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文档简介

1、教 案授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节课 次1学时数2授课形式（请打）纯理论 纯实践 理实一体化 习题课 其他授课题目 5.2换元积分法教学目的1、掌握换元积分法及其换元基本思路与步骤2、掌握常用凑微分公式3、掌握两类换元方法的应用思路及相应步骤。教学重点换元积分法及其换元基本思路与步骤；常用凑微分公式；两类换元方法的应用思路。教学难点换元积分法及其换元基本思路与步骤使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件教学方法图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；教学过程设计意图一、复习回顾 导数公式、积分公式及

2、直接积分法二、引入 对于有些积分，例如 1、 2、用直接积分法难于求解.因此，必须寻求新的解法.三、讲授新课换元积分法 对于一些被积函数是复合函数或无理函数的积分，例如，等，利用直接积分法难以求解，下面我们将探索这类积分的求解方法。对于积分，能否直接利用基本积分公式5求得结果呢？回答是否定的.这是因为，它不等于被积函数.考虑到y=是复合函数，先换元，即设u=2x，则，于是再将u=2x代入上式的最右端，便得由于 ，因此，利用这种方法计算得到的结果是正确的.说明： 在上述方法中，引入中间变量u，将积分变量x换成u，这种积分的方法就是换元积分法.一般地，有不定积分的换元积分公式： 设F(u)是f(u

3、)的原函数，且u=(x)可导，则有 例 1 求解设u=3x，则 例 2 求 解 设 上述两个例题的解题过程中，可以省略中间变量u，例如，例1中，由于积分变量是“3x”，而dx的变量是“x”，如果将dx写成“”，即得： 类似地，例2也可写成这种写法的关键是将“dx”凑成微分“”,因此，这种换元积分法也叫做凑微分法为了解决“凑微分”这个关键问题，下面给出常用的一些凑微分公式，读者熟记这些公式，对于计算这类积分会有较大帮助.上述这些公式，都可以通过求各等式右边的微分得到结果.例 3 求 解 因为 所以 例 4 求 解 因为，故类似的，还可以求得例 5求 解 因为，所以例 6 求 解 因为，所以例 7

4、 求 解 例 8 求 解 1： 因为 ，所以 解2 对于无理函数，还可直接换元，即设再将代回，得：说明 在例8中的解法二中，引入新变量t，将x表示成t的连续函数x=(t)，从而使积分得以求解，这种方法也是换元积分法（通常叫做第二类换元法，而凑微分法也叫做第一类换元法）.在使用第二类换元法计算不定积分时，要注意将代回，使其结果换成x的表达式。 例 9 求 解 设 故 例 10 求 解 为了去根号，设 。四、课堂练习：选择课后习题练习。五、课程小结：简单归纳总结本节知识点六、课后作业：P101、3、（1）（4）（5）（7）（8）（9） 4、5（1）（3）（5）（7）（8）通过复习导数公式讲授微分逆运算作为引入新课的一个内容用引例引入新课，增加学生学习兴趣引导学生掌握简单

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