算结果计算结果*0 xysxyzMyIF SI

23、 b222*3(4)52(1)(1)2xysxyzMyyyqIhhqyyhhF SI b 2.2.材料力学假设条件多，模型简单，因而计算结果精度不及弹塑材料力学假设条件多，模型简单，因而计算结果精度不及弹塑性力学，后者甚至可以校核初等力学理论的计算结果是否准确性力学，后者甚至可以校核初等力学理论的计算结果是否准确。3.3.弹塑性力学计算准确，应用范围广，但计算相对复杂；材料力弹塑性力学计算准确，应用范围广，但计算相对复杂；材料力学模型简单，计算简便，计算精度低，但能够满足工程要求，因学模型简单，计算简便，计算精度低，但能够满足工程要求，因而广泛应用。而广泛应用。1.1.材料力学与弹塑性力学计算

24、结果的差异是因为假设条件不同，材料力学与弹塑性力学计算结果的差异是因为假设条件不同，材料力学有平面假设和纵向线段假设，而弹塑性力学没有。材料力学有平面假设和纵向线段假设，而弹塑性力学没有。总结总结2D elastic 3材料力学解三节点三角形四节点矩形六节点三角形弹塑性力学解-徐珂徐珂均布压力作用下简支梁均布压力作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析 图1 矩截面形梁示意图表1 梁的几何参数和材料参数q/KNL/mb/mh/mE/GPa10016132000.25NoImage建立模型（包括单元选取、边界条件简化等）1 1、选取梁单元、选取梁单元（2D elastic 3）图2 梁单

25、元模型图 均布压力作用下简支梁均布压力作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析NoImageNoImageNoImage 二维弹性梁单元-轴向拉压和弯曲单元，每个节点有三个自由度。图3 梁单元位移计算云图 计算结果计算结果：my3max10190. 0 最大位移发生在梁的对称轴即中点处支座处位移为0均布压力作用下简支梁均布压力作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析支座处位移为0。均布压力作用下简支梁均布压力作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析02468有限元解-0.18963-0.17556-0.13511-0.073630材料力学解-0.18963-0.1755

26、5-0.13511-0.073630误差00.00001000 x/m位移（mm）类别表2 梁单元计算结果与材料力学解的比较材料力学中，均布载荷简支梁计算公式为：。NoImage 有限元中用梁单元 计算的位移与材料 力学的理论解极为 接近，因此可以用 有限元分析计算梁 的位移。EIlxlxqy384/5162444222 2、选取平面三节点三角形单元、选取平面三节点三角形单元均布压力作用下简支梁均布压力作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析建模：由于对称性，取梁的右半部分为研究对象。 图4 三节点三角形单元模型图 三节点三角形单元的缺点 计算结果计算结果：均布压力作用下简支梁均布压力

27、作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析图5 三节点三角形单元计算位移云图 最大位移发生在梁对称轴上my3max10213. 0 最小位移发生在梁的端点处my4min10156. 0均布压力作用下简支梁均布压力作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析图6 三节点三角形单元计算应力X方向云图 X方向最大应力出现在支座附近NoImage3 3、选取平面四节点矩形单元、选取平面四节点矩形单元均布压力作用下简支梁均布压力作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析建模：由于对称性，取梁的右半部分为研究对象。 图7 平面四节点矩形单元模型图 为什么四节点矩形单元比三节点矩形单元精度高

28、 计算结果计算结果：均布压力作用下简支梁均布压力作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析 图8 四节点矩形单元计算位移云图my4min10244. 0my3max10227. 0均布压力作用下简支梁均布压力作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析图9 四节点矩形单元计算应力X方向云图 X方向最大应力出现在支座附近,MPa54.4max均布压力作用下简支梁均布压力作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析4 4、选取平面六节点三角形单元、选取平面六节点三角形单元建模：由于对称性，取梁的右半部分为研究对象。图10 六节点三角形单元模型图 为什么选用六节点三角形单元均布压力作用

29、下简支梁均布压力作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析 计算结果：计算结果：my3max10223. 0my4min10208. 0图11 六节点三角形单元计算位移云图均布压力作用下简支梁均布压力作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析 X方向最大应力出现在支座附近,MPa39. 2max均布压力作用下简支梁均布压力作用下简支梁ANSYSANSYS实例分析实例分析弹塑性力学中受均布载荷的矩形截面梁X方向的应力计算公式为：,5/ 3/4/22hyhqyJyMxx本题中 22/2/2/2/xlqbxlqlbMx所以53/42)2)(2(3223hyhqyhyxlxlqx1.51.

30、00.5-0.5-1.0-1.5 三节点三角形-2.0815-1.359-0.65042-0.749061.46092.1317 四节点矩形-2.1532-1.4170-0.702930.702931.4170 2.1532六节点三角形-2.1533-1.4170-0.702950.702961.41702.1534弹塑性力学-2.1533-1.4170-0.702960.702961.41702.1533y/m应力（MPa）类别表3 平面单元计算结果与弹塑性力学解的比较（X=0）平面问题实例总结 -王志强 09梁的纯弯曲平面问题的理论回顾引入了应力函数这一概念均布载荷作用下简支梁的纯弯曲分别

31、研究了材料力学和弹塑性力学实例各自列出了基本的理论方程分析材料力学与弹塑性力学的区别与联系梁的实际应用ANSYS在梁弯曲中的应用理论回顾理论回顾求解平面问题用到的方程平面边界问题理论位移边界条件应力边界条件混合边界条件几何方程物理方程平衡微分方程梁的实际应用梁的实际应用应力函数法应力函数法在弹性力学中，为方便求解，常把应力用几个任意的或某种特殊类型的函数表示，这些函数通常叫作应力函数。 应力函数应满足相容方程即变形协调方程，由求出的应力分量在边界上还应当满足应力边界条件。先设定各种形式的 满足相容方程的应力函数，求出应力分量，然后根据边界条件来考察在各种弹性体上，这些应力分量对应什么样的应力 ，从而得出所设定的应力函数可以解决什么样的问题。逆解法根据所要求的问题，根据弹性体的边界形状和受力状态，假设部分或者全部的应力分量的函数形式，从而得出应力函数，然后再考察这个应力函数能否满足相容方程及应力边界条件。半逆解法材料力学与弹塑性力学在研究同