大学物理第3章功和能课件剖析

1、图为秦山核电站全景图为秦山核电站全景 3.1 3.1 功功F空间积累：空间积累：功功时间积累：时间积累：冲量冲量研究力在空间的积累效应研究力在空间的积累效应 功、功、动能、势能、动能定理、功能原理动能、势能、动能定理、功能原理（机械能守恒定律）。（机械能守恒定律）。 一一. . 功的定义功的定义sFA 在力在力F的持续作用下，物体在力的方向上移动了一段的持续作用下，物体在力的方向上移动了一段位移位移S，则力对物体做了功。，则力对物体做了功。二二. .恒力的功恒力的功 FsAcosSFAFM Mabs三三. .变力的功变力的功rdFBA功的一般定义功的一般定义Ad一质点在力一质点在力 作用下，发

2、生作用下，发生一无一无限小位移限小位移 ，此力对它做的功定，此力对它做的功定义为力在位移方向上的分量与义为力在位移方向上的分量与该位移大小乘积，以该位移大小乘积，以 表示元表示元功功则：则：Frd式中式中 为为 与与 之间的夹角之间的夹角FrdrFAddrdFcosdrxyzOabMFrrrdrd cosddrFA求质点求质点M 在变力作用下，沿曲线在变力作用下，沿曲线轨迹由轨迹由a 运动到运动到b，变力作的功，变力作的功rFAdd 一段上的功：一段上的功：F在在rdF在在ab一段上的功一段上的功 bLarFAd在直角坐标系中在直角坐标系中 bLazyxzFyFxFA）（ddddzkdyjdx

3、irdkFjFiFFzyx说明说明(1) 功是标量，有正负功是标量，有正负(2) 合力的功等于各分力的功的合力的功等于各分力的功的代数和代数和 rFrFrFbLanbLabLaddd21nAAA21 rFFFrFAbLabLad)(d1n2(3) 一般来说一般来说，功的值与质点运动的路径有关，功的值与质点运动的路径有关 (4)功的单位功的单位 ，叫做焦耳用，叫做焦耳用 表示，功的量纲表示，功的量纲mNJ22TML四四. . 功率功率力在单位时间内所作的功，称为功率。力在单位时间内所作的功，称为功率。平均功率平均功率 tAPFFcosvv trFPdd当当 t t 0 0时的瞬时功率时的瞬时功率

4、 tAtAPtddlim0 即力对质点的瞬时功率等于作用力与质点在该时刻速即力对质点的瞬时功率等于作用力与质点在该时刻速度的标积。单位瓦特，用度的标积。单位瓦特，用W表示。表示。质量为质量为10kg 10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为点的速度为jit1642v解解24ddttxxvttxd4d216ddtyyvty16ttmFxx80ddv0ddtmFyyvyFxFAyxdd J 1200d320213tt在质点从在质点从 y y = 16m= 16m 到到 y y = 32m= 32m 的过程中，外力做的功。的过程中，外力做的

5、功。求求例例, ,开始时质点位于坐标原点。开始时质点位于坐标原点。时16y1t时32y2tx xy yz zO O3.2 3.2 几种常见力的功几种常见力的功 一一. .重力的功重力的功1M2Mm mG21hhl dFAkdzjdyidxl dkFF2121hhhh)kdzjdyidx(kFl dFA211221FhFhFhFhFdzhh重力重力mg mg 在曲线路径在曲线路径 M M1 1M M2 2 上的功为上的功为 211dMMzzFA）（21zzmg 重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了位置的高度差。位置的高度差。 (1)(1

6、)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路 径无关。径无关。 (2)(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。 结论结论21dZZzmg ）（二二. .弹性力的功弹性力的功 21dxxxkxA(1) (1) 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。的路径无关。 (2) (2) 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，弹性力作负功。时，弹性力作负功。22212121kxk

7、x 1x2xFikxF弹簧弹性力弹簧弹性力由由x x1 1 到到x x2 2 路程上弹性力的功为路程上弹性力的功为 弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变量平方之差的一半。簧形变量平方之差的一半。x xO O结论结论xdFl dFA三三. .万有引力的功万有引力的功 rFAdcosdcosd)cos(ddrrrrrmMGAdd2万有引力万有引力F F在全部路程中的功为在全部路程中的功为 21 )( 2drLrrrmMGA)11(12rrGmM(1) (1) 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所万有引力的功，也是只与始、末位置有

8、关，而与质点所行经的路径无关。行经的路径无关。 M Ma ab b1r2rm mFrd上的元功为上的元功为 在位移元在位移元Frd2rmMGF rd结论结论四四. .摩擦力的功摩擦力的功 在这个过程中所作的功为在这个过程中所作的功为 21dMLMscosfAmgsA摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经的路径有关的路径有关 。1M2Mvfmgf摩擦力方向始终与质点速度方向相反摩擦力方向始终与质点速度方向相反(2) (2) 质点移近质点时，万有引力作正功；质点质点移近质点时，万有引力作正功；质点A A远离质点远离质点O O 时，万有引

9、力作负功。时，万有引力作负功。 结论结论摩擦力摩擦力f例：例： 万有引力做功的研究万有引力做功的研究质量为质量为 的物体，自远离地球表面的的物体，自远离地球表面的 点由静止开始朝着地心点由静止开始朝着地心方向自由落体到方向自由落体到 点，求万有引力对物体做的功。点，求万有引力对物体做的功。 BmAFArBrdOcosdddrFrFArrmMGAdd2取地心为坐标原点，以地心向上为取地心为坐标原点，以地心向上为 正方向，在任意位正方向，在任意位置置 处，万有引力大小为处，万有引力大小为 （其中（其中M为地球质量），为地球质量），方向指向地心。在方向指向地心。在 这一元位移内万有引力所这一元位移内

10、万有引力所做的元功为做的元功为2rGmMrrrdrrcosdrFrFdBArrABrrGmMrrmMGAA11dd2物体从物体从 运动到运动到 ，万有引力做功为，万有引力做功为ArBr总结：总结：因为因为 ，所以，所以 ，物体下落时，物体下落时，万有引力做正功。若物体运动路线为曲线，同样万有引力做正功。若物体运动路线为曲线，同样有以上结果。由结果知道，万有引力对物体做的有以上结果。由结果知道，万有引力对物体做的功只与物体始末位置有关。功只与物体始末位置有关。BArr 0AFArBrdO例例: 一水平放置的弹簧，弹性系数为一水平放置的弹簧，弹性系数为 ，一端固定，另，一端固定，另一端系一物体，求

11、物体从一端系一物体，求物体从 移动到移动到 的过程中，弹性力做的过程中，弹性力做的功。的功。BAkxABfoAxBx解：解：以物体平衡位置为原点以物体平衡位置为原点 ，物体在任意位置，物体在任意位置 时，弹性力表示为：时，弹性力表示为：xOkxfxkxxfxfAdcosddd物体从物体从 移动到移动到 过程中，弹性力做的元功过程中，弹性力做的元功xxx dBAxxxkxAd物体从物体从 运动到运动到 过程中，弹性力做功为过程中，弹性力做功为AB222121ABkxkx222121BAkxkx 注意：注意：这一弹性力对物体做的功只与物体始末位置有关，这一弹性力对物体做的功只与物体始末位置有关，而

12、和弹簧伸长的中间过程无关。而和弹簧伸长的中间过程无关。xABfoAxBx保守力保守力 保守场保守场3.3 3.3 动能定理动能定理一一. .质点质点的动能定理的动能定理 rFAddrtmdddvvvd mvvdm21ddvvvvmA1221222121kkEEmmAvv作用于质点的合（外）力在某一路程中对质点所作的功，作用于质点的合（外）力在某一路程中对质点所作的功，等于质点在同一路程的始、末两个状态动能的等于质点在同一路程的始、末两个状态动能的增量增量。 (1) (1) E Ek k 是一个状态量是一个状态量, , A A 是过程量。是过程量。(2) (2) 动能定理只用于惯性系。动能定理只

13、用于惯性系。 说明说明例例1：物体：物体B的质量为m，弹簧的弹性系数为K。A板及弹簧质量均可忽略不计。求：自弹簧原长处突然无初速地加上物体B时，弹簧的最大压缩量。解：以解：以B（或（或A板板)为研究对象为研究对象其始末状态均为静止其始末状态均为静止设最大压缩量为设最大压缩量为0l则全过程中重力作功则全过程中重力作功10Amgl 弹性力作功（变力的功）弹性力作功（变力的功）2002210klkxdxAl设坐标向下为正设坐标向下为正由动能定理由动能定理021200klmglkmgl20例例2：逃逸速度逃逸速度第二宇宙速度第二宇宙速度smRGMee/102 .1123地球地球eeMR物体物体m0万有

14、引力作功万有引力作功rrMGAe物体在地面的动能物体在地面的动能221m2210mrmMGe二二. 质点系的动能定理质点系的动能定理把质点动能定理应用于质点系内所有质点把质点动能定理应用于质点系内所有质点并把所得方程相加有并把所得方程相加有: : iiiiiiiimmA21222121vviiiiiiAAA内外1m1v2m2v3m3v4m4v内力和外力内力和外力 内力和外力与所选质点系有关内力和外力与所选质点系有关 2dr1F2B1A1B1f1m1drAv1Bv12AAv22f2m2FBv2由两个质点组成的质点系的动能变化和它们受的力所做功的关系由两个质点组成的质点系的动能变化和它们受的力所做

15、功的关系 、 和和 、分别表示它们所受到的外力和内力；、分别表示它们所受到的外力和内力； 、 和和 、 分别表示它们始、末态的速度，由质点动能定理得分别表示它们始、末态的速度，由质点动能定理得1F2F1f2fAv1Av2Bv1Bv221121111112121dd1111ABBABAvmvmrfrF对对 1m22222222222121dd2222ABBABAvmvmrfrF对对 ：2m两式相加得：两式相加得：22112211dddd22112211rfrfrFrFBABABABA22221122221121212121AABBvmvmvmvm方程左边方程左边前两项是外力对质点系所做功之和，后

16、两项是前两项是外力对质点系所做功之和，后两项是 质点系内力所做功之和；质点系内力所做功之和；方程右边方程右边前两项为系统末态动能，后两项为系统初态动前两项为系统末态动能，后两项为系统初态动能，即能，即kAkBEEAA内外质点系动能的增量质点系动能的增量等于作用于质点系的等于作用于质点系的所有外力所有外力和和内内力力做功总和。这一结论可以推广到由任意多个质点组做功总和。这一结论可以推广到由任意多个质点组成的系统，这就是质点系的动能定理。成的系统，这就是质点系的动能定理。kAkBEEAA内外22112211dddd22112211rfrfrFrFBABABABA222211222211212121

17、21AABBvmvmvmvm(2) 内力的功也能改变系统的动能内力的功也能改变系统的动能例例: :炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转 化为弹片的动能。化为弹片的动能。(1) 内力和为零内力和为零, ,内力功的和内力功的和是否为零？是否为零？不一定为零不一定为零21ff 0fLfA11SfA22)(1SLfAAB1f2fABSL讨论讨论3.4 3.4 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律 一一. .保守力保守力如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末相对位置，这样的力称为相对位置，这样的力称为

18、保守力保守力。保守力沿闭合路径一周所做的功为零。保守力沿闭合路径一周所做的功为零。 即即 例如重力、万有引力、弹性力都是保守力。例如重力、万有引力、弹性力都是保守力。 作功与路径有关的力称为作功与路径有关的力称为非保守力非保守力。 例如例如: : 摩擦力摩擦力0dLrF0dMMprFE质点在保守力场中某点的势能，在量值上等于质点从质点在保守力场中某点的势能，在量值上等于质点从M M点移点移动至零势能点动至零势能点M M0 0 的过程中保守力的过程中保守力1. 1. 重力势能重力势能 0d)(zpzmgE2. 2. 弹性势能弹性势能 0d)(xpxkxEx xy yz zO O),(0000zy

19、xM),(zyxMO Ox xFmgz221kxG所作的功。所作的功。F二二. . 势能（相对）势能（相对）（坐标原点）（坐标原点）（弹簧原长）（弹簧原长）3. 3. 万有引力势能万有引力势能 rrmMGErpd )(2r rM Mm mF等势面等势面rmMG在保守力场中，质点从起始位置在保守力场中，质点从起始位置 1 1 到末了位置到末了位置2 2，保守力的，保守力的 功功 A A 等于质点在始末两位置势能增量的负值等于质点在始末两位置势能增量的负值 pppEEEA)(12（无限远）（无限远）质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。三三.

20、. 势能曲线势能曲线(1) 由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。对的。(2) 保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。说明说明zPEO重力势能重力势能PE弹性势能弹性势能EkE万有引力势能万有引力势能PExOPErO四四. . 功能原理、机械能守恒定律功能原理、机械能守恒定律对质点系对质点系: :kEAA内外kEAAA非内保内外kpEAEA非内外EEEAApk非内外机械能增量机械能增量功能原理功能原理当当0非内外AA常数pkEEE0E机械能守恒定律机械能守恒定律说明说明(1

21、) 守恒条件守恒条件0非内外AA(2) 守恒定律是对一个系统而言的守恒定律是对一个系统而言的(3) 守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态0非内外AA功是过程量功是过程量例：一斜面上，固定一个与弹簧例：一斜面上，固定一个与弹簧K K 相连的物体相连的物体m m，O O为平为平衡位置。将衡位置。将m m下压至下压至a a处，弹簧压缩处，弹簧压缩x xo o，放手后，弹簧弹，放手后，弹簧弹至至b b点。已知斜面与平面夹角点。已知斜面与平面夹角 ，m m与斜面摩擦系与斜面摩擦系数为数为 。求。求0b=?0b=?解：解：由功能原理：由功能原理：选系统选

22、系统1.1.选弹簧与选弹簧与m m为系统为系统则重力、摩擦力、斜面支撑力则重力、摩擦力、斜面支撑力外力外力建坐标建坐标设设ob=xob=x外力作功外力作功重力：重力：)(sin0 xxmg摩擦力：摩擦力：)(cos0 xxmg系统机械能变化：系统机械能变化：pkEEE0kEpE弹性势能，弹簧原长为势能零点弹性势能，弹簧原长为势能零点设：平衡位置距原长为设：平衡位置距原长为0lsin0mgkl 弹性势能，弹性势能，a a点：点：200)(21xlkEpab b点：点：20)(21lxkEpb20020)(21)(21xlklxkE由功能原理由功能原理)(cos)(sin00 xxmgxxmgE重

23、力势能的变化：重力势能的变化：)(sin0 xxmg弹性势能的变化：弹性势能的变化：20020)(21)(21xlklxk则则)(sin)(21)(21)(cos0200200 xxmgxlklxkxxmg非保守内力的功：非保守内力的功：)(cos0 xxmg2.2.选弹簧、选弹簧、m m、斜面、地面为系统、斜面、地面为系统无外力，只有非保守内力：无外力，只有非保守内力：cosmg由质点系动能原理由质点系动能原理kAkBEEAA内外内力中既有保守力也有非保守力，因此内力做功可分为保守内内力中既有保守力也有非保守力，因此内力做功可分为保守内力做的功和非保守内力做的功力做的功和非保守内力做的功kA

24、kBEEAAA非保内保内外保守力的功等于相应势能增量的负值，则保守力的功等于相应势能增量的负值，则pApBEEA保内得到得到 pAkApBkBEEEEAA非保内外系统的动能和势能之和叫做系统机械能，用系统的动能和势能之和叫做系统机械能，用 表示表示, ,则则EpkEEE3.5 3.5 能量守恒定律能量守恒定律 ABEEAA非保外以以 和和 分别表示系统初态和末态的机械能，则分别表示系统初态和末态的机械能，则AEBE物理学中常讨论的重要情况为：质点系运动过程中，只有保守物理学中常讨论的重要情况为：质点系运动过程中，只有保守内力做功，外力的功和非保守内力的功都是零或是可以忽略不内力做功，外力的功和

25、非保守内力的功都是零或是可以忽略不计计0非保内外AA得到得到ABEE 或或恒量pkEEE外力和非保守内力做功的总和等于系统机械能的总量。这一结外力和非保守内力做功的总和等于系统机械能的总量。这一结论为功能原理。论为功能原理。当外力和非保守内力都不做功或所做的总功为零时，系统内各当外力和非保守内力都不做功或所做的总功为零时，系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但系统的机械能保持不变。物体的动能和势能可以互相转换，但系统的机械能保持不变。这就是机械能守恒定律。这就是机械能守恒定律。B例例: : 一雪橇从高度为一雪橇从高度为50m50m的山顶上点的山顶上点 沿冰道由静止下滑，沿冰道由静止下滑，山顶

26、到山下的坡道长山顶到山下的坡道长500m500m，雪橇滑至山下点，雪橇滑至山下点B B后又沿水平冰道后又沿水平冰道继续滑行，滑行若干米后停止于继续滑行，滑行若干米后停止于 处。若雪橇与冰道的摩擦处。若雪橇与冰道的摩擦系数为系数为0.050.05，求雪橇沿水平冰道滑行的路程。设点，求雪橇沿水平冰道滑行的路程。设点 处可视处可视为连续弯曲的滑道，并略去空气阻力。为连续弯曲的滑道，并略去空气阻力。ACB 112221AkpkpfEEEEAA解：解：把雪橇、冰道和地球作为一个系统，作用于雪橇上的把雪橇、冰道和地球作为一个系统，作用于雪橇上的力为重力、支持力、摩擦力，其中重力是保守力，只有非力为重力、支

27、持力、摩擦力，其中重力是保守力，只有非保守力做功即摩擦力做功。由功能原理保守力做功即摩擦力做功。由功能原理NfAhPBC2s取水平滑道处势能为零，由题意有取水平滑道处势能为零，由题意有mghEp101kE02kE02pE则则mghA1BABArmrfAdgcosd1由功的定义由功的定义由于坡度很小由于坡度很小,1cos11gsmA22gdsmrfACBmghsmsm21gg12shs代入数据求得代入数据求得m5002s解：解：以小球为研究对象，受到弹性以小球为研究对象，受到弹性力、重力、圆环对重物支持力力、重力、圆环对重物支持力例例: 一弹性系数为一弹性系数为 的轻弹簧，其一端固定在铅垂面内圆的轻弹簧，其一端固定在铅垂面内圆环的最高点环的最高点 处，另一端系一质量为处，另一端