数学综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型

1、题型1.代数型综合题函数型综合题主要是以二次函数为主线，几何与二次函数相结合的综合形式。二次函数是初中数学的重点，也是难点，以二次函数为背景的代数型综合题能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此是各地中考的热点题型，是压轴题的主要来源之一解题时重点把握：1.二次函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等；2.方程、分类讨论、数形结合始终是解题的主旋律，尤其是题中数量信息转化为方程；3.探索问题，动点问题联系转化来解决；4.计算能力的培养。题型2几何型综合题几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有

2、较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力1 几何型综合题，常用相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现2 几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧的长度的计算，角、角的三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等3 几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力4 解几何综合题应注意以下几点：（1） 注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2） 注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3） 掌握常规的证题思路，尤其理解作辅助

3、线的本质就是挖掘题中的隐含条件；（4） 解题自信心的培养 解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的。例1.已知抛物线与轴交于、，与轴交于点C，且、满足条件（1）求抛物线的解析式；（2）能否找到直线与抛物线交于P、Q两点，使轴恰好平分CPQ的面积？若能，求出、所满足的条件 解析：（1），对一切实数，抛物线与轴恒有两个交点，由根与系数的关系得 ， 由已知有 得代入得化简得解得，满足当时，不满足，抛物线的解析式为_Q_C_P_E_y_O_x（2）如图，设存在直线与抛物线交于点P、Q，使轴平分CPQ的面积，设点P的横

4、坐标为，直线与轴交于点E，由轴平分CPQ的面积得点P、Q在轴的两侧，即，由得又、是方程的两根，又直线与抛物线有两个交点，当时，直线与抛物线的交点P、Q，使轴能平分CPQ的面积故例2如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且（1）求抛物线的对称轴；（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；ACBx011y（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由解：（1）抛物线的对称轴（2） 把点坐标代入中，解得（3）存在符合条件的点共有3个以下分三类情形探索设抛物线对称轴与轴交于，与交于过点作轴于，易得， 以为腰且顶

5、角为角的有1个：在中，以为腰且顶角为角的有1个：在中，以为底，顶角为角的有1个，即画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点过点作垂直轴，垂足为，显然 于是 AOFBxyCE例3.如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为；直线与抛物线交于点，与轴交于点，且（1）用表示点的坐标；（2）求实数的取值范围；（3）请问的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由解（1）抛物线过，点在抛物线上，点的坐标为（2）由（1）得，（3）的面积有最大值，的对称轴为，点的坐标为，由（1）得，而，的对称轴是，当时，取最大值，其最大值为例4.已知抛物线与轴交于A、B两点，

6、与轴交于点C，其中点B在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）是方程的两个根，且抛物线的对称轴是直线（1）求此抛物线的表达式；（2）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EFAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为，CEF的面积为S，求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由解：（1）解方程得点B在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，且OBOC点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又抛

7、物线的对称轴是直线由抛物线的对称性可得点A的坐标为（6，0）点C（0，8）在抛物线的图象上c8，将A（6，0）、B（2，0）代入表达式，得所求抛物线的表达式为（2）依题意，AEm，则BE8m，OA6，OC8，AC10EFACBEFBAC即 EF过点F作FGAB，垂足为G，则sinFEGsinCABFG·8mSSBCESBFE（8m）×8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m自变量m的取值范围是0m8（3）存在理由：Sm24m（m4）28且0，当m4时，S有最大值，S最大值8m4，点E的坐标为（2，0） BCE为等腰三角形例5、如图5，已知二次函数图象的顶点坐标

8、为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的表达式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；EBACP图5OxyD（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.解析： (1) 点A(3,4)在直线上，4=3+. =1. 设所求二次函数的关系式为 点A(3,4)在二

9、次函数的图象上， 所求二次函数的关系式为即 (2) 设P、E两点的纵坐标分别为和 即 (3) 存在. 解：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. 点D在直线上 点D的坐标为(1,2), 解之得(不合题意，舍去) 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形 例6 如图6，已知抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连结AB，过点B作BC轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线ABC的路线向C点运动. 设这两个动点运动的

10、时间为（秒) (04)，PQA的面积记为S. 求S与的函数关系式； 当为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时PQA的形状； 是否存在这样的值，使得PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.PBACOQ图6解析：（1） 抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)， 解得 . 所求抛物线的函数关系式为. （2） 过点B作BE轴于E，则BE=，AE=1，AB=2. EFPBACOQ图6-1由BAE=，得BAE =60°. （）当点Q在线段AB上运动，即02时，QA=t，PA=4-.过点Q作QF轴于F，则QF=， S=PA·QF

11、 ， 当=2时，S有最大值，最大值S= （）当点Q在线段BC上运动，即24时，Q点的纵坐标为，PA=4-.这时，S= ， S随着的增大而减小. 当=2时，S有最大值，最大值综合（）（），当=2时，S有最大值，最大值为. PQA是等边三角形. 存在. 当点Q在线段AB上运动时，要使得PQA是直角三角形，必须使得PQA =90°，这时PA=2QA，即4-=2， . P、Q两点的坐标分别为P1(,0)，Q1(,). 当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为和，要使得PQA是直角三角形，则必须5-=， P、Q两点的坐标分别为P2(,0)，Q2(,). 例7.如图，在平面直角坐标系中

12、，抛物线上有A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形.求所有满足条件点P的坐标。解：（1）设该抛物线的表达式为根据题意，得 所求抛物线的表达式为（2）AB为边时，只要PQAB且PQ=AB=4即可。又知点Q在y轴上，点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1,P2 .而当x=4时，y=；当x=-4时，y=7，此时（4，）（-4,7）当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有

13、一个记为而且当时 ，此时（2，-1）综上，满足条件的P为（4，）（-4,7）（2，-1）例8.如图1，抛物线（a0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在轴上，其中A（2,0），B（1, 3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使SPAD4SABM成立，求点P的坐标解析：（1）因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程 解之得：；故为所求（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点设BD的解析式为，则有，故BD的解析式为；令则，故(3)如图3，连接A

14、M，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，图3易知BN=MN=1，易求；设，依题意有：，即：解之得：，故 符合条件的P点有三个：xyCB_D_AO图1图2例9例9.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，点C的坐标为(4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上. (1) 写出点M的坐标； (2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.例9 求关于的函数解析式和自变量的取值范围； 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求的值.解析：(1) OABC是平行四边形，ABOC，且AB = OC = 4，A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴， A，B的横坐标分别是2和 2， 代入=+1得， A(2, 2 )，B( 2，2)，M (0，2)， (2) 过点Q作QH 轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP= xt ，由HQPOMC，得：, 即： t = x 2y , Q(x,y) 在y = +1上， t = + x 2. 当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t =