历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

1、上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每小题5分，共50分)1 .设函数 f (x)满足 2 f (3x) f (2 3x) 6x 1,则 f(x) .2 .设a,b,c均为实数，且3a 6b 4,则1.a b3 .设a 0且a 1 ,则方程ax 1x2 2x 2a的解的个数为 .4 .设扇形的周长为6,则其面积的最大值为 .5 . 1 1! 2 2! 3 3! L n n! .6 .设不等式x(x 1) y(1 y)与x2 y2 k的解集分别为Mff口 N.若M N, 则k的最小值为 .7 设 函 数 f(x)凶 ， 则xS 1 2f(x) 3f2(x) Lnfn1(x)

2、.8 .设a 0 ,且函数f (x) (a cosx)(a sin x)的最大值为 空，则 2a .9 . 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷 的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷 时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 .10 .已知函数 f1(x) &对于 n 1,2,L ,定义 fn 1(x) f1(fn(x),若 x 1f35(x) f5(x),则 f28(x) .二、计算与证明题(每小题10分，共50分)11 .工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R,工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1Q2Q3放在如图与工件圆弧

3、相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒。2顶侧面的垂直深度h,试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r 10mm, h 4mm 时，R 的值.12 .设函数f(x) sinx cosx ,试讨论f(x)的性态(有界性、奇偶性、 单调性和周期性)，求其极值，并作出其在0,2内的图像.13 .已知线段AB长度为3,两端均在抛物线x y2上，试求AB的中点 M到y轴的最短距离和此时M点的坐标.参考答案：n 1 ! 1 6. 21. 2x 1 2.1 3. 2 4.9 5.2 47.2n n * 1n11 2n 18.9.43 10.452x 35 3x11.12.1J2 ;偶函数;60m

4、mk Z ；周期为万13.dmin M , f14.略；反证法15. 2；3； 3 22n32n一一 3sin x11 *166.数列a的通项公式为an项之和S99 . 旦10_ 1 一.n、n 1 (n 1) n则这个数列的前992008年交大冬令营数学试题参考答案2008.1.1一.填空题1 .若 f(x) 2r4，g(x) f 1(x),则 g(3) . 22 152 .函数y ”的最大值为. ,5*x5.若 cosx sin x -,贝！J cos3 x 843 .等差数列中，5a8 3al3,则前n项和&取最大值时，n的值为7 . (1 x) (1 x)2 (1 x)98 (

5、1 x)99 中 x3 的系数为 . Ci4oo39212258 .数列an中，a00 ,a1，a26, a3 , a420 , a§,a642 ,246na7 7/8 72 ,此数列的通项公式为a” . ( 1)"n(n 1) 89 .甲、乙两厂生产同一种商品.甲厂生产的此商品占市场上的80% 乙厂生产的占20%甲厂商品白合格率为95%乙厂商品的合格率为 90%若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率 为. 2310 .若曲线C1：x2 y2 0与C2：(x a)2 y2 1的图像有3个交点，则a .1二.解答题1. 30个人排成矩形，身高各不相同.把每列最

6、矮的人选出，这些人 中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为 b.(1) a是否有可能比b高？(2) a和b是否可能相等？1. 解：1不可能若a、b为同一人，有a b;若a、b在同一行、歹!J,则均有a b;若a、b不在同一行、歹U,同如图1以5*6的矩形为例，记a 所在列与b所在行相交的人为xo因为a为a、x列最矮的人，所以有a x；又因为b为b、x列最高的人，所以有b x;于是有a x bo综上，不可能有a b2有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为1,2,330,如图2 所示：此时有a b 26.3 .世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在 A组， 进行主客

7、场比赛.规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不 得分.比赛结束后前两名可以晋级.(1)由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得 3分.于是甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线.问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？(2)若不考虑1中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？解：1乙专家若中国队得10分，则可能出现其余三队12分、10分、10分的情 况，以澳大利亚12分，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况 如下表。中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。澳澳中中卡卡伊伊总分121010假设中国队得了11 分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名

8、均不少于11 分，而第四名不少于 3 分。 12 场比赛四队总得分至多 36 分，所以前三名 11 分，第四名 3 分。而四队总分36 分时不能出现一场平局，而11 不是 3 的倍数，故出线平局，矛盾！11 分可以确保出线。则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。中 卡 卡 伊 伊 总分312所以中国队得2 若中国队得 12 分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。澳澳澳中卡伊假设中国队得0 30 30 00 0 0 013分仍无法出线，则必为第31231203 名，则第一名、第二名均不少于13 分，总得分已经不少于39 分大于 36 分，矛盾！故中国队至少得 13 分才可以确保出线。4 .通信工

9、程中常用n元数组0岛,an)表示信息，其中ai 0或1,i、n N.设 u (a1,a2,a3an) , v (匕电,4bn), d(u,v)表水 u 和v 中 相对应的元素不同的个数u (0,0,0,0,0) 问存在多少个5 元数组 v 使得 d(u,v) 1 ；(2) u (1,1,1,1,1)问存在多少个5元数组v使得d(u,v) 3;(3)令 w (0，*，43。)，u 自an), v (,bn), n个0求证：d(u,w) d(v,w) d(u,v).解：15;2 C； 10 ;3记u、v中对应项同时为0的项的个数为p,对应项同时为1的 项的个数为q,则对应项一个为1, 一个为0的项

10、的个数为n p q； (p、q N, p q n).d(u,w)即是u中1的个数，d(v,w)即是v中1的个数，d(u,v)是u、v 中对应项一个为1, 一个为0的项的个数。于是有d(u,v) n p qu、v 中 1 一共有 2q (n p q)个，即 d(u, w) d(v,w) n p q所以有d(u,w)d(v,w) d(u,v)2q0于是 d(u,w) d(v,w) d(u,v).5 .曲线y22yy2 (y1 、2)2y1y2 2 P(Xi x?)且 y y2 X1 X2.得 y1y24(2 p)(1 p).2px p0与圆(x 2)2y23交于A、B两点，线段AB的中点在y x上

11、，求p.解：设 A(x1,y1) , BN.),联立(x 2)2 y2 3与 y2 2 px ,得：x2 2( p 2)x 1 0 .知 J2 2 p, XiX2 1；2p 2 222乂 yy2 4Px1X2 4P .所以 yy2 2p 8 12P 4p2解得p 47或p二三（舍）. 442011年同济大学等九校（卓越联盟）自主招生 数学试题一、选择题，rrrrrrrrrr1 .已知向重a,b为非若向重,（a 2b） a,（b 2a） b,贝（Ja,b夹角为（）A. - B. - C. D. 2. 已知 sin 2（ r） nsin 2 ,贝巾 an（） （tan（ ）A. n_JB. 。C

12、.。D.n 1n 1n 13 .在正方体ABCD AB1C1D1中，E为棱AA的中点，F是棱AiBi上的点，且AF:FBi 1:3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为（）A.号 B.45C-2 cc4 . i为虚数单位，设复数z满足|z| 1,则z2的最大值为（） z 1 iA. 2 1 B. 2 .2 C.2 1 D. 225 .已知抛物线的顶点在原点，焦点在X轴上，ABC三个顶点都在抛物线上，且ABC的重心为抛物线的焦点，若BC边所在的直线方程为4x y 20 0,则抛物线方程为（）A. y2 16x B. y2 8x C. y216x D.y28x6 .在三棱柱ABC ABG中，底面

13、边长与侧棱长均不等于 2,且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为（）A. 3 B. 2 C. -2 D. _27 .若关于x的方程 以 kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为 x 4()A. (0,1) B. (1,i)C.(1,) D. (1,)8 .如图，ABC内接于eO,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,的长为()A. 5 B. 6 C. . 7交e O于G、F ,交e O在 A点处的切线于 P ,若PE 3,ED 2,EF 3,贝U PA满足这种条件的不同数列的个数为(9 .数列aj 共有 11 项，a1 0,an 4,且 |akA. 100 B. 120

14、 C. 140 D. 16010 .设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为坐标平面关于y轴的镜面反射.用表示变换的复合，先做，再做.用k表示连续k次的变换，则 2 3 4是()A. 4 B. 5 C. 2 D.二、解答题13 .已知椭圆的两个焦点为Fi( 1,0),F2(1,0),且椭圆与直线y x 73相切.(1)求椭圆的方程；(2)过Fi作两条互相垂直的直线1i,12，与椭圆分别交于P,Q及M,N,求四 边形PMQN面积的最大值与最小值.14 .一袋中有a个白球和b个黑球.从中任取一球，如果取出白球，则把 它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复n次这样的操

15、作后，记袋中白球的个数为Xn.求EXi；(2)设 P(Xn a k) Pk,求 P(Xni a k),k 0,1L ,b;证明：EXn i (1)EXn 1.a b参考答案：一.选择题 1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.B 10.D二.解答题2213.【解】设椭圆方程为勺41(a b 0),因为它与直线y x6只有 a b一个公共点，22x y 1所以方程组 更只有一解，整理得(a2 b2)x2 2T3a2x 3a2 a2b2 0.y x . 3.所以 V ( 2揭2)2 4(a2 b2(3a2 a2b2) 0,得 a2 b2 3.又因为焦点为F（ 1,0）,

16、F2（1,0），所以a2 b2 1,联立上式解得a2 2,b2 1y2 1.率不存在（或为 0）时2 衣 2J1 - 32.22所以椭圆方程为L 2若 PQ 斜|PQ| |MN |%边形PMQN2若PQ斜率存在时，设为k（k 0）,则MN为-. k所以直线PQ方程为y kx k.设PQ与椭圆交点坐标为P（xy）Qd, y?）一、xi、/联立方程2 y1,化筒得(2k2 1)x2 4k2x 2k2 2 02k2 22k2 1y kx k.x24k-2,泅2k2 1所以 |PQ| .K|xi X2I,(1k2)16k4 4(2k2 1)(2k2 1) 2,r：12k2 12k2 1同理可得|MN

17、| 2722TSI边形PMQN|PQ|MN|2(k2 1)2k4 2 k2 14(2 k2)(2k2 14 2k4 5k2 2-1k22422k4 5k22)1 k2114(42) 4(- 2 4k 10k42 4k2 41 10k2因为4k2 410 2 ；4k210 18 （当且仅当k2 1时取等号）1161) ,24 k2 42 109k2k- k所以，1- (0,1,也所以4(1 4k2 4 4 10182所以综上所述，S四边形pmqn的面积的最小值为 巴最大值为2.914.【解】（1）n 1时，袋中的白球的个数可能为a个（即取出的是白球）,概率为二；也可能为a babEX1 a(a

18、1) -a ba ba 1个（即取出的是黑球a2 ab b）,概率为,故a b首先，P（Xn1 a 0） P03;k 1时，第n 1次取出来有a k个白球的 a b可能性有两种;第n次袋中有a k个白球，显然每次取出球后，球的总数保持不变即a b个白球（故此时黑球有b k个），第n 1次取出来的也是白球，这 种情况发生的概率为Pk ;a b第n次袋中有a k 1个白球，第n 1次取出来的是黑球，由于每次球的总数为a b个,故此时黑球的个数为b k 1.这种情况发生的概率为b k 1八 /、Pk 1（k 1）.故 P(Xni a k) R j Pki b k 1(k 1). a ba b(3)第

19、n 1次白球的个数的数学期望分为两类：第n次白球个数的数学期望，即EX”.由于白球和黑球的总个数为a b,第n 1次取出来的是白球，这种情况发生的概率是 巴；第n 1次 a b取出来的是黑球，这种情况发生的概率是a b EXn ,此时白球的个数 a b是 EXn 1.故EXEXnn-EXn a b(EXn)2a ba b EX。L (EXn a bEXn (EXn)1a b1)2(EXn)2a EXn) a b(1EXn(1 n)(EXn 1) a b1t EXn 1a b清华大学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题(2009年12月30日) x1 .求f(x)且的单调区间及极值. x2 .

20、设正三角形T1边长为a , Tn 1是Tn的中点三角形，An为Tn除去Tn 1 n 后剩下三个三角形内切圆面积之和.求lim Ak .n k 13 .已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路， D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到 声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且 若D和E同时工作则有立体声效果.求：(1)能听到立体声效果的概率；(2)听不到声音的概率.4.(1)求三直线x y 60, y 1x, y 0所围成三角形上的整点个2数；y 2x(2)求方程组y - x的整数解个数.2x y 605.已知A( 1, 1), ABC是

21、正三角形，且B、C在双曲线xy 1(x 0) 一支上.(1)求证R C关于直线y x对称；(2)求ABC勺周长.复旦大学2010年选拔生考试数学试题一、填空(每小题5分，共45分)1. sin x sin y 0, 则 cos2x sin 2y 2 .平面1, 2成 的二面角，平面1中的椭圆在平面2中的射影是圆， 那么椭圆短轴与长轴之比为:3 . (x2+2x+2)(y2-2y+2) = 1,贝U x+y 4 .电话号码0, 1不能是首位，则本市电话号码从 7位升到8位， 使得电话号码资源增加.5 . 2002 83a3+8&+8ai+a0, 0W 网 a, a, a307 正整数,则

22、a0 6 . (x二)15的常数项为 x7 . lim Vn(Vn1 赤)=_n8 .空间两平面，是否一定存在一个平面均与平面，垂直？*9 .在AABB, cos(2 A C) = cos(2 C B),则此三角形的形状是*11 .设f(x)的原函数是C 1,则°f(2x)dx .2 .设 x (0,一)，则函数(sin2 x 12)(cos2x 二)的最小值是 2sin xcos x3 .方程 3 16x 2 81x 5 36x 的解 x =r4 .向量：v 2v在向量v 3v 4v上的投影(v)b r5 .函数y 2x 33/7的单调增加区间是.6 .两个等差数列200, 203

23、, 206,和50, 54, 58都有100项, 它们共同的项的个数是.7 .方程7x2 (k+13)x+k2 k 2= 0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内， 则k的取值范围是.8 .将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不 限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有 3个盒 子各放一个球”的概率是.2、选择题(本题共15分，每小题3分.在每小题给出的4个选项中， 只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1 .若今天是星期二，则31998天之后是()A.星期四 B.星期三 C.星期二D.星期一2 .用13 个字母A, A,A C,E, H, I , I , MM

24、 N,T,T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“ MATHEMATICIAN一词的概率是D.13!m的取值范围是A. 48B.变C 172813!13!13!3 .方程cos2x sin 2x+sin x=m+1有实数解，则实数（）11A. m - B. m > 3C. m> 1D. 3 m-884 .若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程 x2+px+q =0的两个根，则此数列各项的积是2md qD. 4()A. pmB. p2mC qm5 .设 f ' (Xo)=2,则 lim f(Xo h)f(Xo h)h 0h()A.2B. 2C.4 3、证

25、明与计算（本题61分）1. （6分）已知正数列日，加，a”且对大于1的n有&a1a2Lan试证：a1, a2,，an中至少有一个小于1 .2. (10 分)设 3 次多项式 f(x)满足：f(x+2)= f ( x),f(0) =1,f(3)=4,试求 f(x).1P 2Pl p3. (8 分)求极限 lim丁(p 0) .n n4. (10分)设f(x)x2 bx c,x 0在x=0处可导，且原点到f(x)lx m, x 0中直线的距离为1,原点到f（x）中曲线部分的最短距离为3,试 3求 b, c, l , m的值.（b, c>0）35. （8 分）证明不等式：1 痴 x J

26、cosx 2", x 0,.26. （8分）两名射手轮流向同一目标y|射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是1.若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、Bi乙两射手获胜的概率.>b27. （11分）如图所示，设曲线y -± 万/-工x的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形OEAi, AiB2A,，直角顶点在曲线y。上.试求A的 x坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在.1. 数N 212 58的位数是2. log2 log3 log4 x log3 log 4 log 2 y log 4 log 2 log3z0 求 x y zo3. p log 83 ?

27、 q log3 5 ,贝 U 用 p,q 表木 lg5 4. 2sin sin cos , sin2 sin cos ,求cos2 cos 25. x 0,一,求 f x cosx xsinx 的最小值为 26. 有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多2个小球，球数为1007. 数列1,3,2,L中，为2前i a。，求4 i 1_ 48. 1 2x x2展开式中x系数为9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为60。，角的两边一边长X, 一边长9cm,排版时把长x的那边错排成x 1长，但发现角和对边 长度没变，则x 10. 掷三粒骰子

28、，三个朝上点恰成等差列d 1的概率为11. a 1 b 12,贝U arctana arctanb ()12. A. - B . - C . - D .-13. 某人向正东走xkm,再左转150。朝新方向走了 3km,结果离出发点6km，则 x()A.岳B . 2心C11114. 1 2321 2而 L 1 221 1A. 1 1 232B .2215. t 0, S x,y x tA. t , 0,0 S B.3 D .不确定( )-1J.11 232 C . 1 232 D .-2y2 t2 ,则()S的面积 0,1 . Xt t 5, S第一象限D . t, S的圆心在y x上16 .一

29、个圆盘被2n条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最多有（）个A. 2n 2 B . 3n 1 C . 3n D . 3n 140A.亭 B I172 c A21 20i.22120i18. 对x,y R ,定义x*y心匕，则*满足()x yA.交换律 B .结合律 C .都不 D .都可19. 60 90 125 modN，则 81()mod NA. 3B.4C.5D.620. f xx2 2x 2,在x t,t 1上最小值为g t ,求g t。61 660x x x 2 x的最小值22. f1 x2x 1 , fn 1 xx 1f1fn x ，求 f28 x23. 2y x2 6xco

30、st 9sin21 8sin t 9 (tR,t为参数)求顶点轨迹，求在y 12上截得最大弦长的抛物线及其长。24. %为递增数列，a1 1, a2 4,在y Tx上对应为Pn an Ja?,以OPn,OPn 1与曲线PnPn 1围成面积为& ,若Sn为q '的等比数列，5求Si 和 lim an。n1 .三次多项式f(x)满足f(3) =2f(1),且有两个相等的实数根2,则第三个根为:2 .用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积 S的最大值是17 . ikcos 45 90k o ()k 03 .已知x,y R , x+2y=1,则2 2的最小值是:X y4

31、.有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32,中间两数和为24,则这四个数是 5 .已知 f(x) ax7+bx5+x2+2x 1,f(2)8,则£( 2) :6 .投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是7 .正四面体的各个面无限延伸，把空间分为 个部分.8 .有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有 种分法.9 .有一个整数的首位是7,当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是 :10 . 100!末尾连续有个零.二、解答题(本大题共60分，每题10分)11 .数列an的 ai 1, a2 3, 3an+2 2an+i+a,求 an 和

32、liman, n12 . 3个自然数倒数和为1.求所有的解.13 .已知 x1000+x999(x+1 )+(x+1)100°,求 x50的系数.14 .化简：(1) 1 1! 2 2! L nn!;(2) C： 1 C2 2 L C： k .15 .求证：4a3 22a为最简分式. a 3a 1t2一.1 .函数 y f(t x),当 x=1 时，y t 5 ,则 f (x)= 2x22.方程x6.若(x 1)2+(y 1)2 1,则上的范围是 x 37.边长为4的正方形ABC研BD折成60°二面角，则BC中点与A的 距离是.8.已知 |zi| 2, |Z2| 3, |z

33、i+Z2| 4,则亘 Z2 +(a 2)x+a+1 0的两根Xi,X2在圆x2+y2 4上,则a 3 .划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有 种分配方法.4 . A= x|log 2(x2 4x 4)>0 , B= x| x+1|+| x 3| >6,则 a B =.1. x8 1 (x4 * * *,2x2 1)(x4ax2 1),则 a5 .数列an的前 n 项和为若 ak=k pk(1 p),( p?1),贝U &=2 .已知5x 3 5x 4 7,则x的范围是.223 .椭圆土 工1,则椭圆内接矩形的周长最大值是 1694 . 12只手套(左右有区别)形成 6双不同的搭配，要从中取出4 只正好能